第2章连续系统的时域分析

1、信号与系统信号与系统（1）掌握连续时间基本信号：）掌握连续时间基本信号： 、 、 、 和和 。（2）熟练掌握连续信号卷积积分的定义、图解机理、性质和计算。）熟练掌握连续信号卷积积分的定义、图解机理、性质和计算。（3）学会使用微分方程、算子方程和方框图描述）学会使用微分方程、算子方程和方框图描述LTI系统。系统。（4）重点掌握）重点掌握LTI连续系统时域的系统解法。包括系统传输算子连续系统时域的系统解法。包括系统传输算子 、冲、冲激响应激响应 、阶跃响应、阶跃响应 概念的理解和计算，系统零输入响应概念的理解和计算，系统零输入响应 、零状态响应零状态响应 和完全响应和完全响应 的分析求解。的分析求

2、解。（5）了解）了解LTI连续系统时域响应的微分方程经典解法。连续系统时域响应的微分方程经典解法。学习重点：学习重点： 连续系统微分方程的特点；连续系统微分方程的特点； 系统响应的分解形式；系统响应的分解形式； 阶跃响应与冲激响应；阶跃响应与冲激响应； 卷积及其应用；卷积及其应用； 微分方程的算子解法。微分方程的算子解法。第第2章章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析学习目标：学习目标：)(t )(t )cos( ttje ste)(pH)(th)(tg)(tyx)(tyf)(ty信号与系统信号与系统2.0 引引 言言 信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输信号与系统分析的基本任务是在给定

3、系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间时间t的一种分析方法。自的一种分析方法。自20世纪世纪60年代以来，随着年代以来，随着状态变量概念的引入，状态变量概念的引入， 现代系统理论的确立以及计现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。越来越广泛的应用。 信号与系统信号与系统2

4、.1 连续时间基本信号连续时间基本信号 连续时间基本信号包括：连续时间基本信号包括：奇异信号奇异信号、正弦信号正弦信号和和指数信号指数信号。2.1.1 奇异信号奇异信号 数学上不可导的信号（函数），称为奇异信号（函数）。数学上不可导的信号（函数），称为奇异信号（函数）。 )()!1()()(1)(tntdxdxxtnnnttn ,)(,)(,)(),(),(),(),(2,),()!1(,2221nnndttddttddttdtttttttnt )()()1(tt )()()1(tt 信号与系统信号与系统2.1.2 正（余）弦信号正（余）弦信号 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号)cos

5、()( tAtfAAtf (t)o T基本参数：基本参数： 振幅：振幅：A 周期：周期：T 角频率：角频率： T 2初相：初相： 频率：频率： Tf12 )cos()()()( tjtjeeAtAtf信号与系统信号与系统2.1.3 指数信号指数信号 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号stAetf)(1) 若若A=a1和和s=均为实常数，则均为实常数，则f(t)为为实指数信号实指数信号， 即即 tsteaAetf 1)(of (t)a1 0 = 0 0t衰减实信号衰减实信号直流实信号直流实信号增幅实信号增幅实信号信号与系统信号与系统2.1.3 指数信号指数信号 2.1 连续时间基本信号连续

6、时间基本信号stAetf)(2) 若若A=1，s=j，则，则f(t)为为虚指数信号虚指数信号，即，即 tjteAetftjst sincos)(实部信号实部信号虚部信号虚部信号信号与系统信号与系统2.1.3 指数信号指数信号 2.1 连续时间基本信号连续时间基本信号stAetf)(3) 当当A和和s均为复数时，均为复数时， f(t)为为复指数信号复指数信号。 若设若设A=|A|ej，s=+j则则f(t)可表示为可表示为 实部信号实部信号虚部信号虚部信号)sin()cos()()()( tjteAeeAeeAAetfttjttjjst信号与系统信号与系统2.1.3 指数信号指数信号 2.1 连续

7、时间基本信号连续时间基本信号stAetf)()sin()cos()()()( tjteAeeAeeAAetfttjttjjst0)( ; 0)( ; 0)( cbaottoot(a)(b)(c)信号与系统信号与系统2.2 卷积积分卷积积分2.2.1 卷积的定义卷积的定义 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(，)区间上的两个连区间上的两个连续时间信号，我们将积分续时间信号，我们将积分: dtff)()(21定义为定义为f1(t)和和f2(t)的的卷积卷积 (Convolution)， 简记为简记为 : dtfftftf)()()()(2121信号与系统信号与系统例：设两个函数分别为例：

8、设两个函数分别为 ， 1atftet 2fttt求：求： 12ftft解：解： 12ftft aettd 0 000 ,tattetd 00ttaateded00ttaatedaeda 011tatatetd eaa 21attetaa2.2 卷积积分卷积积分2.2.1 卷积的定义卷积的定义 信号与系统信号与系统2.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 2.2 卷积积分卷积积分( )( )( )y tf th t( ) ()fh td变量替换变量替换t( )( )f tf( )( )h th信号与系统信号与系统2.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 2.2 卷积积分卷积积分翻转翻转平移平移(

9、 )()hh()()hh t( )( )( )y tf th t( ) ()fh td信号与系统信号与系统2.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 2.2 卷积积分卷积积分( )( )( )y tf th t( ) ()fh td相乘相乘扫描积分扫描积分 fh t fh td信号与系统信号与系统2.2.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 2.2 卷积积分卷积积分替换替换 翻转翻转平移平移相乘相乘积分积分信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分1221( )( )( )( )f tftftf t 123123( )( )( )( )( )( )f tf tf

10、tf tf tf t1231213( )( )( )( )( )( )( )f tftf tf tftf tf t交换律交换律：结合律结合律：分配律：分配律：性质性质1：卷积代数：卷积代数信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分性质性质2：奇异信号的卷积：奇异信号的卷积证：证：f(t)d()f(t(t)*f(t) 证：证：)( d)()( )(*)( tftftft( )( )( )( )( )f tttf tf t tftfttf d)(d)()()()(证：证：1()( )( )( )( )( )f tttf tft( )( )( )( )( )f t

11、ttf tf t信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分应用：应用： 若若则则12( )( )( )y tf tft1212( )( )( )( )( )y tf tftf tft( )( )( )f ttft1()( )( )( )( )( )tf ttf ttfd一般地一般地1212()( )( )( )( )( )( )( )( )( )ijijjiytftftftft性质性质3：卷积的微分和积分：卷积的微分和积分信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分若若则则12( )( )( )y tf tft0120102

12、()( )()()( )y ttf tfttf ttft推论：推论：性质性质4：卷积的时移：卷积的时移1211221221()()()()()y tttf ttf ttf ttf tt信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分卷积的典型应用之一：脉冲的时移卷积的典型应用之一：脉冲的时移例例2.23 已知已知 和和 、 波形如图所示，求：波形如图所示，求： 和和 。 ( )f t0()tt( )Tt0( )()f ttt( )( )Tf ttA11f (t)t01(1)tot0 (tt0)toT2TT2T( )Tt)()(mTttmT 信号与系统信号与系统2.

13、2 卷积积分卷积积分A(1)tot0t01t0+1 (tt0)f (t)*A11f (t)t01(1)tot0 (tt0)解：解：00( )( )()()y tf tttf tt信号与系统信号与系统2.2 卷积积分卷积积分A11f (t)t0解：解：( )( )( )Ty tf tttoT2TT2T( )TttoT-T2T3T-2T-3T( )( )Tf tt( )()mf ttmT( )()mf ttmT()mf tmT信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分卷积的典型应用之二：门函数的卷积卷积的典型应用之二：门函数的卷积例例 2.2 4 如图所示为门函

14、数，在电子技术中常称矩形脉冲，如图所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号用符号g(t)表示，其幅度为表示，其幅度为1，宽度为，宽度为，求卷积积分，求卷积积分g(t)*g(t)。ot1( )g t22ot1( )g t22?22( )()()g ttt信号与系统信号与系统2.2.3 卷积的性质卷积的性质 2.2 卷积积分卷积积分解：解：)()()()()1()1(tgtgtgtg tttt00,)()2()2()1(tgtt )()2()2()1(tgttdtd tttgtg 0)2()2()1()1(ot1( )g t2222( )()()g ttt信号与系统信号与系统2.2 卷积积分

15、卷积积分1( )( )gtt0221 ( )1()1()( )gtt022112()()gtt0112()()gtt01( )( )g tg tt0221( )g t( )g ttt00222211信号与系统信号与系统2.2.4 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式2.2 卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统1、定义、定义2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 tdpdtdp ()1微分算子微分算子积分算子积分算子( )( )dpf tf tdt1( )( )tf tfdp( )( )nnndp f tf tdt1( )( )次txnnf

16、tf x dxdp信号与系统信号与系统2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程1、定义、定义tdpdtdp ()1微分算子微分算子积分算子积分算子微分算子方程：微分算子方程：22235( )( )( )( )( )dddy ty ty tf tf tdtdtdt2235( )( )( )( )( )p y tpy ty tpf tf t2235() ( )() ( )ppy tpf t信号与系统信号与系统2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程2、微分算子的性质、微分算子的性质 性质性质

17、1：以：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。像代数多项式那样进行展开和因式分解。 )()2)(2()()4()()65()()3)(2(22tfpptfptypptypp性质性质2：设：设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式， 则则 )()()()()()(tfpApBtfpBpA信号与系统信号与系统2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程2、微分算子的性质、微分算子的性质性质性质3：微分算子方程等号两边：微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消

18、去的公因式不能随便消去 。 )()(tpftpy)()(tftyCtfty)()()()()()(tfaptyap)()(tftyatcetfty)()(错错对对错错对对信号与系统信号与系统2.3.1 微分算子和积分算子微分算子和积分算子 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程2、微分算子的性质、微分算子的性质性质性质4：设：设A(p)、B(p)和和D(p)是是p的正幂多项式，的正幂多项式， 则则 ( )( )( )( )( )( ) ( )( )A pA pD pf tf tD p B pB p( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )A pA pD p f tf tD p

19、B pB p算子在进行乘除运算时，顺序是不能任意交换的！算子在进行乘除运算时，顺序是不能任意交换的！ 0 ()f信号与系统信号与系统2.3.2 LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程n阶微分方程：阶微分方程：11110110 ( )()( )()()()()()()()()()nnmmnmmy ta ytay taytb ftb ftbf tbf t微分算子表示：微分算子表示：11110110() ( )() ( )nnmmnmmpapa p a y tb pbpb p b f t00() ( ) () ( )nmijijija p y tb

20、pf t令：令：0( )niiiA pa p0( )mjjjB pb p则：则：( ) ( )( ) ( )A p y tB p f t算子方程算子方程信号与系统信号与系统2.3.2 LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程( ) ( )( ) ( )A p y tB p f t( )( )( )( ) ( )( )B py tf tH p f tA p11101110( )( )( )mmmmnnnb pbpb p bB pH pA ppapa p a传输算子传输算子H (p)f (t)y(t)信号与系统信号与系统2.3.2 LTI系统的微分算

21、子方程系统的微分算子方程 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程例例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为：设某连续系统的传输算子为： 322234( )pH pppp试写出微分方程。试写出微分方程。 解：解： 322234( )( ) ( )( )py tH p f tf tppp322342() ( ) () ( )pppy tpf t2342( )( )( )( )( )( )y ty ty ty tf tf t信号与系统信号与系统2.3.2 LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程例例 2.3 2 设某连续系统如图所示，写出该系统的

22、传输算子。设某连续系统如图所示，写出该系统的传输算子。 -5-3-24( )y t( )f t1p1p( )x t( )px t2( )p x t解：解： 253( )( )( )( )p x tf tpx tx t24 ( )( )( )y tpx tx t253( )( )( )( )f tp x tpx tx t22453( )pH ppp信号与系统信号与系统2.3.3 电路系统算子方程的建立电路系统算子方程的建立 2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程表表 2.2 电路元件的算子模型电路元件的算子模型 信号与系统信号与系统2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程2.3.3 电

23、路系统算子方程的建立电路系统算子方程的建立 例例 2.3 3 电路如图电路如图(a)所示，试写出所示，试写出u1(t)对对f(t)的传输算子。的传输算子。 u1(t)21f (t)(a)2 H+2 W W2 W WF2pu1(t)p2f (t)(b)+2 W W2 W W解：解： 画出算子电路模型，对于节点画出算子电路模型，对于节点a有：有： 1112222( )( )f tu tppa122122( )()( )( )u tpH pf tpp信号与系统信号与系统2.4.1 系统初始条件系统初始条件 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应1、在激励、在激励 作用之前的系统状态定义为作

24、用之前的系统状态定义为0初始（起始）条件初始（起始）条件。( )f t2、在激励、在激励 作用之后的系统状态定义为作用之后的系统状态定义为0+初始（起始）条件初始（起始）条件。( )f t2100000( )()()() (),(),(),()knnyyyyy2100000( )()()()(),(),(),()knnyyyyy3、在无阶跃激励时，、在无阶跃激励时， 0+ 的状态由系统的储能元件决定，且：的状态由系统的储能元件决定，且：00()()CCuu00()()LLii（电容电压不能突变）（电容电压不能突变）（电感电流不能突变）（电感电流不能突变）信号与系统信号与系统2.4.1 系统初始

25、条件系统初始条件 根据线性系统的分解性，根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应系统的完全响应y(t)可分解为零可分解为零输入响应输入响应yx(t)和零状态响应和零状态响应yf(t)，即，即 )()()(tytytyfx分别令分别令t=0和和t=0+，可得，可得 )0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.4.1 系统初始条件系统初始条件 对于因果系统，由于激励在对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有时接入，故有yf(0)=0；对；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有于时不变系统，内部参数不随时间变

26、化，故有yx(0+)=yx(0)。因此，上式可改写为因此，上式可改写为 )0()0()0()0()0()0()0()0(ffxxxyyyyyyyy同理，可推得同理，可推得y(t)的各阶导数满足的各阶导数满足 )0()0()0()0()0()0()()()()()()(jxjjjxjxjyyyyyy)0()0()0()0()0()0(fxfxyyyyyy2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.4.2 零输入响应算子方程零输入响应算子方程 从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态（初始条

27、件）引起的响应称为身的起始储能状态（初始条件）引起的响应称为零输入响应零输入响应。 ( ) ( )( ) ( )A p y tB p f t11101110( )( )( )mmmmnnnb pbpb p bB pH pA ppapa p a对任意系统：对任意系统： 当当f(t)=0时，零输入响应时，零输入响应yx(t)： 0( )( )xA p yt11100( )nnnA ppapa pa特征方程特征方程零输入响应为满零输入响应为满足初始条件的解足初始条件的解2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.4.3 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应简单系统简单

28、系统1：若：若A(p)=p，则，则yx(t)=c0et。 0)(0)()(0)()( txxxxetydtdtytytyp 此时系统特征方程此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根仅有一个特征根p=。将。将A(p)=p代入代入 有：有：0( )( )xA p ytttxxeceyty 0)0()(1个初始条件决定个初始条件决定2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.4.3 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应 此时系统特征方程此时系统特征方程A(p)=0，有两个特征根，有两个特征根p1=p2=。将。将A(p)=(p)2代入代入 有：有：0( )( )xA

29、p y t简单系统简单系统2 ：若：若A(p)=(p)2，则，则yx(t)=(c0+c1t)et。 0)()(2typx txetccty )()(10同理：同理：dppA)()( txetctctccty )()(1d1d2210 d个初始条件决定个初始条件决定2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.4.4 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应 对于一般情况，设对于一般情况，设n阶阶LTI连续系统，其特征方程连续系统，其特征方程A(p)=0具有具有l个个不同的特征根不同的特征根i(i=1, 2, , l)，且，且i是是di阶阶重根重根，那么，那么，A(p)

30、可以因式分解为：可以因式分解为： 式中，式中，d1+d2+dl=n0)()(0)()( typAtypxixidii li, 2 , 1 lidiippA1)()( 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统 根据线性微分方程解的结构定理，令根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,.,l,将相应方程将相应方程求和，便得求和，便得0 )()(1lixitypA所以方程所以方程A(p)yx(t)=0lixixtyty1)()(2.4.4 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统第二步，求出第第二步，求

31、出第i个根个根 对应的零输入响应对应的零输入响应yxi(t)i tdiriiiixiiietctctccty )(1)1(2210 li,.,2 , 1第三步，将所有的第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，相加，得到系统的零输入响应，即即lixixtyty1)()(0t第四步，根据给定的零输入响应初始条件第四步，根据给定的零输入响应初始条件或者或者0系统的初始条件，确定常数系统的初始条件，确定常数) 1, 1 , 0)(0()(njyjx)., 2 , 1(,)1(10licccidiii lidiippA1)()( 第一步，将第一步，将A(p)进行因式分解

32、，即进行因式分解，即2.4.4 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统例例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为某系统输入输出微分算子方程为 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件已知系统的初始条件y(0)=3, y(0)=6，y(0)=13, 求系统的零求系统的零输入响应输入响应yx(t)。 解解 由题意知由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()() 1(所以所以ttxxxetccectytyty221201021)()()()

33、(2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统ttttttxttttttxecectececctecectyecectecetccececty2202211022021221102202211022120221104) 1(42)21(22)(2)21 ()(2)(ttxxxetccectytyty221201021)()()()(例例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为某系统输入输出微分算子方程为 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件已知系统的初始条件y(0)=3, y(0)=6，y(0)=13, 求系统的零求系统的零输入响应输入响应y

34、x(t)。 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统),2 , 1 , 0)(0()0()()(jyyjjx1344)0(62)0(3)0(2021102021102010cccycccyccyxxx例例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为某系统输入输出微分算子方程为 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件已知系统的初始条件y(0)=3, y(0)=6，y(0)=13, 求系统的零求系统的零输入响应输入响应yx(t)。 代入初始条件代入初始条件ttxxxetccectytyty221201021)()()()( 注意：注意：零输入！零输

35、入！2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统例例 2.4 1 某系统输入输出微分算子方程为某系统输入输出微分算子方程为 )() 3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件已知系统的初始条件y(0)=3, y(0)=6，y(0)=13, 求系统的零求系统的零输入响应输入响应yx(t)。 联立求解得联立求解得c10=1，c20=2，c21=1。将各系数值代上式，最。将各系数值代上式，最后求得系统的零输入响应为后求得系统的零输入响应为 ttxetety2)2()(0tttxxxetccectytyty221201021)()()()( 2.4 连续系统的零输入

36、响应连续系统的零输入响应信号与系统信号与系统2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为产生的响应称为零状态响应零状态响应。信号的信号的 分解分解)(t 加权加权 的（冲激）响应的（冲激）响应)(t 所有（冲激）响应叠加所有（冲激）响应叠加系统的零状态响应系统的零状态响应 求零状态响应的基本思路见求零状态响应的基本思路见P.67。信号与系统信号与系统2.5.1 连续信号的连续信号的 分解分解)(t 窄脉冲表示为：窄脉冲表示为： ( )f tt01t1t 1111f tttttt 11

37、111tf tf tttttt 1111111ttttttf ttt 111111101limtttttttf tf ttt 111110limttf tttt 111f ttt dt f tftd 换元：换元： 即：任意信号均可看成无穷多冲激的线性组合。即：任意信号均可看成无穷多冲激的线性组合。 f tt2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 1、 冲激响应冲激响应 0)0()()()()(, 0)0()(xtpHttfxTth 一个初始状态为零的一个初始状态为零的LTI连续系连续系统，当输

38、入为单位冲激信号时所产统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为生的响应称为单位冲激响应单位冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)， 如图所示。如图所示。)(t )(th0)0(x)(LTIpH2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 2、 冲激响应的计算冲激响应的计算 0)0()()()(xtpHth 简单系统简单系统1： pKpH)()()()(tKftytyff )()()( tKthth )()(tKetht )()()(tKethpKpHt 2.5 连续系统的零状态响

39、应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 2、 冲激响应的计算冲激响应的计算 0)0()()()(xtpHth 简单系统简单系统2： 2)()( pKpH()() ( )( )pph tKf t )()()( tKeththt )()(tKtetht )()()()(2tKtethpKpHt )()!1()()()(1tetrKthpKpHtrr 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 2、 冲激响应的计算冲激响应的计算

40、 0)0()()()(xtpHth 简单系统简单系统3： nKppH)()()()(tKthn KpH)()()(tKth KppH)()()(tKth 2)(KppH)()(tKth H(p)为假为假分式！分式！2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 一般系统：一般系统： 对于一般的传输算子对于一般的传输算子H(p)，当，当H(p)为为p的真分式时，可将它展的真分式时，可将它展开成如下形式的部分分式之和，开成如下形式的部分分式之和， 即：即： ljrjjjpKpH1)()( )()()()(

41、)(11tpHtpKthljrjjljjj ljjthth1)()(2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 综上所述，可以得到计算系统冲激响应综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：的一般步骤是： 第一步：确定系统的传输算子第一步：确定系统的传输算子H(p)；第二步：将第二步：将H(p)进行部分分式展开成：进行部分分式展开成： 第三步：写出对应各分量的冲激响应分量；第三步：写出对应各分量的冲激响应分量； 第四步：将所有的冲激响应分量相加。第四步：将所有的冲激响应分量相加。 lj

42、rjjqiiijpKpKpH11)()( )()()(tKthii )()!1()(1tetrKthtrjjjj ljjqiiththth11)()()(2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 例例 2.51 描述系统的微分方程为描述系统的微分方程为 )(6)(10)(6)()(4)(8)(5)()1()2()3()1()2()3(tftftftftytytyty,求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解:由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 )

43、()6106()()485(2323tfppptyppp4856106)()()(2323pppppptftypH2)2(2111 pp2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.2 基本信号基本信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(t 解解:2)2(2111)(pppH)()(11tth )()(112tethpt )(2)()2(2232ttethpt )()()()(321thththth)(2)()(2ttetettt 例例 2.51 描述系统的微分方程为描述系统的微分方程为 )(6)(10)(6)()(4)(8)(5)()1()2()3()1(

44、)2()3(tftftftftytytyty,求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.3 一般信号一般信号 激励下的零状态响应激励下的零状态响应)(tf)(tf)(tyf0)0(x)(LTIpH零状态响应零状态响应 = 输入信号输入信号 * 冲激响应冲激响应证明过程：证明过程：LTI( ) t ( )h t（定义）（定义）LTI()t()h t（时不变性）（时不变性）LTI( ) ()ft ( ) ()fh t（齐次性）（齐次性）LTI ( ) ()ftd( ) ()fh td（可加性）（可加性）LTI( )( )f tt

45、( )( )f th t（可加性）（可加性）( )f tLTI( )fyt（零状态响应零状态响应）( )( )( )fytf th t2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.4 零状态响应的另一种计算公式零状态响应的另一种计算公式1、 阶跃响应阶跃响应 0)0()()()()(, 0)0()(xtpHttfxTtg 一个初始状态为零的一个初始状态为零的LTI连续系连续系统，当输入为单位阶跃信号时所产统，当输入为单位阶跃信号时所产生的响应称为生的响应称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称，简称阶跃

46、响应阶跃响应，记为，记为g(t)， 如图所示。如图所示。)(t )(tg0)0(x)(LTIpH2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应信号与系统信号与系统2.5.4 零状态响应的另一种计算公式零状态响应的另一种计算公式2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应分分解解的的)()(. 1ttfdtfttfttftf)()()()()()()(的的线线性性组组合合。分分解解为为众众多多阶阶跃跃信信号号将将)()( ttf定定义义：计计算算： tdhdthtthtg)()()()()()( 2.2.阶跃响应阶跃响应信号与系统信号与系统dttdgthdhtgtgtht)()( ,)()

47、( )()( 关关系系：的的另另一一计计算算公公式式 )(. 3tyf)()()()()()()(tgtfdhtfthtftytf分分特特性性或或者者应应用用系系统统的的微微、积积 ttdhdhtdhtdtd)()()()()(g(t)t 信号与系统信号与系统零输入、零状态、全响应的综合计算零输入、零状态、全响应的综合计算 例例 2.53 某某LTI连续系统连续系统N有有A、B、C三部分组成，如图三部分组成，如图2.56所示。已知子系统所示。已知子系统A的冲激响应的冲激响应 ，子系统，子系统B和和C的阶跃响应分别的阶跃响应分别 ， ，系统输，系统输入入 ，试求系统，试求系统N的的冲激响应冲激响应、阶跃响应和零状、阶跃响应和零状态响应。态响应。 )(21)(4tethtA )()1 ()(tetgtB )(2)(3tetgtC )2()()(tttf ABCNy (t)f (t)解：解：)()()(tetgthtBB )(6)(2)()(3tettgth