2章 杆件的内力和内力图-弯曲

1、 2.4 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力剪力和弯矩剪力和弯矩2.4.1弯曲杆件的特点、工程实例及力学模型弯曲杆件的特点、工程实例及力学模型1）弯曲杆件的特点）弯曲杆件的特点受力特点：受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF变形特点：变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线；直杆的轴线在变形后变为曲线；最基本常见的弯曲类型：最基本常见的弯曲类型：对称弯曲对称弯曲（平面弯曲）平面弯曲）:梁变形后的轴线与外梁变形后的轴线与外力都在纵向对称平面力都在纵向对称平面内内FA AF1F2 B

2、对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面FB 特例特例平面弯曲平面弯曲构件特征构件特征构件为具有纵对称面的等截面直杆。构件为具有纵对称面的等截面直杆。受力特征受力特征外力或外力偶均作用在纵向对称面内。外力或外力偶均作用在纵向对称面内。变形特征变形特征杆轴线变形杆轴线变形后为后为纵向对纵向对称面内的称面内的平平面曲线面曲线qFeMAyFByFxBAy对称面向纵平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面：具有纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面所构成的平面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线否则

3、称为否则称为横力弯曲横力弯曲。纵向平面内只有弯矩，称为纵向平面内只有弯矩，称为纯弯曲纯弯曲。常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面非对称弯曲（斜弯曲）非对称弯曲（斜弯曲）梁变形后轴线梁变形后轴线所在平面与外力所在平面不重合。所在平面与外力所在平面不重合。yzFPzyFPqxq2 2）工）工 程程 实实 例例3）梁的计算模型（计算简图）梁的计算模型（计算简图） 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。（1）构件本身的简化）构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通

4、常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷简化）载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。计算简图的选取原则计算简图的选取原则正确反映结构的实际受力情况，并使其变形尽可能与实际相符正确反映结构的实际受力情况，并使其变形尽可能与实际相符；与计算手段相适应，简化甚至忽略对结构内力和变形影响较小的；与计算手段相适应，简化甚至忽略对结构内力和变形影响较小的次要因素，使计算简化，但要保证足够的精度。次要因素，使计算简化，但要保证足够的精度。均匀分布荷载均匀分布荷载线性线性(非均匀非均匀)分布

5、荷载分布荷载分布荷载分布荷载集中力偶集中力偶作用在梁上的载荷形式作用在梁上的载荷形式集中力集中力固定铰支座固定铰支座（3）支座简化）支座简化可动铰支座可动铰支座FAyFAyFAxFAy固定端固定端FAxFAyMA 石油、化工设备石油、化工设备中各种直立式反应塔，中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一底部与地面固定成一体，因此，可以简化体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变反应塔将发生弯曲变形。形。 工工 程程 实实 例例悬臂梁悬臂梁 火车轮轴支撑在铁轨火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，上，铁轨对车轮的约束，可以看作

6、铰链支座，火车可以看作铰链支座，火车轮轴可简化为两端外伸梁。轮轴可简化为两端外伸梁。 由于轴自身重量与车由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人货厢以及车厢内装载的人货物的重量相比要小得多，物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。车轮轴将发生弯曲变形。工工 程程 实实 例例外伸梁外伸梁桥式吊车的大梁可桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量支梁。在起吊重量(集集中力中力FP)及大梁自身重及大梁自身重量量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下,大梁将发生弯曲。大梁将发生弯曲。 工工 程程 实实 例例简支梁简支梁静定梁静

7、定梁:支座反力可以由静力平衡方程求解的梁。支座反力可以由静力平衡方程求解的梁。超静定梁超静定梁:支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁。支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁。梁：梁：以弯曲变形为主的杆件。以弯曲变形为主的杆件。梁按支承方式分类梁按支承方式分类悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁aFAB(a)mmx 以图以图(a)所示受集中力所示受集中力 F 作用的简支梁为例，来分析梁作用的简支梁为例，来分析梁任意任意横截面上的内力。横截面上的内力。2.4.2 梁任一横截面上的内力梁任一横截面上的内力剪力和弯矩剪力和弯矩求梁任一横截面上的内力仍然用求梁任一横截面上的内力仍然

8、用截面法截面法aFAmmxB(a)FQ首先利用整体平衡求首先利用整体平衡求支座反力支座反力，然后用截面然后用截面法假想地在横截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分处把梁分为两段，先分析梁左段。析梁左段。因为在这段梁上有向因为在这段梁上有向上的外力上的外力FAy所以在所以在横截面横截面 mm上必有一个上必有一个与与FAy平行而指向相反的平行而指向相反的内力内力 FQ 。FAyFBy(b)xxmAmyRACFAyaFAmmxB(a)FQ0-0QFFFAyyi由平衡方程得由平衡方程得可得可得 FQ = FAyFQ 称为 (b)xxmAmyRACFAyFByFAy(b)由于外力由于外力FAy与剪

9、力与剪力FQ组成了一个力偶，因组成了一个力偶，因而在此横截面上必顶而在此横截面上必顶还有一个与其平衡的还有一个与其平衡的内力偶，设其矩为内力偶，设其矩为M 。aFABmmx(a)FQM可得可得 M=FAyx由平衡方程由平衡方程0MC0 xFMAy(b)xxmAmyRACFAy此内力偶称为此内力偶称为 MFQ取右段梁为研究对象。取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。研究对象所示相反。(b)xxmAmyRACFQMmmRBBF(c)FByFAyF和和 的正负号的规定的正负号的规定dxmmFQFQ+剪力符号剪力符号使使d

10、x 杆段有杆段有 的相对错动时，杆段有顺时针转的相对错动时，杆段有顺时针转动趋势，杆段左右横截面动趋势，杆段左右横截面 上的剪上的剪力为力为正正-即：即：使使dx杆段有杆段有顺时针转动趋势的顺时针转动趋势的剪力为正。（对于水平杆段剪力为正。（对于水平杆段左左上上右右下为正下为正 ）。）。左：脱离体左截面左：脱离体左截面右：脱离体右截面右：脱离体右截面使使dx 杆杆段有段有 的相对错动时，杆段有逆时针转动的相对错动时，杆段有逆时针转动趋势，杆段左、右横截面趋势，杆段左、右横截面 上的剪上的剪力为力为负负-即：即：使使dx杆段有杆段有逆时针转动趋势的剪力逆时针转动趋势的剪力为负。（对于水平杆段为负

11、。（对于水平杆段左左下下右右上为上为负负 ）。）。dxmmFQFQ左：脱离体左截面左：脱离体左截面右：脱离体右截面右：脱离体右截面_mm+_当当dx 杆段的弯曲杆段的弯曲下凸下凸即该段的即该段的下半部受拉下半部受拉 时时，左、右横截面上的弯矩为左、右横截面上的弯矩为于水平杆段：于水平杆段：左顺右逆为左顺右逆为正；正； 弯矩符号弯矩符号（受拉）（受拉）MMmm（受压）（受压）MM当当dx 杆段的弯曲杆段的弯曲上上凸凸即该段的即该段的下半部受拉下半部受拉压压时时，左、右横截面左、右横截面 上的弯矩为上的弯矩为。对于水平杆段：对于水平杆段：左逆右顺左逆右顺为负。为负。左：脱离体左截面左：脱离体左截面

12、右：脱离体右截面右：脱离体右截面剪力：剪力：弯矩：弯矩：使使杆段有顺时针转动趋势杆段有顺时针转动趋势为正为正（对水平杆段左上、右下为正对水平杆段左上、右下为正）,反之为负反之为负使杆段下侧受拉为正使杆段下侧受拉为正（对水平杆段左顺、右逆为正对水平杆段左顺、右逆为正），反之为负反之为负简言之简言之左：脱离体左截面左：脱离体左截面右：脱离体右截面右：脱离体右截面FPllABCDMO=2FPlFPFPllABCDMO=2FPlMA0AClFPMA0FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPlCAFPlMA000QP，CyFFF0)(0P，lFMMCCPQFFClFMCP0FPMA0FPllAB

13、CDMO=2FPlAFPMA0llMO=2FPlDFPMA0FPllABCDMO=2FPlMDFQDAFPMA0llMO=2FPlD00PQ，FFFDy020PlFMMMODD0PQFFD0DMFPMA0FPllABCDMO=2FPl例例 求图示外伸梁在截面求图示外伸梁在截面11、22、33和和44横截面上的剪力和弯矩。横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为解：支反力为0yF0AM032aFFaaFBy)(2FFByFFFAyBy)(3 FFAy xyAF Baa2a11224433M =3FaFByFAy截面截面110yF01CM01aFM) (1顺顺FaMFF1Q截面截面220yF 02CM0

14、2aFM) (2顺顺FaM02QFFFAyFFFFAy22QM1FQ1F C111FAyM2FQ2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFByFAy截面截面3303aFaFMAy) (3逆逆FaMFFFBy24Q截面截面4404aFMBy) (24顺顺FaM03QFFFAyFFFFAyQ23 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFByFAy33C3M3F FQ3FAyFQ4M44C4FBy4内力内力11223344FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1)1)横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁

15、段脱离体的静力平衡方程来确定。侧梁段脱离体的静力平衡方程来确定。 xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F总结以上例题：总结以上例题：2）在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值）在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小，弯矩无变化。集中力大小，弯矩无变化。在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小，剪力无变化。集中力偶矩大小，剪力无变化。内力内力11223344FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F截面截面11) (1顺顺FaMFF1

16、QM1FQ1F C111截面截面22) (2顺顺FaMFFFFAy22QFAyM2FQ2F C222截面截面33) (3逆逆FaMFFFFAyQ2333C3M3F FQ3FAyFFFBy24Q截面截面44) (24顺顺FaMFQ4M44C4FBy4FQFPFPFQFPFPFQFQ+-剪力剪力剪力剪力剪力剪力等于脱离体上等于脱离体上所有外力所有外力沿沿轴线法线轴线法线方向投影的代数和，对方向投影的代数和，对切切开面开面而言，使脱离体产生而言，使脱离体产生顺时顺时转动趋势的转动趋势的外力外力产生正的剪力产生正的剪力，反，反之，使脱离体产生之，使脱离体产生逆时逆时转动趋势的转动趋势的外力外力产生负的

17、剪力。产生负的剪力。对于水平杆段对于水平杆段左上右下为正左上右下为正,反之为负反之为负左上左上：取左部分为脱离体，向上的外力产生正的剪力：取左部分为脱离体，向上的外力产生正的剪力右下右下：取右部分为脱离体，向下的外力产生正的剪力：取右部分为脱离体，向下的外力产生正的剪力FPFPFPFP+-MMMM弯矩弯矩U U U U MMMM+-弯矩弯矩等于脱离体上所有外力对等于脱离体上所有外力对切开面形心切开面形心力矩的代数和，对水平杆力矩的代数和，对水平杆件而言，使脱离体件而言，使脱离体下侧受拉下侧受拉的外力的外力产生正的弯矩产生正的弯矩，使脱离体，使脱离体上侧受上侧受拉拉的外力的外力产生负的弯矩。产生

18、负的弯矩。对于水平杆件对于水平杆件向上的向上的外力外力均将引起均将引起 正值正值 的弯矩，而向下的弯矩，而向下 的外力则引起的外力则引起 负值负值 的的弯矩。弯矩。对于力偶：左顺右逆为正，反之为负对于力偶：左顺右逆为正，反之为负左顺左顺：取左部分为脱离体，顺时转向的力偶产生正的弯矩取左部分为脱离体，顺时转向的力偶产生正的弯矩右逆右逆：取右部分为脱离体，逆时转向的力偶产生正的弯矩：取右部分为脱离体，逆时转向的力偶产生正的弯矩例：求指定截面上的内力例：求指定截面上的内力 FQA左左 ， FQA右右， FQD左左 ， FQD右右 ， MD左左， MD右右 ， FQB左左 ， FQB右右 。解：解：F

19、Ay=14.5kNFBy=3.5kNkN62QqAF左kN582Q.qFFAyA右kN53QQ.FFFByDD右左kN.m42mFMByD左kN.m4364qFMAyD左mkN3qm=3kN.m2m2m4mCADBFAyFBymKNq 3 m=3KN.m2m2m4mCADBFAyFBykN.m7364mqFMAyD右kN.m72FMByD右kN53Q.FFByB左0QFB右例例: : 求求A、B、C、D截面的内力截面的内力。解：求支反力2 ; 2qaFqaFDyAy0;2QARAMqaF左端点A：221;2QqaMqaFBLBB点左：221;2QqaMqaFBRBB点右：221;2QqaMqa

20、FLCCC点左：221;2QqaMqaFRCCC点右：0 ; 21QDLDMqaF右端点D：qqa2qaFAy=0.5qaFDy=0.5qaABCD3aalq0ABC例例: 图中所示挡土墙木桩的计算简图如图图中所示挡土墙木桩的计算简图如图 所示。所示。它是一根在整个长度上受线性分布荷载作用的悬它是一根在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度为臂梁。已知最大荷载集度为 q0=20kN/m ， 梁梁长长 l=2m ，a=1m。求求 C、B 两两点处横截面上的点处横截面上的剪力和弯矩剪力和弯矩。QCFMC02020QlaqF,FCykN5221202220QlaqFC032020al

21、aqM,MCC 解：解： 先计算先计算 C 横横截面上的剪力截面上的剪力 FQC 和弯矩和弯矩 MC 。从对左段梁写出的平衡方从对左段梁写出的平衡方程程kN.m6671262061330.laqMC3alaq220alq0ABCAcaFQC 和弯矩和弯矩 MC 都为负值都为负值，亦即它们的指向和转，亦即它们的指向和转向都和图中相反向都和图中相反。 再计算再计算 B 横截面上的横截面上的剪力剪力 FQB 和弯矩和弯矩 MB ，沿沿支座支座 B 假想地截开假想地截开 ，从，从对左段梁写出的平衡方程对左段梁写出的平衡方程 Aalq0BC3l20lqlABQBMBFQB0200QlqF,FBy032,

22、 00llqMmBBmkN33.1362206220lqMBkN20222020QlqFBFQB 和和MB 都为负值都为负值3l20lqlABQBMBFQB不同横截面处剪力、弯矩的大小是不同的，需不同横截面处剪力、弯矩的大小是不同的，需要找出内力最大的最危险截面，即需要绘出梁要找出内力最大的最危险截面，即需要绘出梁的内力图。的内力图。2.4.3 梁的内力图梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图)(QQxFF )(xMM 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变力和弯矩随截面位置变化的函数式化的函数式剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力方程和

23、弯矩方程及剪力图和弯矩图xMxxFQBAl例：简支梁受均布载荷作用例：简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并试写出剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx lxqx/qlxF02Q lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。2/ql2/qlFQxMx2max,QqlF82maxqlM8/2ql0.5l BAlFAyFBy例：图示简支梁例：图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出剪力和弯

24、矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyFb/l FByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FQxl /abFPx1AC axl /bFxF1P1Q0 axl /bxFxM11P10CB lxal /aFxF2P2Q lxal /xlaFxM22P23. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CabFPl /bFPl /aFPMlbFFmax,PQlabFMmaxP发生在集中荷发生在集中荷载作用处载作用处发生在发生在AC段段ba时时FQ FPblxFPblMxFPabl

25、FP BlAabCa=b=l/2时，时，2PQFFmax,4plFMmax BAl例：图示简支梁例：图示简支梁C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1AC axl/MxF11Q0 axlMxxM1110/CBbxl/MxF22Q0bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。CMablM/lMa/lMb/FQ图图M图ba时时lMbMm

26、ax发生在发生在C截面右侧截面右侧Bl/2FAy AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2思考：对称性与反对称性思考：对称性与反对称性BFAy AFByCFP l/2l/2xMFPl/4xFP/2FP/2FQBl/2FAy AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称剪力图为反对称 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称剪力图为正对称结论：结论：2/ql2/qlFQxMx8/2ql0.5lBAlyx例：示悬臂梁受集度为例：示悬臂梁受集度为q的满

27、布均布荷载作用。试作的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、以自由端为坐标原点，则可不求反力、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程： lxqxxF0Q lxqxxqxxM0222ABxlBxFQ(x)M(x)2、 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图注意：注意：弯矩图中正的弯矩值绘在弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方轴的下方(即弯矩值绘在即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧弯曲时梁的受拉侧)。 )0(QlxqxxF )0(22lxqxxMxqlFS ql22xM l/2ql28ABlqlFmax,Q22maxqlMABlxFFl)

28、xl (FFByAyPPFP例题例题 ：一：一简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载FP的作用如的作用如图图所示的。所示的。试求梁的最大弯矩为极大时荷载试求梁的最大弯矩为极大时荷载FP的位置。的位置。解：先设解：先设 FP 在距左支在距左支座座 A 为为x的任意位置。的任意位置。求此情况下梁的最大求此情况下梁的最大弯矩。荷载在任意位弯矩。荷载在任意位置时，支反力为置时，支反力为：ABxlFAyFByFPxl)xl (FxFMAyCP当荷载当荷载 FP 在距左支座为在距左支座为 的任意位置的任意位置 时，梁的最大时，梁的最大弯矩即为弯矩即为 C 点处横截面上点处横截面上的弯矩的弯矩 M C ，其值为其

29、值为 ：x02PxllF2lx AB令令0dxdMCABxlFPFPFAyFByC此结果说明：当移动荷载此结果说明：当移动荷载F P 在简支梁的跨中时，在简支梁的跨中时， 梁的最大弯矩为极大梁的最大弯矩为极大。xl)xl (FxFMAyCP得最大弯矩值得最大弯矩值lFMmaxP412lx 代入式将第二种方法：控制截面法第二种方法：控制截面法xyq(x)FPm1）弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系）弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q = q(x)规定规定：将将 x 轴的坐表原点取在轴的坐表原点取在 梁的梁的。设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载其集度其集度1 .弯矩、剪力与分布

30、荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用内力是由外荷载引起的，两者必然存在着内在的关系。内力是由外荷载引起的，两者必然存在着内在的关系。FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为假想地用坐标为 x 和和 x+dx的的两横截面两横截面 m-m 和和 n-n 从梁从梁中取出中取出 dx 一段。一段。xyq(x)FPmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx 截面处截面处 则分别为则分别为 FQ(x)+dFQ(x), M(x)+dM(x) 。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x) 沿沿dx的变化的变化m-m截面上内力为截面上内力为FQ(x)

31、， M(x) Fy= 0FQ(x) - FQ(x)+dFQ(x) + q(x)dx = 0得到得到 Mc = 0 M (x) + dM(x) - M(x) - FQ(x) dx - q(x)dx.dx2= 0写出平衡方程写出平衡方程FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得= q(x)dFQ(x)dx= FQ(x)dM(x)dx= q (x)d2M(x)dx2dM(x)dx= FQ(x) d M(x) 2d x2= q(x)= q(x)dxdFQ(x) d M(x) 22d x= q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(

32、x) = q(x)dM(x)M(x)图为一向图为一向下下凸的二次抛物线凸的二次抛物线FQ(x)图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线xFQ(x)oM(x)xoq(x)、FQ（x）图、图、 M（x）图三者间的关系图三者间的关系梁上有向下的均布荷载，即梁上有向下的均布荷载，即 梁段上无荷载作用，即梁段上无荷载作用，即 剪力图为一条水平直线剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线弯矩图为一斜直线xFQ(x)oxoM(x)xM(x)o当当 FQ(x) 0 时，向右下方倾斜。时，向右下方倾斜。当当 FQ(x) 0q0FQ 0 x斜直线增函数xx降函数xC自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降

33、函数曲线xM山峰状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与F反向MxM1M2mMM21利用以上特征利用以上特征1)可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2)可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。求支座反力。求支座反力。BA00，BAMMOOBAOOBA方法一方法一（-）（+）FAy0.89 kN 0.89 kN FFy1.11 kN 1.11 kN FByBA1.5m1.5m1.5mFAy1kN.m2kNDCFQ（ kN）0.891.11方法二方法二

34、（-）（-）1.3350.3351.665M（ kN.m）OOBAkN111maxQ.FmkN6651max.MmaxMmaxQFOOBAqBA00，BAMMqaFqaFByAy4349,qBACqBAqBAqBAqxEqaFAy4902004902，EEEyqxMMxqqaF2232812149qaqxMaxEEEqBAqBA2maxmaxQ328149qaMqaFqBA （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy FQ 9qa/4 7qa/4qa（+） M 81qa2/32qa2xQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqqqqqqxFQxFQqaFQMxMxqa

35、2/2qa2FQqqFQqq2230QqaM;F0 ; QMqaF2 ;QqaMqaF223; 0QqaMFaaqaqA解：左端点：解：左端点：分区点分区点A：M 的驻点的驻点：右端点：右端点：FQx223qaqa2qaxM例：绘出下列悬臂梁的内力图例：绘出下列悬臂梁的内力图例例: : 画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2 ; 2qaFqaFDyAy0;2QMqaF左端点A：221;2QqaMqaFB点左：221;2QqaMqaFB点右：221;2QqaMqaFC点左：M 的驻点：283; 0QqaMF221;2QqaMqaFC点右：0 ; 21QMqaF右端点D：qqa2qaFAyFDyF

36、Qxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+B3aACM =3qa2axq例：试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分例：试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。关系作图示梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、支反力为、支反力为qaFAy35qaFBy310BM 0AM03232aFaaqqaAy022332aaqqaaFByFByB3aACM =3qa2axqFAyAC段：段： q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线剪力值剪力值qaF35Q2 2、作剪力图、作剪力图FQ5qa/3xqa/38a/3xFByB3aACM =3q

37、a2axqCB段：段：q=常量常量0 剪力图为向右下方剪力图为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线qaF35QCqaFB31QFAy3、作弯矩图、作弯矩图AC段段弯矩图弯矩图斜直线斜直线CB段段弯矩图弯矩图二次抛二次抛物线物线B3aACM =3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）FQ5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）例题例题 :一简支梁受两个力一简支梁受两个力FP作用如图所示。已知作用如图所示。已知 FP= 25.3KN，有关尺寸如图所示。试用控制截面法有关尺寸如图所示。试用控制截面法作此梁的剪力图和弯矩图。作此梁的剪力图和弯矩图。解：

38、求梁的支反力。由平衡解：求梁的支反力。由平衡 方程方程 mB=0 和和 mA=0 得得k623 .FAykN 27FBy将梁分为将梁分为AC，CD，DB三段。三段。 每一段均属无外力段每一段均属无外力段。ABCD2001151265FPFPFAyFBy剪力图剪力图每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线AC段：段：FQ1 = FAy =23.6kNCD段：段：FQ2= FAy-FP = -1.7kNDB段：段：FQ3 =- FBy = - 27kNkN27maxQFABCD2001151265FPFP123kN6 .23FAykN27FBy最大剪力发生在最大剪力发生在DB段中的段中

39、的任一横截面上任一横截面上+1.72723.6FQ图（图（kN)ABCD2001151265FPFP123弯矩图弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线。且每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩各点处横截面上的弯矩。0 MAmkN724200FMAyCmkN113115FMByD0 MBmkN724maxM+4.723.11M图（图（kN.m）最大弯矩发生在最大弯矩发生在 C 截面截面kN6 .23FAykN27FBy对图形进行校核对图形进行校核在集中力作用的在集中力作用的 C，D 两点两点剪力图发生突变，突变值剪力图发生突变，

40、突变值 FP=25.3kN 。 而弯矩图而弯矩图有尖角。在有尖角。在AC段剪力为正值段剪力为正值，弯矩图为向下倾斜的直线。，弯矩图为向下倾斜的直线。在在CD和和DB段，剪力为负值段，剪力为负值，弯矩图为向上倾斜的直线。，弯矩图为向上倾斜的直线。最大弯矩发生在剪力改变正，最大弯矩发生在剪力改变正，负号的负号的C点截面处。说明剪点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。力图和弯矩图是正确的。+1.72723.6ABCDFPFP123FAyFBy+4.723.11FQ图（图（kN)M图（图（kN.m)=5mFx3m4m4m4mkN2kN2kN.m10mm1kNqABcDEkN7FAykN5FBy例例:

41、作梁的内力图作梁的内力图解：支座反力为解：支座反力为kN7FAykN5FBy7kN1kN+-3kN3kN2kNFQ图图3m4m4m4mkN2kN2kN.m10mm1kNqABcDEkN7FAykN5FBy例例: 作梁的内力图作梁的内力图解：支座反力为解：支座反力为kN7FAykN5FBy+-20.5201666 M图图 （kN.m)例例: :试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：已知： kN81AyFmkN5 .96AMkN29ByF( (逆时针逆时针) )1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=50kNMA FAx

42、 FAyFBy 96.515.53155345M图图( (kNm) )813129FQ图图( (kN) )1.45 m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=50kN中间铰链传递剪力中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的（铰链左，右两侧的剪力相等）；剪力相等）；但不传递弯矩（铰链但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。处弯矩必为零）。81kN29kN96.5kN.m例题例题: 一简支梁受均布荷载作用，其集度一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m , 如图如图 所示。作此梁的剪力图和弯矩图。所示。作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力解：计算梁的支反力kN80

43、6110050FFByAy将梁分为将梁分为 AC、CD、DB三段三段。AC和和DB上无荷载，上无荷载，CD段段有向下的均布荷载。有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612剪力图剪力图AyFByFkN80QFFAyCkN80QFFByDEqABCD0.21.61221DB段：水平直线段：水平直线最大剪力发生在最大剪力发生在 CD 和和 DB 段的任一横截面上。段的任一横截面上。 CD段：段： 向右下方的斜直线向右下方的斜直线AC段：水平直线段：水平直线 FQ1 = FAy = 80 kNkN80QFFByB 左0QFB 右),(FmaxkN80QAyFByF+80KN80KNFQ图图EqAB

44、CD0.21.61221弯矩图弯矩图AC段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线0 MAkN.m1620.FMAyCCD段：向下凸的二次抛物线段：向下凸的二次抛物线mkN1620FMByDmkN48211) 201 (2qFMAyE+80kN80kN其极值点在其极值点在FQ=0的中点的中点E处的处的横截面上。横截面上。DB段：向上倾斜的直线段：向上倾斜的直线 MB = 0AyFByFFQ图图EqABCD0.21.61221+161648M图（kN.m）0 MAkN.m1620.FMAyCmkN1620FMByDmkN48211) 201 (2qFMAyE MB = 0全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大

45、弯矩梁跨中E点的横截面上。点的横截面上。mkN48maxMFAyFBy例例改内力图之错。a2aaqqa2ABFQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaFqaFByAy)x(qx)x(dFdQbabax)x(q)x(FddQbax)x(q)A(F)B(FdQQbaABx)x(qFFdQQ式中，式中，FQA，FQB分别为在分别为在 x=a , x=b 处两各横截面处两各横截面A及及B上的剪力。上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。若在若在 x=a 和

46、和 x=b 处两个横截面处两个横截面A，B间无集中力则间无集中力则2）弯矩、剪力与分布荷载集度间的积分关系）弯矩、剪力与分布荷载集度间的积分关系注意：注意：A B必须必须根据脱离体确定根据脱离体确定)x(Fx)x(MQdd若横截面若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得baABx)x(FMMdQ式中，式中，MA，MB分别为在分别为在 x=a , x=b 处两个横截面处两个横截面 A 及及 B上的上的弯矩弯矩。等号右边积分的几何意义是等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图两个横截面间剪力图的面积。的面积。注意：注意：A B根据根据脱离体确定脱离体确定例题例题: 利用积

47、分关系计算利用积分关系计算 梁梁 C、 E 两横截面上的剪力和弯矩。两横截面上的剪力和弯矩。 EABCD0.21.612caACx)x(qFFdQQkN800QFFAyA在在CE段中段中mkN100qecCEx)x(qFFdQQCEqFCQ020110080 ).(baABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQ在在AC段中段中 q=0 ，且且 FQA=FAy解：解：FAy=80kNFBy=80kNq=100kN/mcaACx)x(FMMdQACFMAQmkN162 . 0800+80kN80kN(b)EqABCD0.21.612在在AC段中段中 FQc = 80kN，剪力图剪力图为矩形

48、，为矩形，MA =0baABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQFQ图图FAy=80kNFBy=80kNecCEx)x(FMMdQCE.FMCCQ21kN.m48201802116).(+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在在CE段中，剪力图为三角形段中，剪力图为三角形FQC=80kN，MC=16kN.mFAy=80kNFAy=80kNFBy=80kNbaABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQFP=20kN解：解：画荷载图画荷载图CABD例题：已知简支梁的剪力图，例题：已知简支梁的剪力图，作梁的弯矩图和荷载图。作梁的弯矩图和荷载图。 已知梁上没有集中力偶作

49、用。已知梁上没有集中力偶作用。+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFQ图图baABx)x(qFFdQQFP=18kNFP=14kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFP=20kNCABDFQ图图FP=18kNFP=14kNBC段：无荷载段：无荷载CD段：有均布荷载段：有均布荷载q( )qx)x(qFFdcCD6dQQkN26)2()14(qAB段：没有荷载，在段：没有荷载，在B处处有集中力，有集中力，FP=20kN。因因为为kN18QFB左kN2Q右BF所以所以FP( )q=2kN/m+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFP=20kNCABDFQ图图FP=18kNFP=14kNq=2kN/m弯矩图弯矩图b