PPT2-1：平面力系

1、第第2 2章章 平面力系平面力系 为了研究方便，我们将为了研究方便，我们将力系力系按其按其作用线的分作用线的分布布情况进行情况进行分类分类：平面力系平面力系：各力的作用线处在同一平面内的一群力。：各力的作用线处在同一平面内的一群力。空间力系空间力系：力系中各力的作用线：力系中各力的作用线不处在不处在同一平面同一平面的的 一群力。一群力。平面平面汇交汇交力系：各力作用线力系：各力作用线相交于一点相交于一点的平面力系。的平面力系。平面平面平行平行力系：作用线力系：作用线相互平行相互平行的平面力系。的平面力系。平面平面任意任意力系：作用线即不平行又不相交于一点的力系：作用线即不平行又不相交于一点的

2、平面力系。平面力系。第第2 2章章 平面力系平面力系2-1 平面汇交力系平面汇交力系 讨论力系的讨论力系的合成合成和和平衡条件平衡条件的的方法方法可分为：可分为：解析法解析法：计算规范程式化，适合于计算机编程。：计算规范程式化，适合于计算机编程。几何法几何法：直观明了，物理意义明确。：直观明了，物理意义明确。 第第2 2章章 平面力系平面力系一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法RF 设作用于刚体上的四个力设作用于刚体上的四个力 构成平面构成平面汇交力系，根据汇交力系，根据力的可传性力的可传性原理，首先将各力沿其作原理，首先将各力沿其作用线移到用线移到 O 点，再将各力依次合

3、成，求出合力点，再将各力依次合成，求出合力 。 4321 FFFFRF第第2 2章章 平面力系平面力系RF4321RFFFFFRF1Fab2Fc3Fd4Fe1F2F3FRF4FabcdeR1FR2F力多边形力多边形法则法则：各力矢各力矢 和合力矢和合力矢 构构成的多边形成的多边形 abcde 称为力多边形。称为力多边形。代表代表合力矢合力矢 ae 的的边称为力多边形的边称为力多边形的封闭边封闭边。这种用力多边形求合力。这种用力多边形求合力矢的作图规则称为力多边形法则。矢的作图规则称为力多边形法则。 4321 FFFFRF第第2 2章章 平面力系平面力系 用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇

4、用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为汇交力系合成的交力系合成的几何法几何法。合成中需要。合成中需要注意注意以下两点：以下两点：合力的作用线必合力的作用线必通过汇交点通过汇交点。改变改变力系合成的力系合成的顺序顺序，只改变力多边形的形状，并，只改变力多边形的形状，并不影响不影响最后的最后的结果结果。即不论如何合成，。即不论如何合成，合力是唯一合力是唯一确定的确定的。 ：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边代表，作用线通过力大小和方向由力多边形的封闭边代表，作用线通过力系中各力作用线的汇交点。合力的表达式为：系中各力作用线的汇交点。

5、合力的表达式为： 结论结论 n1n21RiiFFFFF第第2 2章章 平面力系平面力系0n1iiF平面汇交力系平面汇交力系平衡的充分必要条件平衡的充分必要条件 平面平面汇交力系平衡汇交力系平衡的的充分必要条件充分必要条件是力系的是力系的合合力等于零力等于零。也即各分力。也即各分力 所构成的力多所构成的力多边形边形自行封闭自行封闭。 n21 FFF 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。所以用素。所以用封闭力多边形封闭力多边形可以求出可以求出二个未知元素二个未知元素，即可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力即可以有一个力大小和方向都未知，或者有二个力各有

6、一个未知元素（大小或方向）。各有一个未知元素（大小或方向）。注意注意第第2 2章章 平面力系平面力系解解（1）选比例尺。）选比例尺。 （2）将）将 、 、 首尾相接得到力多边首尾相接得到力多边形形 abcd，其封闭边矢，其封闭边矢量量ad 就是合力矢就是合力矢 。RF321 FFF 例例2-1 如图所示，在圆环上作用有三个力，大小如图所示，在圆环上作用有三个力，大小分别为：分别为：F1=300N，F2=600N，F3=1500N，其作用线，其作用线相交于相交于O点。试用几何作图法求力系的合力点。试用几何作图法求力系的合力 。 RF第第2 2章章 平面力系平面力系量得量得：合力：合力FR = 1

7、650N， 与与 x 轴夹角轴夹角 =1621。RFab1F2Fc3FdRF第第2 2章章 平面力系平面力系解解（1）先以销钉）先以销钉A为研究对象进为研究对象进 行受力分析。行受力分析。 例例2-2 如图所示，在曲柄压机的如图所示，在曲柄压机的铰链铰链A上作用一水平力上作用一水平力 F = 300N。已。已知杆知杆 OA = 0.20m，AB = 0.40m。试求。试求当杆当杆OA与铅垂线与铅垂线OB的夹角的夹角 = 30 时，时，锤头作用于物体锤头作用于物体M的压力。的压力。（2）再取锤头）再取锤头B为研究对象。为研究对象。M注意注意连杆连杆AB为为二力构件二力构件!第第2 2章章 平面力

8、系平面力系MN370N1FABOAsinsin48.14N360MF二力构件二力构件比例尺比例尺第第2 2章章 平面力系平面力系FyxzozFyFxFcosFFxcosFFzcosFFy 设直角坐标系设直角坐标系Oxyz如图所示，已知力如图所示，已知力 与与xyz 轴间的夹角分别轴间的夹角分别为为 。则力。则力 在在xyz 轴上的投影轴上的投影FxFyFz 分别为：分别为： FFFxFyFz为代数量。为代数量。注意注意二、平面汇交力系合成的解析法二、平面汇交力系合成的解析法1. 力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影第第2 2章章 平面力系平面力系 二次投影法二次投影法FyxzozFyF

9、xFxyFcossinFFxcosFFzsinsinFFy 力的正交分解力的正交分解kjiFFFFzyxzyxFFF 、 、 分别为分别为x、y、z 方向的单位矢量，方向的单位矢量，若以若以 分别表示分别表示 沿直沿直角坐标轴角坐标轴x、y、z的三个正交分量，则的三个正交分量，则 i jkzyxFFF F第第2 2章章 平面力系平面力系 力的投影和分量的力的投影和分量的区别区别： 力的投影是标量，而力的分量是矢量；力的投影是标量，而力的分量是矢量； 对于对于斜交斜交坐标系，力的投影坐标系，力的投影不等于不等于其分量的大小。其分量的大小。 已知力的三个投影，求力的已知力的三个投影，求力的大小大小

10、和和方向方向的公式的公式 FFxarccos222zyxFFFFFFyarccosFFzarccos注意注意第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-3 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力合力F =2828N，齿轮压力角，齿轮压力角 =20，螺旋角，螺旋角 =25。试计算齿轮所受的圆周力试计算齿轮所受的圆周力Ft轴向力轴向力Fa和径向力和径向力Fr。第第2 2章章 平面力系平面力系N1123sinnFFxsinFFZN2408cosnFFyN967N20sin28280N2657cosnFF解：解：取坐标系如图所示，使取坐标系如图所示，使 x、y、z 三个

11、轴分别沿齿三个轴分别沿齿 轮的轴向圆周的切线方向和径向，先把总啮合轮的轴向圆周的切线方向和径向，先把总啮合 力力 向向 z 轴和轴和 Oxy 坐标平面投影，分别为坐标平面投影，分别为F由二次投影法得由二次投影法得第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-4 如图所示，如图所示，在数控车床上加工外圆时，在数控车床上加工外圆时，已知被加工件已知被加工件S对车刀对车刀D的作用力（即切削抗力）的的作用力（即切削抗力）的三个分力为：三个分力为：Fx= 300 N，Fy= 600 N，Fz=1500 N。试求合力的大小和方向。试求合力的大小和方向。SDRFxFyFzF第第2 2章章 平面力系平面力系RFx

12、FyFzF9279arccosRFFx222RzyxFFFF5368arccosRFFy55155arccosRFFz解：解：取坐标系如图所示，合力取坐标系如图所示，合力 的大小和方向为：的大小和方向为：RF222)1500(600300N1643第第2 2章章 平面力系平面力系2、解析法、解析法 对于平面汇交力系对于平面汇交力系 （ ），各力），各力在平面直角坐标系中，可写成：在平面直角坐标系中，可写成： n ，321k kFjiFyxFFkkk平面汇交力系的合力平面汇交力系的合力 等于各分力等于各分力 的矢量和：的矢量和： kFRF n1kkn21RFFFFF力在平面直角坐力在平面直角坐标

13、系中的解析式标系中的解析式jiFyxFFRRR第第2 2章章 平面力系平面力系 n1n21Rn1n21RiiyyyyyiixxxxxFFFFFFFFFF合力投合力投影定理影定理 合力投影定理合力投影定理：平面汇交力系的合力在任一坐标轴上：平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和代数和。RRRR222R2RR)cos()cos(FFFFFFFFFiyixiyixyxj ,Fi ,F 大小大小和方向和方向RF第第2 2章章 平面力系平面力系00iyixFF平面汇交力系平面汇交力系平衡平衡的充要条件的充要条件解析式解析式平面汇

14、交力系平衡的充分必要的解析条件是：力系平面汇交力系平衡的充分必要的解析条件是：力系中各力在中各力在x、y坐标轴上的投影的代数和都等于零。坐标轴上的投影的代数和都等于零。 说明说明 用解析法求解未知力时，约束力的指向用解析法求解未知力时，约束力的指向要事先要事先假定假定。 在平衡方程中解出未知力若为在平衡方程中解出未知力若为正正值，说明预先值，说明预先假定假定的指向是的指向是正确正确的；若为的；若为负负值，说明实际指向与假定值，说明实际指向与假定的方向的方向相反相反。 3. 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程第第2 2章章 平面力系平面力系解解（1）取左半拱）取左半拱AB（包括销钉（包

15、括销钉B）为研）为研究对象。究对象。 例例2-5 如图所示三铰拱，不计拱重。已知结构尺如图所示三铰拱，不计拱重。已知结构尺寸寸 a 和作用在和作用在 D 点的水平作用力点的水平作用力F = 141.4N，求支座，求支座AC约束反力约束反力 和和 。RAFRBF AB只受到右半拱只受到右半拱BC 的作用力和铰链的作用力和铰链支座支座A的约束反力，的约束反力，属于属于二力构件二力构件。RBRAFF第第2 2章章 平面力系平面力系 （2）再取右半拱）再取右半拱BC为为研究对象。研究对象。 作用在作用在 BC 上的三个上的三个力应满足三力平衡汇交定力应满足三力平衡汇交定理。从而可确定理。从而可确定 作

16、用作用线的方位。线的方位。 RBF取坐标系取坐标系Bxy，列出平面汇交力系的平衡方程：，列出平面汇交力系的平衡方程：法一法一01niixFniiyF10045cos45cos0R0RCBFFF045sin45sin0R0RCBFF第第2 2章章 平面力系平面力系取坐标系取坐标系Bxy，列出平面汇交力系的平衡方程，列出平面汇交力系的平衡方程法二：法二：045cosR0CFF045sinR0BFFyx解得解得N10022RFFBN10022RFFC更简便更简便! “”表示的表示的 指向与指向与受力图中假定的指向受力图中假定的指向相反相反。 RBF01nix iFniy iF10第第2 2章章 平面

17、力系平面力系解解（1）以杆）以杆AB为研究对象。为研究对象。杆杆AB受到三个力的作用。受到三个力的作用。 例例2-6 如图所示的均质细长杆如图所示的均质细长杆AB重重 G =10N，长，长 l = 1m。杆一端。杆一端 A 靠在光滑的铅垂墙上，另一端靠在光滑的铅垂墙上，另一端 B 用用长长 a = 1.5m的绳的绳 BD 拉住。求平衡时拉住。求平衡时AD两点之间的两点之间的距离距离 x墙对杆的反力墙对杆的反力 和绳的拉力和绳的拉力 。TFNFNFTFGxy 因因C为为AB的中点，则的中点，则E为为DB的中点，的中点，A为为AB的中的中点：点：在直角三角形在直角三角形BFD中中 xAFDA(1)

18、 )2(222xaBF第第2 2章章 平面力系平面力系01niixF01niiyF0cosTNFF0sinTGFNFTFGxy 在直角三角形在直角三角形BFA中中 (2) 222xlBF(1) )2(222xaBF由（由（1）、（2）得）得m646. 0322lax39.592arcsinax解得解得N62.11TFN92. 5NF第第2 2章章 平面力系平面力系2-2 平面力偶系平面力偶系 一、力对点的矩义一、力对点的矩义 FhMO)(F 设平面上作用一力设平面上作用一力 ，在该平面内任取一点，在该平面内任取一点O称称为力矩中心，简称为力矩中心，简称矩心矩心。点。点O到力作用线的垂直距离到力

19、作用线的垂直距离h 称为称为力臂力臂。力。力 对点对点O的矩用的矩用 表示或表示或 表表示，计算公式为：示，计算公式为：F)(FOMOMF第第2 2章章 平面力系平面力系 在平面问题中力对点的矩是一个在平面问题中力对点的矩是一个代数量代数量，它的，它的 绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力矩的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力矩的正正 负号通常规定负号通常规定为：力使物体绕矩心逆时针方向为：力使物体绕矩心逆时针方向 转动时为正，顺时针方向转动时为负。转动时为正，顺时针方向转动时为负。 力矩在下列两种情况下力矩在下列两种情况下等于零等于零： （1）力的大小等于零；）力的大小等于零； （2）力的作用

20、线通过矩心，即力臂等于零。）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的力矩的量纲量纲是是力力长度长度，在国际单位制中以，在国际单位制中以 牛顿牛顿米米（Nm）为单位。）为单位。FhMO)(F第第2 2章章 平面力系平面力系二、平面问题中力对点的矩的解析表达式二、平面问题中力对点的矩的解析表达式 xyOyFxFM)( F力对点的矩的解析表达式力对点的矩的解析表达式FhMO)(F)sin( FrsincoscossinFrFrcossinsincosFrFrsincosryrxsincosFFFFyx力矩的解析表达式力矩的解析表达式 第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-7 刹车踏板如图所示，

21、已知刹车踏板如图所示，已知F=300N， 与水与水平线夹角平线夹角 =30，a=0.25m，b=c=0.05m，推杆顶力，推杆顶力 为水平方向。试求踏板平衡时，推杆顶力为水平方向。试求踏板平衡时，推杆顶力 的大小。的大小。FSFSF解：解：踏板踏板AOB为绕定轴为绕定轴O转动的转动的杠杆，力杠杆，力 对对O点矩与力点矩与力 对对O点矩平衡。力点矩平衡。力 作用点作用点A坐标为坐标为 FFSFm250m05. 0.aybxN15030sinN26030cosFFFFyx力力 在在 xy 轴上的投影为轴上的投影为 F第第2 2章章 平面力系平面力系N1149N05. 05 .57)(ScMFoFx

22、yOyFxFM)(FmN)260(25. 0)150(05. 0mN5 .57力力 对对O点的矩点的矩 F由由杠杆平衡条件杠杆平衡条件0)(1niiOMF得到得到 第第2 2章章 平面力系平面力系 力偶是力偶是特殊特殊的力系，具有它自己的特性。的力系，具有它自己的特性。1、力偶的概念及等效、力偶的概念及等效 力偶作用面力偶作用面：力偶中两个力：力偶中两个力所决定的平面。所决定的平面。力偶臂力偶臂：两个力作用线之间的：两个力作用线之间的垂直距离垂直距离，以，以 d 表示。表示。 注意注意 力偶的合力矢为零，力偶对物体力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生不产生移移动效应动效应，只产生转动效应。，只产

23、生转动效应。力偶力偶：把大小相等、方向相：把大小相等、方向相反并且反并且不共线不共线的两个平行力的两个平行力称为，记作称为，记作 ( ， ) 。F F二、平面力偶二、平面力偶 第第2 2章章 平面力系平面力系力偶矩力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。“”规定：以规定：以逆时针逆时针转向为转向为正正，顺时针顺时针转向为转向为负负。力偶矩的力偶矩的单位单位：牛顿：牛顿米（米（Nm）表示。）表示。1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 相等，则两个力偶彼此相等，则两个力偶彼此等效等效。2）力偶可在其作用面内）力偶可在其作用

24、面内任意移动任意移动和和转动转动，而，而不会改不会改 变变它对物体的作用效果。它对物体的作用效果。3）在保持）在保持力偶矩大小力偶矩大小和和转向转向不变不变的条件下，可以同的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。体的作用。 dFM结结 论论第第2 2章章 平面力系平面力系2、平面力偶系的合成与平衡、平面力偶系的合成与平衡 222111 dFMdFM平面力偶系平面力偶系：作用在同一个物体上、且均在同一平：作用在同一个物体上、且均在同一平面内的面内的 n 个力偶所组成的力偶系。个力偶所组成的力偶系。 如图所示，设如图所示，设

25、 ， 和和 ， 为作用在某物体为作用在某物体同一平面内的两个力偶，力偶臂分别为同一平面内的两个力偶，力偶臂分别为d1d2，则，则 ）（ 11FF）（ 22FF第第2 2章章 平面力系平面力系P2P1RP2P1R FFFFFFdMFdMF2P21P1 合力偶矩合力偶矩dFFdFM)(P2P1R21MM 第第2 2章章 平面力系平面力系平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和各分力偶矩的代数和 n1n21iiMMMMM0n1iiM平面力偶系平面力偶系平衡平衡的充分必要条件的充分必要条件 平面力偶系平衡平面力偶系平衡的的充分必要条件充

26、分必要条件是：合力偶矩等于是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 第第2 2章章 平面力系平面力系解解 因因 5 个力偶处于个力偶处于同一个平面，所以它同一个平面，所以它们的合力矩等于各力们的合力矩等于各力偶矩的代数和偶矩的代数和，即即 例例2-8 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计各孔的切削力偶矩为各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = M3 = M4 = 20N m。 M5 = 100N m。当用多轴钻床同时加工这。当用多轴钻床同时加工这5个孔时，个孔时，问工件受到的总切削力偶矩问工件受到的总切削

27、力偶矩 M 是多少？是多少？51iiMM54321MMMMMmN180第第2 2章章 平面力系平面力系注意注意 如果机械加如果机械加工工艺允许，将钻第工工艺允许，将钻第 5 个孔的轴改为个孔的轴改为逆时逆时针针方向转动，钻其他方向转动，钻其他 4 个孔的转向不变，个孔的转向不变，这时总切削力偶矩为这时总切削力偶矩为 51iiMM54321MMMMMmN2010020202020固定箱盖的夹具在加工固定箱盖的夹具在加工时受力状态时受力状态大为改善大为改善！第第2 2章章 平面力系平面力系2-3 平面任意力系平面任意力系平面任意力系：各力平面任意力系：各力的作用线在同一平面的作用线在同一平面内内任

28、意分布任意分布的力系。的力系。P第第2 2章章 平面力系平面力系平面平面平行平行力系：各力的作用线位于同一平面内并力系：各力的作用线位于同一平面内并且互相平行的力系。且互相平行的力系。第第2 2章章 平面力系平面力系一、力的平移定理一、力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点作用在刚体上的力可以向任意点平移平移，平移后，平移后附附加一个力偶加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。力矩。FdMM)(BFF F F FdM 第第2 2章章 平面力系平面力系力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。例如用扳手

29、和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳例如用扳手和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳手的两端均匀用力，一推一拉，形成力偶作用。手的两端均匀用力，一推一拉，形成力偶作用。下图为错误操作下图为错误操作第第2 2章章 平面力系平面力系二、平面一般力系向一点简化二、平面一般力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩 设刚体上作用一平面一般力系设刚体上作用一平面一般力系 ， ， ， ，各力的作用点分别为各力的作用点分别为 A1 , A2 , , An 。在平面内任意。在平面内任意选一点选一点 O，称为，称为简化中心简化中心。n21 FFF RniiOOMM1)(Fnii1RFF主矢主矢 主矩主矩第第2 2章章 平面力系

30、平面力系主矢主矢 大小和方向：既可根据力多边形法则用大小和方向：既可根据力多边形法则用几几何法何法求出，也可根据求出，也可根据解析法解析法求得。求得。 RF n1n21Rn1n21RiiyyyyyiixxxxxFFFFFFFFFF解析法解析法RRRR222R2RR)cos()cos(FFFFFFFFFiyixiyixyxj ,Fi ,F 大小大小和方向和方向RF 第第2 2章章 平面力系平面力系选取选取不同不同的简化中心，的简化中心，主矢不会改变主矢不会改变，因为主矢总，因为主矢总是等于平面一般力系中各力的矢量和，也即主矢与是等于平面一般力系中各力的矢量和，也即主矢与简化中心的位置简化中心的位

31、置无关无关。注意注意但是但是主矩主矩一般来说与简化中心的位置一般来说与简化中心的位置有关有关，因为一，因为一般情况下力系中的各力对不同的简化中心的力矩是般情况下力系中的各力对不同的简化中心的力矩是不同的，所以力系中各力对不同的简化中心之矩的不同的，所以力系中各力对不同的简化中心之矩的代数和一般也是不相同的，在提到主矩时一定要代数和一般也是不相同的，在提到主矩时一定要指指明明是对是对哪一点的主矩哪一点的主矩。 第第2 2章章 平面力系平面力系固定端约束固定端约束（插入端约束）：这类约束的特点是连（插入端约束）：这类约束的特点是连接处有很大的刚性，接处有很大的刚性，不允许不允许构件与约束之间发生任

32、构件与约束之间发生任何何相对运动相对运动。第第2 2章章 平面力系平面力系 平面平面一般力系平衡一般力系平衡的的充分必要条件充分必要条件是：力系的是：力系的主矢主矢和力系对任一点和力系对任一点 O 的的主矩主矩分别分别等于零等于零。 平面一般力系平面一般力系的平衡方程的平衡方程00ROMF平衡方程平衡方程的的解析式解析式（基本式基本式）niiOniiyniixMFF1110)(00F三三 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程第第2 2章章 平面力系平面力系注意注意niiBniiAniixMMF1110)(0)(0FF二力矩式二力矩式niiCniiBniiAMMM1110)(0)(0)(

33、FFF三力矩式三力矩式二力矩式：二力矩式：A、B 两点的联线两点的联线 AB 不能不能与与 x 轴轴垂直垂直。三力矩式：三力矩式：A、BC 三点三点不能共线不能共线。 选用基本式二力矩式还是三力矩式，完全决定于选用基本式二力矩式还是三力矩式，完全决定于计算是否方便计算是否方便。不论何种形式，独立的平衡方程只。不论何种形式，独立的平衡方程只有三个。有三个。 第第2 2章章 平面力系平面力系 平面平面平行力系平衡平行力系平衡的的充分充分必要条件必要条件是：力系中各力的代是：力系中各力的代数和等于零，以及各力对任一数和等于零，以及各力对任一点的矩的代数和等于零。点的矩的代数和等于零。 niiOnii

34、yMF110)(0F平衡方程平衡方程的解析式的解析式（基本式）（基本式）四四 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程niiBniiAMM110)(0)(FF二力矩式二力矩式二力矩式中二力矩式中A、B 两点的联线两点的联线不能不能与与 x 轴轴垂直垂直。注意注意第第2 2章章 平面力系平面力系解解 （1） 以齿轮转以齿轮转动轴为研究对象进动轴为研究对象进行受力分析。行受力分析。 例例2-9 如图所示，数控车床一齿轮转动轴自重如图所示，数控车床一齿轮转动轴自重G = 900N，水平安装在向心轴承，水平安装在向心轴承A和向心推力轴承和向心推力轴承B之间。齿轮受一水平推力之间。齿轮受一水平推力

35、的作用。已知的作用。已知 a = 0.4m，b = 0.6m，c = 0.25m，F = 160N。当不计轴承的宽度。当不计轴承的宽度和摩擦时，试求轴上和摩擦时，试求轴上A、B处所受的约束反力。处所受的约束反力。F （2）取坐标系取坐标系Axy，列平面一般，列平面一般力系的平衡方程。力系的平衡方程。c第第2 2章章 平面力系平面力系0BxFF0ByAFGF0)(cFaGFbaByniiAniiyniixMFF1110)(00FN160BxFN400ByFN500AF解得解得第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-10 如图所示水平梁如图所示水平梁 AB，受到一均布载荷和，受到一均布载荷和一力

36、偶的作用。已知均布载荷的集度一力偶的作用。已知均布载荷的集度 ，力偶矩的大小力偶矩的大小 ，长度，长度 。不计梁本。不计梁本身的质量，求支座身的质量，求支座 A、B 的约束反力。的约束反力。kN/m2 . 0qm5lmkN1MkN1 kN52 . 0 qlF解解 （1）以梁）以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布为研究对象进行受力分析。将均布 载荷等效为集中力载荷等效为集中力 ，方向铅垂向下，作用点在，方向铅垂向下，作用点在 AB 梁的中点梁的中点 C，大小为：，大小为：F （2）分析支座）分析支座 A、B 的约束反力的约束反力0.5l0.5l第第2 2章章 平面力系平面力系niiAnii

37、yniixMFF1110)(00FkN81. 0BFkN40. 0AxFkN30. 0AyF解得解得（3）列平面一般力系的平衡方程，求解。列平面一般力系的平衡方程，求解。060cos0BAxFF060sin0BAyFFF060sin0ABFMACFB0.5l0.5l第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-11 如图所示一可如图所示一可沿轨道移动的塔式起重沿轨道移动的塔式起重机，机身重机，机身重G=200kN，作用线通过塔架中心。作用线通过塔架中心。最大起重量最大起重量FP=80kN。为防止起重机在满载时为防止起重机在满载时向右倾倒，在离中心线向右倾倒，在离中心线 x 处附加一平衡重处附加一平

38、衡重FQ，但又必须防止起重机在但又必须防止起重机在空载时向左边倾倒。试空载时向左边倾倒。试确定平衡重确定平衡重FQ以及离左以及离左边轨道的距离边轨道的距离 x 的值。的值。x第第2 2章章 平面力系平面力系解解 以整个起重机为研究以整个起重机为研究对象进行受力分析，对满对象进行受力分析，对满载和空载情况分别考虑。载和空载情况分别考虑。 xniiBniiAMM110)(0)(FF04) 210(2) 2(04) 210(2) 2(APQBPQFFGxFFFGxF （1）满载时：作用在起）满载时：作用在起重机上的五个力构成平面重机上的五个力构成平面平行力系。平行力系。 第第2 2章章 平面力系平面

39、力系kN4240)2(xFFQAkN41360)2(xFFQB 欲使起重机满载时不致向右倾倒的条件为欲使起重机满载时不致向右倾倒的条件为 0AF0kN4240)2( xFFQA(1) 240)2(xFQ得得第第2 2章章 平面力系平面力系xniiBniiAMM110)(0)(FF042) 2(042) 2(AQBQFGxFFGxF（2）空载时（）空载时（ ）：）：作用在起重机上的四个力作用在起重机上的四个力构成平面平行力系。构成平面平行力系。 0PF4400)2(xFFQA4400)2(xFFQB第第2 2章章 平面力系平面力系 欲使起重机空载时不致向左倾倒的条件为欲使起重机空载时不致向左倾倒

40、的条件为 0BF4400)2(xFFQA4400)2(xFFQB)2( 400)2( xFQ24002240 xFxQ24002240QQFxF由由(1)、(2)式得式得第第2 2章章 平面力系平面力系2-4 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题静定和超静定问题静定和超静定问题物体系统物体系统：由若干个物体通过约束联系所组成的系：由若干个物体通过约束联系所组成的系统称为物体系统，简称为统称为物体系统，简称为物系物系。系统平衡系统平衡：当：当整个系统平衡整个系统平衡时，组成该系统的时，组成该系统的每一每一个物体个物体也都也都平衡平衡。因此研究这类问题时，既可取系。因此研究这类问题时，既可取系统中

41、的某一个物体为分离体，也可以取几个物体的统中的某一个物体为分离体，也可以取几个物体的组合或取整个系统为分离体。组合或取整个系统为分离体。内力内力和和外力外力：内力和外力的概念是：内力和外力的概念是相对相对的。当取的。当取整整个系统个系统为研究对象时，系统中物体间的相互作用为为研究对象时，系统中物体间的相互作用为内力。但当研究物系中某一物体或某一部分的平衡内力。但当研究物系中某一物体或某一部分的平衡时，物系中的其它物体或其它部分对所研究物体或时，物系中的其它物体或其它部分对所研究物体或部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。第第2 2章章 平面力系平面力系力系

42、力系名称名称平面任平面任意力系意力系平面汇平面汇交力系交力系平面平平面平行力系行力系平面平面力偶系力偶系空间任空间任意力系意力系独立独立方程数方程数32216各种力系的独立方程数各种力系的独立方程数 对于对于 n 个物体组成的系统，在个物体组成的系统，在平面任意力系平面任意力系作用下，作用下，可以列出可以列出 3n 个独立平衡方程。在个独立平衡方程。在平面汇交力系平面汇交力系作用作用下，可以列出下，可以列出 2n 个独立平衡方程。个独立平衡方程。第第2 2章章 平面力系平面力系静定问题静定问题：若所研究的问题的未知量的数目：若所研究的问题的未知量的数目等于等于或或少于少于独立平衡方程的数目时，

43、则所有未知量都独立平衡方程的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求出能由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。这类问题称为静定问题。 第第2 2章章 平面力系平面力系静不定问题静不定问题：若未知量的数目：若未知量的数目多于多于独立平衡方程的独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这类问数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这类问题称为静不定问题（或称题称为静不定问题（或称超静定问题超静定问题），总未知量），总未知量数与总独立平衡方程数两者之数与总独立平衡方程数两者之差差称为称为静不定次数静不定次数。第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-12 多跨静定梁由多跨静定梁由 AB 梁和梁和

44、 BC 梁用中间铰梁用中间铰 B 连连接而成，支承和荷载情况如图所示，已知接而成，支承和荷载情况如图所示，已知 F = 20kN，q = 5kN/m， = 45 ；求支座；求支座 A、C 的反力和中间铰的反力和中间铰 B处的内力。处的内力。静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先固定固定基本部分基本部分，后加上，后加上附属部分附属部分。仅靠本身能承受荷。仅靠本身能承受荷载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能承受荷载并保持平衡的承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。部分梁称为附属部分。

45、求解这类问题通常是先求解这类问题通常是先 研究附属部分，再计算研究附属部分，再计算 基本部分。基本部分。 第第2 2章章 平面力系平面力系解：解：AB 梁是基本部分，梁是基本部分， BC 梁是附属部分。梁是附属部分。1）先取先取BC梁为研究梁为研究对象，列平衡方程对象，列平衡方程 niiBM10)(FniiyF10niixF1002cos1CFFkN14.14CF0sinCBxFFkN10BxF0cos CByFFFkN10ByF第第2 2章章 平面力系平面力系2）再取再取AB梁为研究梁为研究对象，列平衡方程对象，列平衡方程 niiAM10)(FniiyF10niixF10022212ByAF

46、qMmkN30AM0BxAxFF02ByAyFqFkN20AyFkN10AxF第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-13 如图所示，一构架由杆如图所示，一构架由杆 AB 和和 BC 所组成，所组成，载荷载荷 F = 20kN。已知。已知 AD = DB = 1m，AC = 2m，滑轮，滑轮半径均为半径均为 0.3m，如不计滑轮重和杆重，求，如不计滑轮重和杆重，求 A 和和 C 处处的约束反力。的约束反力。解解 （1）先取）先取整体整体研究，研究，列平衡方程：列平衡方程：niiCM10)(FniiyF10niixF10kN23AxF0CxAxFFkN23AxCxFF03 . 22FFAx0F

47、FFCyAy第第2 2章章 平面力系平面力系（2）再取）再取 BC 杆杆研究，列平衡方程：研究，列平衡方程：niiBM10)(FkN10 CyFkN10CyAyFFF0223 . 1TCxCyFFFFF T 第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-14 如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、曲柄和飞轮组成。已知飞轮重曲柄和飞轮组成。已知飞轮重G，曲柄，曲柄OA长长 r ，连杆，连杆AB 长长 l ，当曲柄，当曲柄 OA 在铅垂位置时系统平衡，作用于在铅垂位置时系统平衡，作用于活塞活塞 B 上的总压力为上的总压力为 F，不计活塞、连杆和曲柄的重，不计活塞、连杆

48、和曲柄的重量，求阻力偶矩量，求阻力偶矩 M、轴承、轴承O的反力。的反力。 第第2 2章章 平面力系平面力系解解 （1）先以活塞为研究对象，）先以活塞为研究对象，列平衡方程：列平衡方程：0cosSFFniixF10niiyF100sinSNFF （2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象，）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象，列平衡方程：列平衡方程：22ScosrllFFF22SNsinrlrFFF解得解得第第2 2章章 平面力系平面力系 （2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象，列平衡方程：象，列平衡方程：0cosOSxFF0sinOSGFFyn

49、iixF10niiyF10niiOM10)(F0cosSMFr22OrlrFGFy解得解得FrFrMcosSFFFxcosSO第第2 2章章 平面力系平面力系2-5 平面桁架的内力分析平面桁架的内力分析 桁架桁架：由若干直杆在其两端用：由若干直杆在其两端用铰链连接铰链连接而成的而成的几何几何形状不变形状不变的结构。的结构。平面桁架平面桁架：桁架中所有的杆件都在同一平面内。：桁架中所有的杆件都在同一平面内。节点节点：桁架中各杆件的连接处。：桁架中各杆件的连接处。 组成桁架的各杆都是组成桁架的各杆都是直杆直杆； 所有所有外力外力都作用在桁架所处的平面内，且都作用于都作用在桁架所处的平面内，且都作用

50、于节点处节点处； 组成桁架的各杆件彼此都用组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接光滑铰链连接，杆件自，杆件自重略去不计，故桁架的每根杆件都是重略去不计，故桁架的每根杆件都是二力杆二力杆。 理想桁架假设理想桁架假设第第2 2章章 平面力系平面力系由于平面汇交力系只能列出由于平面汇交力系只能列出两个两个独立平衡方程独立平衡方程，所，所以应用节点法以应用节点法必须必须从从只含只含两个未知力两个未知力大小的节点开大小的节点开始计算。始计算。一、节点法一、节点法 因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以到平面汇交力系的作

51、用，为计算各杆内力，可以逐个逐个地取节点地取节点为研究对象，为研究对象，分别分别列出列出平衡方程平衡方程或作出封闭或作出封闭的力多边形，即可由已知力求出全部杆件的内力，这的力多边形，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。就是节点法。注意注意第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-15 平面桁架的受力及尺寸如图所示，平面桁架的受力及尺寸如图所示， 试求桁试求桁架各杆的内力。架各杆的内力。解解 1）先求支座反力：以先求支座反力：以整体整体桁架为研究对象进行桁架为研究对象进行 受力分析，列平衡方程：受力分析，列平衡方程：niiBM10)(FniiyF10niixF1002 FFFByAy0

52、BxF022lFlFAyFFAyFFFFAyBy2第第2 2章章 平面力系平面力系2）取各节点为研究对象。假设各杆取各节点为研究对象。假设各杆 承受的均为拉力，列平衡方程：承受的均为拉力，列平衡方程： 030sin1SFFAy030cosS1S2FF节点节点 A：niiyF10niixF10FF73. 1S2（拉）（拉）FF21S（压）（压）得得023S FF05S2SFF节点节点 D：niiyF10niixF10FF2S3（拉）（拉）FF73. 15S（拉）（拉）得得第第2 2章章 平面力系平面力系节点节点 C：niiyF10niixF10FFF2S1S4（压）（压）解得解得060sin60

53、sin4S1SFF060cos60cos3S4S1SFFF第第2 2章章 平面力系平面力系1）一般先）一般先以以整体整体桁架为研究对象，桁架为研究对象，求出桁架的求出桁架的支座支座 反力反力；节点法求桁架内力的总结节点法求桁架内力的总结2）从只有从只有两个未知力两个未知力的节点开始，的节点开始，逐个逐个选择各节点选择各节点 为研究对象，用几何法或解析法为研究对象，用几何法或解析法求解内力求解内力；3）判定各杆件受拉还是受压。分析节点受力时，通判定各杆件受拉还是受压。分析节点受力时，通 常先假设各杆都受拉力（即杆件对节点的作用力常先假设各杆都受拉力（即杆件对节点的作用力 背离节点），如求解结果为

54、背离节点），如求解结果为正正，则说明该杆确实，则说明该杆确实 受受拉拉；若求解结果为；若求解结果为负负，则说明该杆实际承受的，则说明该杆实际承受的是是压压力，即与假设相反。力，即与假设相反。第第2 2章章 平面力系平面力系应用截面法求桁架内某些杆件内力的应用截面法求桁架内某些杆件内力的步骤步骤和和要点要点与与节点法基本节点法基本相同相同。二、截面法二、截面法 节点法用于求桁架全部杆件内力时是适宜的。但节点法用于求桁架全部杆件内力时是适宜的。但是在工程实际中，有时只要求计算桁架内某几个杆件是在工程实际中，有时只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，如仍用节点法就显得麻烦。此时，可以所受的内力，如仍

55、用节点法就显得麻烦。此时，可以适当地选择一截面，在需求其内力的杆件处适当地选择一截面，在需求其内力的杆件处假想假想地把地把桁架桁架截开截开为两部分，然后考虑其中为两部分，然后考虑其中任一部分任一部分的的平衡平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力，这就是截面法力，这就是截面法 。注意注意第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-16 如图所示的平面桁架，各杆件的长度都如图所示的平面桁架，各杆件的长度都等于等于1m，在节点，在节点E上作用荷载上作用荷载 F121kN，在节点，在节点G上上作用荷载作用荷载 F215kN ，试计算杆，试计算

56、杆1、2和和3的内力。的内力。解解 1）先求支座反力：以先求支座反力：以整体整体桁架为研究对象进行桁架为研究对象进行 受力分析，列平衡方程：受力分析，列平衡方程：niiyF10niixF10021FFFFByAy0AxFniiAM10)(F021321FFFBykN19AyFkN17ByF解得解得第第2 2章章 平面力系平面力系nm2）作截面作截面 mn 假想将假想将1、2、3杆杆截断截断，并取桁架的左，并取桁架的左 半部分为研究对象进行受力分析，列平衡方程：半部分为研究对象进行受力分析，列平衡方程： 0160sin1A1SyFF03260sin121A3S1yFFF060sin12SAFFF

57、yniiyF10niiEM10)(FniiDM10)(F第第2 2章章 平面力系平面力系解得解得注意注意如选取如选取右右半部分为研究对象，可求得半部分为研究对象，可求得相同的结果相同的结果。采用截面法求内力时，选择适当的采用截面法求内力时，选择适当的力矩方程力矩方程，常可，常可较快地求得某些指定杆件的内力。较快地求得某些指定杆件的内力。因为只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，因为只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次一般每次最多最多只能只能截断三根截断三根杆件。杆件。kN9 .21sin60A1SyFF（压）（压）kN8 .202sin6031A2SFFFy（拉）（拉）kN31.

58、 2sin60A13SyFFF（拉）（拉）第第2 2章章 平面力系平面力系2-6 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题摩擦摩擦：一个物体沿另一个物体接触表面有：一个物体沿另一个物体接触表面有相对运动相对运动或或相对运动趋势相对运动趋势时而受到阻碍的现象，称为摩擦现时而受到阻碍的现象，称为摩擦现象，简称为摩擦。象，简称为摩擦。摩擦分类摩擦分类：静摩擦和动摩擦。：静摩擦和动摩擦。静摩擦静摩擦 研究表明，当物体处于研究表明，当物体处于相对静止相对静止时，静摩擦力时，静摩擦力由平衡方程确定，其大小由平衡方程确定，其大小随随主动力主动力的的变化变化而而变化变化，并且在如下范围之内：并且在如下范围之内

59、： max0FF 最大最大静摩擦力静摩擦力第第2 2章章 平面力系平面力系Fmax 当物体处于当物体处于临界平衡状态临界平衡状态时，摩擦力达到时，摩擦力达到 的的最大值最大值； f 静摩擦因数；静摩擦因数；FN 摩擦面法线方向的压力值。摩擦面法线方向的压力值。1）已知作用于物体上的主动力，须判断物体是否处）已知作用于物体上的主动力，须判断物体是否处 于平衡状态，并计算所受的摩擦力。于平衡状态，并计算所受的摩擦力。考虑有摩擦时的平衡问题可分为三种类型考虑有摩擦时的平衡问题可分为三种类型2）已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大）已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大 小或物体平衡时的位置（距离或角度）。小或物体平衡时的位置（距离或角度）。3）求物体的平衡范围。）求物体的平衡范围。静摩擦定律静摩擦定律NmaxFfF第第2 2章章 平面力系平面力系 例例2-17 如图所示，一重如图所示，一重 G = 1000的物体放在倾角的物体放在倾角 = 45