《线性代数》样卷B及答案.doc

1、线性代数样卷B一、选择题（本题共10 小题 , 每小题 2 分，共 20 分)( 从下列备选答案中选择一个正确答案)1、排列 7352164 的逆序数为（）（ A）11（B）12 （C）13（D）142、若 A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）（ A） (2 A)（ C）(A )3、以初等矩阵12 A 1（B） AA01A 1（D） ( A1T1T1TA)(A )001001A施行初等变换为 （010右乘初等矩阵 A 100相当于对矩阵）100010（ A） r2r3（ B） C2C3（ C） r1r3（ D） C1C34、奇异方阵经过（）后，矩阵的秩有可能改变（ A）初等变换（ B）

2、左乘初等矩阵（ C）左右同乘初等矩阵（ D）和一个单位矩阵相加5、 如果 n 元齐次线性方程组Ax0 有基础解系并且基础解系含有s(sn) 个解向量， 那么矩阵 A 的秩为（）（ A） n（ B） s（ C） ns（ D）以上答案都不正确6、向量组1,2 ,3 线性无关，2 ,3 , 4 线性相关，则有（）（ A）1可由4,2,3线性表示（B）2 可由1,4,3线性表示（ C）3可由1,2,4线性表示（D）4 可由1,2,3线性表示7、 以下结论正确的是（）（ A）一个零向量一定线性无关；（ B）一个非零向量一定线性相关；（ C）含有零向量的向量组一定线性相关；（ D）不含零向量的向量组一定线

3、性无关8、 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）（ A）充要条件（ B）充分不必要条件（ C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件10219、 关于 x 的一次多项式f ( x)3111 ，则式中一次项的系数为（）x2543111（ A）2（B） 2（ C）3（D） 310、下列不可对角化的矩阵是（）（ A）实对称矩阵（ B）有 n 个相异特征值的n 阶方阵（ C）有 n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵（ D）不足 n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题 （本题共10 空，每空2 分，共 20分）（请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的 3 重特

4、征值为2，则行列式A =68342、已知D7623，则 6A8A3A4A =.32122122232443213. 设 A 为三阶可逆矩阵，且 A13A1，则3251=4、311125、矩阵134的秩是1346、行列式123中元素 2 的代数余子式是2476257、设 AX0 为一个 4 元齐次线性方程组，若1 , 2 , 3 为它的一个基础解系，则秩R( A)2118、设 A132的行最简形为：.1219、已知 x(6,4,3) T , y(1, 3,2)T ，则 x, y.10、 设向量(3, 2,2)T 与向量( 4,3, t) T正交，则 t三、计算题 （本题共 2 小题 , 每小题

5、6 分，共 12分）（要求写出主要计算步骤及结果）42L2212024L22f ( x)x24x 1，求 f ( A) .1、计算MMM2、已知，A 210DnM22L4200222L24四、综合应用题（本题共 4 小题，共 48分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、（ 8 分）已知向量组TTT1 1,2,3,2 , 21, 1,3,0 , 35,7, 3,4 , ，（ 1）求该向量组的秩 .（ 2）求该向量组的一个最大无关组.（ 3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.2、（ 8 分）验证 1 (0, 2,1)T ,2(2, 1,3)T , 3( 3,3,4)T 为 R3 的一个基

6、并求 1 (1,2,3)T ,2 (2,3,1)T 在这个基中的坐标。3、（ 14 分）设有向量组A : a1(2,2, 4)T , a2(1,2, 4)T ,a3 (2, , 3)T及向量 b(1,3,)T , 问,取何值时。（ 1）向量 b 不能由 A 向量组线性表示？（ 2）向量 b 能由 A 向量组线性表示，且表示式唯一？（ 3）向量 b 能由 A 向量组线性表示，且表示式不唯一？4、（ 18 分）已知二次型=2 x124x1 x2 + x224x2 x3 ,（ 1）写出二次型对应的矩阵 A .(3 分)（ 2）求矩阵 A 的特征值 . (3 分 )（ 3）求矩阵 A 的特征值对应的特

7、征向量 .(6 分)（ 4）求正交变换xPy 把二次型=2 x124x1 x2 + x2 24x2 x3 化为标准型 . (6 分 )线性代数样卷B 答案及评分标准一、选择题（本题共 10 小题 , 每小题 2 分，共 20 分 )1-5: CBDDC6-10:DCBAD二、填空题 （本题共10 空，每空2 分，共 20 分）1、 82 、 03 、 14 、 355 、 29121006、 -47 、 18、0109、 1210、 3001三、计算题 （本题共2小题,每小题 6分，共 12分）1、122L 2 2122L2C1Ci142L2 20 2 0L0解：D(2n2) MM M rir

8、1(2 n2)0 02L01C1 (2 n 2)122L4 2i2,LnMMMM122L2 40 0 0L2(2 n2)2 n 1（ 6 分）x21202、已知 f (x)4 x 1 ， A 210，求 f ( A) .002解： A2340（2 分）480（2 分）4304A840004008640f A A24AE46（2 分）0003四、综合应用题（本题共 4 小题，共 48 分）（要求写出主要计算步骤及结果）TTT1、（ 8 分）已知向量组1 1,2,3,2 , 21, 1,3,0 , 35,7, 3,4 , ，（ 1）求该向量组的秩.（ 2）求该向量组的一个最大无关组.（ 3）将不属

9、于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.115102217r013解： A3300（2分）30204000（ 1）该向量组的秩R( 1, 2,3 )2 ，（2 分）（ 2）该向量组的一个最大无关组为1 ,2（2分）（3） 32 13 2（2 分）2、（ 8 分）验证1(0, 2,1)T ,2(2,1,3)T , 3 ( 3,3, 4)T 为 R3 的一个基并求 1(1,2,3) T ,2(2,3,1)T在这个基中的坐标。解：证 A( 1,2 ,3 )B(1 ,2 )0231210024(A, B) 21323:01 0171343100114A: E即1,2, 3 为 R3,的一个基（4 分）

10、（2 分）且121 2 3,24 172 43即 1 ,2 在这个基中的坐标分别为(2,1, 1)和 ( 4,7, 4)（2分）3、（ 14 分）设有向量组A : a1(2,2, 4)T , a2(1,2, 4)T ,a3(2, 3)T及向量 b(1,3,)T , 问,取何值时。（ 1）向量 b 不能由 A 向量组线性表示？（ 2）向量 b 能由 A 向量组线性表示，且表示式唯一？（ 3）向量 b 能由 A 向量组线性表示，且表示式不唯一？解：设 x1a1x2a2x3 a3b 记 A(a1, a2 , a3 )x(x1, x2 , x3 )T21212121( A b)2230324（5 分）

11、44300326（ 1）当表示。（ 3 分）3 且6 时 R( A) 2 R( A,b) 3,Ax b 无解， 即 b 不能由 A 组线性2（ 2）当3R( A, b)3, Axb 有唯一解， b 能由 A 组唯一表示。（ 3 分）时 R(A)2（ 3）当3 且6时， R( A)R( A,b)2 3, Ax b 有无穷多解， b 能由 A 表2示且不唯一。（ 3 分）4、（ 18 分）已知二次型=2 x124x1 x2 + x224x2 x3 ,（ 1）写出二次型对应的矩阵 A .(3 分 )（ 2）求矩阵 A 的特征值 . (3 分 )（ 3）求矩阵 A 的特征值对应的特征向量 .(6分 )

12、（ 4）求正交变换 x Py 把二次型 =2 x124x1 x2 +x224 x2 x3 化为标准型 . (6分 )2-20解：（1） A-2 1-2（3 分）0-20220（2） AE2 12(1)(4)(2)02故得特征值为12,21,34（3 分）2时，由 (A2E) X0,即420x1（ 3）当1232x2 0 .022x3x1k1. 得特征向量1（2 分）解得 x22121x322当 21时, 由 ( A-E) X0,即120x12 02 x20021x3x122（2 分）解得 x2k21得特征向量21x322当 34时, 由 (A4E) X0,即220x10 .232x2024x3x122（2