直角坐标系、伸缩变换

1、课刖案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：(二)、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换：XX(0)：yy(0)的作用下，点P(x,y)对应P (x ,y ).称为平面直角坐标系中的伸缩变换0,2、注(1 )(2)把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程:X(1)、已知点(x,y )经过伸缩变换y3x2y后的点的坐标是(3

2、，4)，则X=，y=.1X x(2 )、已知点(x,y)经过伸缩变换2 后的点的坐标是(-2，6 )，则x=，y=y 3y,1 x _ x例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换3 后的曲线方程是4x2 9y21y _ y2求曲线C的方程。36，例3. ( 1 )在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换 3X后的曲线方程是y yX29y9，求曲线C的方程。课后案1 将点(2 , 3、变成点(3 , 2、的伸缩变换是( 、x2-x3x3 x2A.3B.2y2yy3x yxx 1C.D.yxyy 1(2)、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变成直线2x y 4的伸缩变换例4.曲

3、线C经过伸缩变换,1x X3 后的曲线方程是4x2 9y236，求曲线C的方程。,1y尹2.将点p( x, y)的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的 丄，得到点P的坐标为3(、A. (_2,3y)b.(2x,舟)c.(3x,2)D. (|, 2y)x3.曲线C经过伸缩变换yx1 后得到曲线C的方程为y log2(x 2),则曲线C的3y方程为(、1A. y - log 2(x2)1C. y log 2(3 x2)4把函数y sin 2x的图像作怎样的变换能得到b. y 3log 2(x 2)d. y Iog2(3x 2)y sin(2x才的图像A .向左平移一6B .向右平移一6C.向

4、左平移一3D .向右平移一35.将y f (x)的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的-，则所得函数的解析式为31 1y 丁 J)( )C. y 3f(x)3A y 3f (3x) B. y 1 f (3x).1x X6 .点（x, y）经过伸缩变换2 后的点的坐标是（-2 , 6），则x , yy 3y7 将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换是 .x8.为了得到函数 y 2sin（ 一）,x R的图像，只需将函数y2 sin x, x R的图像上所有的点A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

5、6C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6x 3x9.曲线y sin（x ）经过伸缩变换后的曲线方程是6 丿y 2y1 、 一、 倍（纵坐标不变）31 、 一、 -倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）3倍（纵坐标不变）210.曲线x2cy 2x2 20变成曲线x 16y4x 0的伸缩变换是11.曲线9x 4y36经过伸缩变换xy1_x2后的曲线方程是13y12.将直线x 2y2变成直线2x y 4的伸缩变换是13.函数y1 2 cos x2罷iin xcosx21,xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量 x的集

6、合;（2）该函数的图像可由y sin x（x R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到x 2x1.点（?，1）经过伸缩变换3后的点的坐标是;x 2xx 2x223 .在伸缩变换与的作用下，单位圆 x2y2y yy 2yx4函数y，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数3x 1x 3x一1 .点（x, y）经过伸缩变换后的点的坐标是（3,4），贝Uy 2y1分别变成什么图形?2 将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换是 .x3 为得到函数y 2sin（ ）, x R的图像，需将y 2sinx,36A. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6B. 向右平移一个单位长度，

7、再把所得各点的横坐标缩短到原来的6C. 向左平移一个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的x R的图像上所有的点（）1 、 一、 倍（纵坐标不变）31 、 一、 倍（纵坐标不变）33倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)6x 3x4 曲线y sin(x -)经过伸缩变换后的曲线方程是；6y 2y2 2 2 25将曲线xy 2x 0变成曲线x 16y 4x 0的伸缩变换是1 一6.函数f(x)的图像是将函数log2(x 1)的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的31而得到的，则与f (x)的图像关于原点对称的图像的解析式是。2 问

8、题一：(1 )点(2 , -3 )经过伸缩变换xy1x2后的点的坐标是1解：变式 1 (1 , -1 );(2 )点(x, y)经过伸缩变换解：变式2 x 4, y 22 2问题二：(1) 曲线9x 4y36经过伸缩变换(2 )曲线C经过伸缩变换x2 y23y,1x -X一2后的点的坐标是(-2 , 6)，则xy 3yXy2yXy后的曲线方程是后的曲线方程是x2 y22 24x9y36，则曲线 C的方程是1 点,1)经过伸缩变换屮3y后的点的坐标是(,3); ;X2xX2x3 在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆2Xy21分别变成什么图形？yyy2yx 2xx22X2x解:在的作用下，单位圆变

9、成椭圆y21 ;在的作用下，单位圆变成圆y y4y2yx 2x2 2x y 4 ；x14.函数y ，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数y ？3x 1x解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、(先伸缩，再平移)1xy伸长到原来的3 倍:荡3x3x 13（1x）x伸长到原来的3 倍: y 3（T）L1 得y 11Flx1 .点（x, y）经过伸缩变换y3x后的点的坐标是（3 , 4），则x2yy y 2.向左平移1个单位，再向下平移个单位:(y1)(x 1) 1 得方法二、（先平移，再伸缩）2 将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换

10、是x x向左平移1个单位：y31再向下平移-个单位:3x伸长到原来的9倍:13 3(x(1、1(y 3) 31y T%x)方法三、（平移与伸缩的交替运用）y 4y-丄9x19xx3 .为了得到函数y 2sin（上）,x R的图像，只需将函数36(C )2 sin x, x R的图像上所有的点1xx伸长到原来的3倍：y 313（齐11x.3x1得3yA.向左平移B.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 /亠倍31 /亠-倍3（纵坐标不变）（纵坐标不变）向左平移1个单位：3y 11（x 1） 1C.向左平移6个单位长度，再把所得各点

11、的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）11y伸长到原来的3倍：3（y） 1 得y3x1向下平移1个单位：y11得yxD.向右平移个单位长度,6再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）评注：这是一道培养发散思维能力的好题。，五，作业4 .曲线ySin（x 经过伸缩变换x 3x后的曲线方程是y 2yxy 2si n()36x 2x【变式与拓展1】5将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x2 16y2 4x 0的伸缩变换是1.x 2x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换y 3y2 2（1）2x 3y 0 ；（ 2）x y 1.,2,2x y【例 2】解：（1）x y 0 ；

12、（2）一 一 149后的图形:y 2y16.函数f（x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的312而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。解：Q y log2（x 1） 以 3x,2 y 分别代 x, y得 2y log2（3x 1）11y log2（3x1） 有f（x） log2（3x 1），它的图像关于原点对称的图像的解析式是221y log2（1 3x）21典例剖析【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍后的点的坐标:（1） （ 1，2）； （ 2） （ -2，-1）.【例 1 】解：（1）（ 2，

13、6）；（ 2）（ -4，-3）.思考2 :怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来3倍,Ix x得到点P (x ,y).坐标对应关系为：y3y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考3 :怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换x, (0)的作用下，点P(x,y)y,(y0)对应P (x ,y ).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换

14、。将直线x 2y 2变成直线2x y 4，x分析：设变换为yx, (0),可将其代入第二个方程，得2 x y 4，与x 2y 2比y,(0),较，将其变成2x 4y 4,比较系数得1,4.坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到1x X2点P (x ,y ).坐标对应关系为：y y通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。x【解】(1)y4y，直线x2y2图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的可得到直线2x y 4。1、如右图，在平面内取一个 O，叫做;-自极点O引一条射线 Ox，叫做；再选定一个 ，一个 （通常取）及其

15、 （通常取方向），这样就建立了一个 。A4 .将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换是 .x 2xB6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形:y 3y（1）2x 3y 0 ；-2 , 6),则 X极点O与M的距离|OM |叫做点M的，记为；以极轴Ox达标检测1x XA2 .点（x,y经过伸缩变换2 后的点的坐标是y 3y2、设M是平面内一点为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M 的,记为。有序数对叫做点M的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ 应用示例2 2（2）x y 1.老城高中高二数学选修4-4导学案 编号：1.2.1极坐标系的的概念情境

16、2 :如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1 ）他向东偏60 方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗?例题1 : （1）写出图中A , B, C, D , E, F, G各点的极坐标（0,02 ）.（2）:思考下列问题，给出解答。平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？（2 ）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述?问题1 :为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样 的坐标系呢？问题2:如何刻画这些点的位置？二、新课导学探究新知（预习教材P8P10，找出疑惑之处）本题点G的极坐标统

17、一表达式。答：反馈练习A(3,0)B(6,2 )c(3Q45D(5, 3 )E(3)6F(4,)G(亡)问题一：（1）求点（2，-3 ）经过伸缩变换1X2后的点的坐标;13小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应个点。极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论:般地，由，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换（当 1时，表示伸长；当1时，表示伸长；当 1时，表示压缩），即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍（这里 P（X, y） 是变换前的点，X XP（X,y） 是变换后的点）.由，所确定的

18、伸缩变换，是按伸缩系数向着X轴和按伸缩系数 向着y轴的伸缩变换（当 1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时,表示伸长，当 1时，表示伸长；当 k 1时，表示伸长；当 k1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标 变为原来的k倍。这里P （ x, y）是变换前的点，P（x , y）是变换后的点。x = x,2 同样由所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。ky = y4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1 .点（一，1）经过伸缩变换x 2x后的点的坐标是y 3y(,3)A.将点（2, 3）变成点（2）的伸缩变换是（ByC.y2x3

19、32yB.y3x223y3 .在伸缩变换解：在x yD.xyy2x与伸缩变换yy2x的作用下,2y单位圆2y 1分别变成什么图形?x 2xy y的作用下，单位圆变成椭圆4.函数yx42y21 ;在y2x、2丫的作用下，单位圆变成圆x，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数3x 1解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）1 xy伸长到原来的3倍: -y苏3x3x 13（1x）x伸长到原来的3 倍: y 3（T）L1 得y 11Flx1 .点（x, y）经过伸缩变换y3x后的点的坐标是（3 , 4），则x2yy y 2.向左平移

20、1个单位，再向下平移个单位:(y1)(x 1) 1 得方法二、（先平移，再伸缩）2 将直线x 2y 2变成直线2x y 4的伸缩变换是x x向左平移1个单位：y31再向下平移-个单位:3x伸长到原来的9倍:13 3(x(1、1(y 3) 31y T%x)方法三、（平移与伸缩的交替运用）y 4y-丄9x19xx3 .为了得到函数y 2sin（上）,x R的图像，只需将函数36(C )2 sin x, x R的图像上所有的点1xx伸长到原来的3倍：y 313（齐11x.3x1得3yA.向左平移B.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

21、 /亠倍31 /亠-倍3（纵坐标不变）（纵坐标不变）向左平移1个单位：3y 11（x 1） 1C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）11y伸长到原来的3倍：3（y） 1 得y3x1向下平移1个单位：y11得yxD.向右平移个单位长度,6再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）评注：这是一道培养发散思维能力的好题。，五，作业4 .曲线ySin（x 经过伸缩变换x 3x后的曲线方程是y 2yxy 2si n()36x 2x【变式与拓展1】5将曲线x2 y2 2x 0变成曲线x2 16y2 4x 0的伸缩变换是1.y 2y16.函数f（x）的图像是将函数log2（x 1）的图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的31一而得到的，则与f （x）的图像关于原点对称的图像的解析式是。解：Q y log2（x 1） 以 3x,2 y 分别代 x, y得 2y log2（3x 1）11y -log2（3x1） 有f（x） -log2（3x 1），它的图像关于原点对称的图像的解析式是221y log2（1 3x）2x 2x【例2】：在平