第2章抽样分布

1、 第2章 抽样分布 第1节 常用分布类型 数理统计中常用的分布有4个：标准正态分布，分布，分布和分布。一、标准正态分布密度函数:, 百分位点：，称为标准正态分布的百分位点。查表，。二、分布定义：设相互独立，都服从标准正态分布，称 服从自由度为的分布，记为。密度函数：, 当时，成为的指数分布，即密度函数的形状是右偏的。 不同自由度的分布密度函数曲线性质性质1（可加性） 若，与相互独立，则性质2（矩的性质），百分位点：，称为分布的百分位点。查表，英国统计学家Fisher曾证明，当时，比如，查表数学史：历史上，分布曾被多位科学家以不同的途径引进。分布最早是由法国数学家比埃奈梅(I.J.Bienaym

2、e,1796-1878)在1852年导出。英国物理学家麦克维斯(James Clerk Maxwell,1831-1879)在1859年证明了气体分子运动速度的模的平方服从。德国大地测量学者赫尔梅特(F.Helmert)1876年在研究正态总体的样本方差时也发现了分布。奥地利物理学家波尔兹曼(Ludwig Eduard Boltzmamt,1844-1906)分别在1878年和1881年导出了分布和（不必为整数）。三、分布(Student分布)定义：设，且与相互独立，称为服从自由度为的分布，记为密度函数，密度曲线的形状与标准正态分布密度曲线的形状及其相似。利用函数的性质（Stirling（17

3、30）公式：已知对每一，存在一 ，使得）可得 再利用第二个重要极限，所以 百分位点：，称为分布的百分位点。查表， 数学史：分布(Student分布)的由来：英国的Cosset,W.S.(1876-1937)发现的。Cosset,W.S.，在英国的牛津大学学习数学与化学，1899年在酿酒厂任化学技师。记，发现落在区间 （-1，1）， （-2，2）， （-3，3）的频率 0.626 0.884 0.960与在的概率 0.683 0.995 0.997相差较大，于是他在1906年至1907年间去伦敦大学学习统计方法。1908年，以Student为笔名发表论文均值的或然误差，给出分布的密度曲线，所以后

4、人称之为学生氏分布。直到1923年，Fisher给出了分布严格的数学推导，1925年，又编制了分布表。四、分布定义：设，且与相互独立，称为服从自由度为，的分布，记为密度函数的图形为右偏的 不同自由度的分布密度函数曲线性质性质1 若，则性质2 若，则，百分位点：，称为分布的百分位点。查表， 性质3 数学史：分布统计量最早见于英国统计学家费歇尔(Ronald Aylmer Fisher,1809-1963)1822年发表的论文回归公式的拟合优度及回归系数的分布，其中，他导出了一个自由度为的分布统计量。分布的名称由美国统计学家斯纳德柯(G.W.Snedecor)在1932年引进，以纪念Fisher的

5、功绩。 第2节 正态总体的抽样分布定理1* 设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差，则（1）；（2）和相互独立。证明：构造阶正交矩阵令 由于是来自于总体的简单随机样本，是的线性组合，所以都服从正态分布，且往证相互独立，并求出其分布。定理1（单正态总体的抽样分布） 设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差，则（1） （2） （3） （4） （5） （6）和相互独立。定理2（双正态总体的抽样分布） 设是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差；是来自于总体的简单随机样本，和分别是样本均值和样本方差。且两样本相互独立，则（1）（2）（3） （4）（5）例

6、1 求总体的容量分别为10、15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。已知例2 设是来自于总体的简单随机样本，求例3 设在总体中抽取一容量为16的样本，未知，（1）求；（2）求例4 设总体，从两个总体中分别抽样，得到结果如下：，求：例5 设，统计量服从什么分布，试说明你的理由。例6 设，统计量服从什么分布，试说明你的理由。 第3节 顺序统计量的分布 设总体的概率密度函数为，分布函数为，为取自总体的样本，该样本的次序统计量为。一、第个次序统计量的密度函数 特别地，最小次序统计量的密度函数 最大次序统计量的密度函数 二、第个次序统计量与第个次序统计量的联合密度函数 特别地，最小次序统计量与最大次序统计量的联合密度函数 ，三、前个次序统计量的联合密度函数 特别地，当时， 例1设总体的概率密度函数为，为取自总体的样本，该样本的次序统计量为，求第3个次序统计量的密度函数解：，例2 设电子元件的寿命（耐用时间）服从参数为的指数分布。测试了6个元件，分别记录它们的失效时间（单位：小时）。试求（1）至800小时，没有一个元件失效的概率；（2）至3000小时，所有元件都失效的概率。四、样本极差的