函数的连续性与间断点

1、第三章第三章 函数的连续性函数的连续性 引言：引言： 客观世界的许多现象都是连续变化客观世界的许多现象都是连续变化的，比如的，比如, ,时间的变化是连续的。所谓连续就时间的变化是连续的。所谓连续就是不间断，但是在数学上要用数学的语言来是不间断，但是在数学上要用数学的语言来描述着这种现象。描述着这种现象。一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类三、连续函数求极限的简便法则三、连续函数求极限的简便法则 3-1 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点学习目标学习目标3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点1 1理解函数在一点连续与间断

2、的概念理解函数在一点连续与间断的概念, ,掌握掌握判断分段函数在一点连续的方法；判断分段函数在一点连续的方法；2 2会求函数的间断点；会求函数的间断点；3 3了解初等函数在其定义区间上的连续性，了解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。会利用连续性求极限。3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1. 1.自变量与函数的增量自变量与函数的增量 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，当自变量的某一邻域内有定义，当自变量从初点从初点x1变化到终点变化到终点x2 时，终点与初点的差称为时，终点与初点的差称为自变量自变量的改变量的改变量或或增量增量，记为，记为x

3、=x2 -x1显然有显然有x2 =x1+xxy01xxx1)(xfy x y 对应的函数值从从初值对应的函数值从从初值y1=f(x1)变化变化到终值到终值y2=f(x2)=f(x1+x),其差称为其差称为函数的函数的改变量改变量或或增量增量，记为，记为y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1. 1.自变量与函数的增量自变量与函数的增量自变量的改变量自变量的改变量或或增量增量，记为，记为x=x2 -x1xy01x)(xfy x y 函数的改变量函数的改变量或或增量增量，记为，记为y=y2 -y1或y=f(x1+x)-f(x1)xy01x

4、2xx y 2xx、y 可正可负可正可负例例 设设 f (x) =2x+1，分别求，分别求x和和y.（1）x由由2变到变到2.1,（2）x由由2变到变到1.8,解解:（1）x=2.1-2 = 0.1y=f (2.1) -f (2)= (22.1+1)-(22+1) =5.2-5 = 0.2（2） x=1.8-2 = -0.2y=f (1.8) f (2) =(21.8+1)-(22+1) =4.6-5 = -0.4一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概

5、念一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念函数的点连续的形象描述：函数的点连续的形象描述： 观察函数观察函数f(x)=x+1与与 在点在点x0=1处的连续性。处的连续性。 11)(2xxxgxyo1-112y=f(x)xyo1-112y=g(x) 函数函数f(x)图象在点图象在点x0=1处处连续连续，是一条连续的曲线；，是一条连续的曲线； 函数函数g(x)图象在点图象在点x0=1处处断开断开了。了。3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念 定义定义1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域

6、内有定义，的某一邻域内有定义，当当xx0时时f(x)的的极限存在极限存在，并且，并且等于等于该点处的该点处的函数值函数值f(x0)，即即 ,则称则称函数函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续，称称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点。00lim( )()xxf xf x 由定义可知，由定义可知，函数函数f(x)在点在点x0处连续处连续， x0必属于必属于函数函数f(x)的的定义域定义域。例例如：如： 讨论函数讨论函数 2xy ，在在 2x处的连续性处的连续性. 222lim)(limxxfxx)2(4f函数函数 2xy 在在 2x处连续处连续3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断

7、点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念 引入增量记号，定义引入增量记号，定义1中的中的xx0和和f(x)f(x0)，可以改写为可以改写为x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0。 定义定义2 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，当当x=x -x00，y=f(x0+x)-f(x0)0，即，即 , 则则称称函数函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续。0lim

8、0 xy 定义定义2反映了函数连续性的本质特征：反映了函数连续性的本质特征：自变量变化很小时，函数值变化也很小。自变量变化很小时，函数值变化也很小。 函数函数 y = f(x)在点在点x0连续的几何解释连续的几何解释xy0)(xfy 0 xxx 0 x y xy00 xx xx 0y 00 yx时，时，当：当：显然显然y 不趋于不趋于0 连续的几何解释连续的几何解释:自变量的改变量自变量的改变量x0时时, 函数的改变量函数的改变量 y0点连续点连续在在0 x. 1点不连续点不连续在在0 x. 23-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概念 函

9、数在点函数在点 x0 连续的定义连续的定义此定义主要用于此定义主要用于证明函数的连续性证明函数的连续性 利用此定义可证明利用此定义可证明: :基本初等函数在定义基本初等函数在定义域内的连续性。域内的连续性。3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2. 2.函数的点连续的概念函数的点连续的概念 一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念)()(00 xfxxfy, 0)(4limlim200 xxyxx)2()2(fxf2)(4xx函数函数 2xy 在在 2x处连续处连续例例如：如： 讨论函数讨论函数 2xy ，在在 2x处的连续性处的连续

10、性. xx 22:3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 3. 3.左连续和右连续左连续和右连续 定义定义4 设函数设函数f(x)在点在点(a，x0内有定义内有定义,当当x x0-时的左极限时的左极限存在，且等于函数值存在，且等于函数值f(x0)， 即即 ,则称函数则称函数y=f(x)在点在点x0处处左连续左连续。000(0)lim( )()xxf xf xf x000(0)lim( )()xxf xf xf x 设函数设函数f(x)在点在点x0，b)内有定义内有定义,当当x x0+时的左极限存在，时的左极限存在，且等于函数值且等于函数值f(x0)， 即即 ,则称函数则称函数y=f(

11、x)在点在点x0处处右连续右连续。函数函数f(x)在点在点x0处处连续的充要条件是连续的充要条件是f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0) 在区间上在区间上每一点都连续每一点都连续的函数的函数,叫做在该叫做在该区间区间上的上的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.3-1 函数的连续性与间断点函

12、数的连续性与间断点 4. 4.函数函数f(x)的区间连续性的区间连续性一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点定理定理1 1 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理2 2 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续

13、的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 4. 4.函数函数f(x)的区间连续性的区间连续性一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;注意注意 1.在分段区间上定连续。在分段区间上定连续。 2.分段点分段点连续性需利用定义去判断。连续性需利用定义去判断。步骤：步骤：1、求函数值、求函数值f(x0)=?2、求极限值、求极限值 ？3、判断：、判断： ？)()(lim00 xfxfxx)(lim

14、0 xfxx5.5.分段函数的连续性分段函数的连续性一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点.0, 0, 1, 0,1)(2处连续在讨论函数xxxxxxfxy0 xxf 1)(1)(2 xxf11)0( f1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim200 xxfxx1)0()(lim0 fxfx.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf1)(lim0 xfx2 2. .求极限值求极限值1 1. .求函数值求函数值3 3. .判断：判断： 分段点两边函数表达式分段点两边函数表达式不同不同需分需分左右极限左右极限3-1 函数的连续

15、性与间断点函数的连续性与间断点例例2 2.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念例例3 3解解 分段函数的定义可知，分段函数的定义可知，f(0)=0)(lim)

16、(lim00 xxfxx0),0(f .0)(处连续在点故函数xxf.000)(处的连续性在，讨论函数xxxxxxf)(lim)(lim00 xxfxx0),0(f 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念练习练习) 1(lim)(lim22xxfxx3),2(f4lim)(lim222xxfxx),2(f左左连续但不连续但不右右连续连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf.)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数22122xxxxxxf解解 分段函数的定义可知，分段函数的定义可知，f(2)=22=例例4 4.001)(2

17、在定义域内连续性，讨论函数xxxxxf3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念解解 分段函数的定义分段函数的定义域为（域为（-，+）(,0( )1xf xxx 当时，是 的一次函数；2(0,)( )xf xxx当时，是 的二次函数.在在函数的分段点函数的分段点x=0处，函数的左右极限分别为：处，函数的左右极限分别为：0(00)lim11xfx20(0 0)lim0 xfx(00)(00)ff所以函数所以函数f(x)在点在点x=0处不连续处不连续时时当当时时当当时时当当设设1111xbaxxxaxxf)(例例5 5)(limxfx1aaxx)(li

18、m1)(limxfx1babaxx)(lim1在在x = 1处连续，求处连续，求a、b的值的值a = -1 b = 2 解解 分段函数的定义可知，分段函数的定义可知，f(1)=13-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点课堂小结课堂小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;由连续的定义可知，由连续的定义可知， 函数函数 )(xf在点在点 0 x必须满足三个条件：必须满足三个条件：函数 )(xf在点在点 0 x处有定义处有定义)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx连续连续 以上三个条件只要以上三个

19、条件只要有一个不满足有一个不满足，则函数，则函数在点在点x0处处不连续（或间断）不连续（或间断）。课本：课本：P113-114 习题习题3-1（A）1,2,4课后作业课后作业 定义定义1 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，当当xx0时时f(x)的的极限存在极限存在，并且，并且等于等于该点处的该点处的函数值函数值f(x0)，即即 ,则称则称函数函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续，称称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点。00lim( )()xxf xf x二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类此定义常用于判断此定义常用于判断分段函数分段点

20、分段函数分段点的连续性的连续性函数的点连续的概念函数的点连续的概念 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点由连续的定义可知，由连续的定义可知， 函数函数 )(xf在点在点 0 x必须满足三个条件：必须满足三个条件：函数 )(xf在点在点 0 x处有定义处有定义)(lim0 xfxx存在存在)()(lim00 xfxfxx连续连续 以上三个条件只要以上三个条件只要有一个不满足有一个不满足，则函数，则函数在点在点x0处处不连续（或间断）不连续（或间断）。二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类无定义的点无定义的点不存在)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx有情况之一有

21、情况之一为间断点为间断点3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点（1）讨论函数讨论函数 在在 点处的连续性点处的连续性xxftan)( 2 x（2）讨论函数讨论函数 在在 点处的连续性点处的连续性11)(2 xxxf1 x2 xy o2 23 xyo112无穷间断点无穷间断点可去间断点可去间断点二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点函数 )(xf在点 0 x处左右极限都存在的间断点第一类间断点左右极限存在且相等左右极限存在且相等 可去间断点可去间断点左右极限存在不相等左右极限存在不相等 跳跃间断点跳跃间断点3-1 函数的连续性与间断

22、点函数的连续性与间断点二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类函数函数f(x)在点在点x0 处处,左右极限左右极限至少有一个不至少有一个不存在存在的间断点的间断点 第二类间断点无穷无穷间断点间断点震荡震荡间断点间断点3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例1 1.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00

23、( f, 1)00( f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点例例2 研究取整函数研究取整函数f(x)=x在点在点x=2处的连续性处的连续性. 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点解：因为当解：因为当1x2时，时，f(x)=x=1； 当当2x3时，时，f(x)=x=2； 易知易知f(2)=2=2f(2+0)=2=f(2);f(2-0)=1f(2)在点在点x=2处的是右连续，但不是左连续处的是右连续，但不是左连续. 所以取整函数所以取整函数在点在点x=2处不连续，但不是左连续处不连续，但不是左连续.2

24、点为取整函数的跳跃间断可知2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x例例3 3.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 3-1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点如例如例3中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2