千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼-特殊值法解决二项式展开系数问题

1、第83炼特殊值法解决二项式展开系数问题一、根底知识：1含变量的恒等式：是指无论变量在范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对 变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数或二 项式系数的等式3、常用赋值举例：1 设ab n c0anC；an 1b C2an2b2L cnan rbrLC；bn，令ab1，可得：2nc：cn lc令a1,b1，可得：0 CnC1CCnLn1 C；，即:C C2Lcn c：Cn Lcn 1c n假设n为偶数，再结合可得：C0 C2Lcn c1C Ln 1cn2* i2 设f x2x 1 na：a：

2、xa2x2 LnanX令x1，那么有：ao a： a2Lan2n1 1f 1，即展开式系数和令x0，那么有：a02 0n1f0，即常数项令x1，设n为偶数,那么有：a0 a1 a2a3 LOn1 2 1 n f1a0a2L ana：03L On 1 f:1即偶次项系数和与奇次项系数和的差由即可求出a。a2Lan和a：a3Lan ：的值二、典型例题：例1 ：3x 1 8a02a：xa?xLa8x8，贝U aia30507的值为思路：观察发现展开式中奇数项对应的x指数幕为奇数，所以考虑令x 1,x1，那么偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到a1 a3 a5 a7的值解：令x 1可得：28 a0

3、 a1 LOq令 x 1 可得：48 ao a1 a2 La8可得：28482 Qa3a5aia748答案：-28248x22 9aoa1 x2a2 x 1 La11 x 111a1a? Lan的值为A.B.C. 255D. 2思路：此题虽然恒等式左侧复杂,但仍然可通过对x赋予特殊值得到系数的关系式,观察所求式子特点可令2，得到aoa1L3)1o，只需再求出ao即可。令1可得ao 2，所以a1a2答案：B例3 :设2xaoa-ix2a2x3a3X42a4 x，那么aa?印a1a32的值为(A. 16B.16C.D.思路：所求2a4a12a3a1a2a4aoa1a2asa41可得：aoa2a3a

4、4aoa1a2asa4-2 4aoa2a4a1a32 、216答案:53xaoa1xa2x3a3X4a4x5a5XaoA. 55思路:a1虽然同，且2a23xasa4a5等于(B.C. 25D. 2553x展开式的系数有正有负,5均为正数。所以只需计算但2 3x53x对应系数的绝对值相52 3x 展开的系数和即可。令 x 1，可得系数和为55，所以a。aia2asa4a555答案:20212xa0a1x L2021a2021Xaaa0a2L0)a2021思路:所求表达式可变形为:2021a0a0a1 La2021 ，从而只需求出a0和系数和即可。令x 0可得：a。1 ，令 x1可得:a印 La

5、20211，所以La20212021a0a0ai2021A.a222a1a323a1a20212 2021a12021B.12021C.4026D.思路：所求表达式中的项呈现2的指数幕递增的特点,与恒等式联系可发现令140261，可得:2a21a2ia2021a02a12L200,令x 0可得:a。1，所以a222a202122021a11所以所求表达式变形为：一2C20212x202114026x，a1所以印4026，从而表达式的值为14026答案：2021例 6 :假设C；2n 6!0C2；2 nN ，且2nxa。a1x2 | a2xLnanX，那么a0 a1a2 L1 an等于()A.

6、81B. 27C.243D. 729思路：由2n 6C20CnC202)可得2n6 n2或2n6n220，解得n4，所求表达式只需令x1，可得a0 a1a2L14a421481答案：A例7:假设2x 12021aqx2a?xL2021ca2021Xx R那么答案：D例8 :21 x1 xL1nxna0a1x Lanx，假设a1a2 Lan 129 n，那么n的值为()A.3B. 4C.5D.6思路x 1可得系数和a022n1:在怛等式中令aLan2 22 L2n，与2 1条件联系可考虑先求出ao,an，令 x 0，可得a0n，展开式屮an为最高次项系数,所以an1，4a2Lan 12门12n

7、1，所以2n 12n 129 n ，即2n132，解得n4答案:B例9:假设2x53a23qxa2Xa3X4 dx5ax，那么a。2 a?、3a34a45a5的值是()A.10B. 20C. 233D. 233思路：观察所求式子中 ai项的系数刚好与二项展开式中ai所在项的次数一致，可联想到幕彳5函数求导：xnnxn 1，从而设f x 2x 3 ，恒等式两边求导再令x 1可解得ai 2a2 3as 4a4 5as的值，再在原恒等式中令 x 0计算出a即可解：设 f x 2xa0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x54234f x 5 2x 32 ai 2a?x 3asX 4ax 5a

8、5X令 x 1 可得：10 ai 2a2 3a3 4a4 5a5而在2x53a02axa?x34a3xaqX5asX中，令x 0可得：a53243a0 a12a23a34a45a5233答案：D例10：假设等式2x20211a。2qxa?xLa2021x对于一切实数x都成立，那么1a0尹1L1a2021( )2021A.14030B. 2021C. 2021D. 0思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积3.na?x,L ,anx3，再利用赋值法令1分。例如：a1xx2 ,a2x22x 1即可得到所求表达式的值解：2x 1 2；014a。a1x a2x2L2021a2021x，两边同取不定积分可得12021亠1213.120212x 1Ca0xa1xa2x La2021x030232021令x1可得：C1an1aQ L120214030232021令x0可得:1C 0,11a。a1a2 La20212320212021答案：B小炼有话说：(1)此题可与例9作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不 定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。2021(2