算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系ppt课件

1、3.7 3.7 算符的对易关系算符的对易关系 共同本征态函数共同本征态函数 测不准关系测不准关系 一一. . 量子力学的算符根本对易关系量子力学的算符根本对易关系 记记 ，如两算符，如两算符 , ,满足满足 . . 称称 对易对易 ABBABA,BA,0,BABA,常用的对易关系式常用的对易关系式 ABBA,0,AA0,CABACBAC, CABACBA, CBACABCBA, BCACBACBA, 1. 1.坐标算符之间的对易关系坐标算符之间的对易关系 0, , , zzyyxx 0, , , xzzyyx结论：坐标分量算符之间是对易的结论：坐标分量算符之间是对易的 0,2. 2. 动量各分

2、量之间的对易关系动量各分量之间的对易关系 0,2222xyyxppppppxyyxyx同理：同理： 0,yzzxyxpppppp结论：动量各分量之间是对易的结论：动量各分量之间是对易的 0,pp3.3.坐标与动量算符的对易关系坐标与动量算符的对易关系 动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系 xppxpxxxx , 设设 恣意态函数恣意态函数 xxipxx xxiixxixpx ixppxxx 为恣意波函数为恣意波函数, , 所以所以 ixppxpxxxx , 同理同理 ipzpyzy, , 结论：动量分量和它所对应的坐标是不对易的结论：动量分量和它所对应的

3、坐标是不对易的 动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系 xppxpxyyy , 0)() (yxiyxixppxyy所以所以 0, ypx同理：同理： 0., , zypxpx结论：动量分量和它不对应的坐标是对易的结论：动量分量和它不对应的坐标是对易的 ip, 力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其它力学量之动量之间的对易关系后，就可以得出其它力学量之间的对易关系间的对易关系4. 4. 与角动量算符有关的对易关系式与角动量算符有关的对易关系式 zyxpppzyxkjiprL 1 1

4、坐标与角动量算符的对易式坐标与角动量算符的对易式 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系 xpzxpyxpzpyxLyzyzx, , , , 0, ,yyyzzpxpxpzpxyxpy CABACBA, BCACBACBA,同理：同理： 0,zLyLzy结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的 角动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系角动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系 ypzypyypzpyyLyzyzx, , , , BCACBACBA, ypzpyzypypyyyyzz, , ziypzy,000同理同

5、理 yizLx ,zixLy,xizLy,yixLz,xiyLz,(1)(1)结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易的的 iL,同理同理: : pipL,2 2角动量分量之间的对易式角动量分量之间的对易式 zxyzxyyxyxpxpzpzpyLLLLLL , , zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy , , , , zyxzpxpzpzpy ,00 , yzxzppzxpzpy, , ipzpyzy, , xpipyiyx zxyLipypxi) (zxyyxyxLiLLLLLL,即即 同理：同理： xzyLiLL,yxzLiLL,结论：角

6、动量分量之间的不对结论：角动量分量之间的不对易易 上三式可合写为上三式可合写为 LiLLzyxzyxLLLLLLkjiLi 该式可看成是角动量算符的定义，它比该式可看成是角动量算符的定义，它比以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角动量，而该式包含有自旋角动量。动量，而该式包含有自旋角动量。 3 3有心力场中有心力场中 、 、 的对易关系的对易关系 H2LzL)(2)(222222rVMrLrrrMrH而而 、 均与均与r r无关，所以上式第一项和第三项无关，所以上式第一项和第三项作用在作用在 、 上就和作用在常数上一样，而第二上就和作用在常数上一样

7、，而第二项中的项中的 分别与分别与 、 对易，因此与对易，因此与 、 分别对易分别对易 2LzL2LzL2L2LzLH2LzL0,2zLL0,2LH0,zLH综上所述，算符之间或对易、或不对易。那么什综上所述，算符之间或对易、或不对易。那么什么条件下两者对易呢？对易与否具有什么意义呢？么条件下两者对易呢？对易与否具有什么意义呢？二二. . 两个算符具有共同本征态的条件两个算符具有共同本征态的条件 1 1定理定理: :两个具有共同的完备本征函数组两个具有共同的完备本征函数组 的算的算符符 必定对易必定对易 kGF, 证证 kkkFkkkGkkkkkkkFGFGF)(kkkkkkkGFGFG)(所

8、以所以 0)(kFGGF0)(FGGF0,GF2 2逆定理逆定理: : 假设两个算符对易，那么这两个假设两个算符对易，那么这两个算符有组成完全系的共同本征函数。证略算符有组成完全系的共同本征函数。证略3 3上述定理可推行到两个以上情况。上述定理可推行到两个以上情况。 0,2zLL它们的共同本征函数完选集是它们的共同本征函数完选集是 ,lmY相互对易，它们有共同本征函数相互对易，它们有共同本征函数 zyxppp,p 要完全确定体系所处的形状，需求有一要完全确定体系所处的形状，需求有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系形状组相互对易的力学量，这一组完全确定体系形状的力学量，称为力学量完选集。的

9、力学量，称为力学量完选集。 从对易关系可以看出，普朗克常数在力学从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要位置。体系微观规律与宏观量对易关系中占有重要位置。体系微观规律与宏观规律之间差别，如规律之间差别，如h h在所讨论问题中可略去，那么在所讨论问题中可略去，那么坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。 下面讨论不对易情况下面讨论不对易情况 三、不确定关系三、不确定关系 1.1.统计偏向的定义统计偏向的定义规范差规范差 假设力学量假设力学量 ，其相应的算符为，其

10、相应的算符为 ，统计平均值，统计平均值为为 FFF在恣意态在恣意态 察看值对统计平均值的统计偏向规察看值对统计平均值的统计偏向规范差定义为范差定义为 2)(FFF令令 方均根值方均根值2222)(FFFFFF其中，其中， dxFdxFFdxFFFFF*2*2*2222222222FFFFF222)(FFF222)(xxx例如：例如： 值越大阐明偏向越大值越大阐明偏向越大 F讨论：讨论： 1 1假设处于本征态，那么丈量值等于本征值，假设处于本征态，那么丈量值等于本征值，等于平均值，因此等于平均值，因此 即本征态是统计偏向等于即本征态是统计偏向等于零，既无涨落的形状零，既无涨落的形状 0F2 2.

11、 .假设两力学量假设两力学量 ，其相应的算符，其相应的算符为为 ，且，且 ，统计平均值为，统计平均值为 GF,GF,0,GFGF ,2)(FFF2)(GGG即即 可同时确定。可同时确定。 由 于 具 有 共 同 的 本 征 函 数 组 ， 因 此 在 本 征 态由 于 具 有 共 同 的 本 征 函 数 组 ， 因 此 在 本 征 态时，时， ， ， 即即 下限。下限。0F0G0GFGF,3 3. .假设假设 ，那么能够，那么能够 等等于于 0,GF0GF假设假设 越小不确定程度低，离散性小，那么越小不确定程度低，离散性小，那么 越大确定程度高，离散性大，即越大确定程度高，离散性大，即 不可同

12、不可同时确定。时确定。 FGGF,2. 2. 不确定关系的严厉证明不确定关系的严厉证明在量子力学中力学量的不确定关系在量子力学中力学量的不确定关系 ？ GF证明：证明： 第第1 1步：设两恣意厄米算符步：设两恣意厄米算符 的对易关系为的对易关系为 GF, 为实数为实数或厄米算符或厄米算符 KiGF,KiFGGFK构造态函数构造态函数对恣意态函数对恣意态函数 ，再构造出一个新的恣意态，再构造出一个新的恣意态函数其中函数其中 是实参数，是实参数， )(GiF 第第2 2步步 计算态函数内积计算态函数内积0)GiF被积函数不小于零被积函数不小于零 ,()(GiFI展开为展开为 : :),(),(),

13、(),(GiGiFGiGiFFF),(),(),(),(222GFGiGFiF其中用到了厄米算符定义其中用到了厄米算符定义 其中，由平均值定义得其中，由平均值定义得 第第1 1项项 22),(FF第第4 4项项 2222),(GG第第2 2项项 ),(),(FGKiiGFi利用利用 KiFGGF),(),(FGiKiiKKii),(第第2 2项项+ +第第3 3项等于项等于 所以：所以： ),()(GiFGiFI关于关于 的二次三项式的二次三项式 222GKF第第3 3步步讨论讨论 的条件的条件0)(I因此因此 0222FKG02cbxax上式大于零的条件是：上式大于零的条件是： 2224GF

14、K042acb即得：即得： 1 1 KGF2122第第4 4步步进一步证明进一步证明 也是厄米算符，可证有也是厄米算符，可证有 由于由于 为厄米算符，而为厄米算符，而 又是实数，又是实数， 因此因此 GF,GF ,GGFF,KiGGFF,因此将因此将 交换交换1 1式中的式中的 得得 GGFF,GF ,不等式成立的条件是：不等式成立的条件是： 2 2 KGGFF21)()(22又知又知 2)(FFF2)(GGG所以所以 ： KGF21这就是常见的不确定关系的普通表达式。这就是常见的不确定关系的普通表达式。 例例1 1：坐标和动量的不确定关系：坐标和动量的不确定关系 取取 xpGxF, 对比对易关系对比对易关系 ipxx, KiGF,得得 K由公式由公式 KGF21 ，这正是大家所熟习的不确定关系。详，这正是大家所熟习的不确定关系。详细的细的 需求详细来求。需求详细来求