9-5 静电场的环路定理

1、复复 习习9-3、4 电场线电场线 静电场的高斯定理静电场的高斯定理 电场线电场线 电场强度通量电场强度通量 高斯定律高斯定律 高斯定律应用举例高斯定律应用举例一、静电场力所作的功一、静电场力所作的功9-5 静电场的环路定理静电场的环路定理点电荷点电荷Q固定于原点固定于原点O，试验，试验电荷电荷q0在在Q的电场中由的电场中由A点沿点沿任意路径任意路径ACB到达到达B点，取点，取微元微元dl，电场力对，电场力对q0的元功的元功为为BrBArA1、点电荷电场、点电荷电场QCrr drl dreE l dEql dFdW 02014rQEer0022001144rQqQqdWedldrrr00200

2、11()44BArABrQqQqWdrrrr在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作在点电荷的静电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时的功与其移动时起始位置与终了位置起始位置与终了位置有关，与有关，与其所经历的路径无关。其所经历的路径无关。2、点电荷系的电场、点电荷系的电场根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加场强的叠加 21EEE则点电荷系的电场力所作的功为则点电荷系的电场力所作的功为 llll dEql dEql dEqW20100每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。路径无

3、关。4、结论、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终起始与终了位置有关了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。，而与试验电荷所经过的路径无关。静电场力也是保守力，静电场是保守场。静电场力也是保守力，静电场是保守场。3、任意带电体电场、任意带电体电场任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的任意连续带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我点电荷系，因而在连续带电体产生的电场中，我们一样会得出们一样会得出电场力所作的功电场力所作

4、的功与路径无关！与路径无关！二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为电场力所作的功为 lll dEql dEqW00ABCD CDAABCl dEql dEqW00 ADCCDAl dEl dE ABCADCl dEql dEq00电场力作电场力作功功与路径无与路径无关关00 l dEqW0 l dE定义：定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。场强度的环流。静电场的环路定理：静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的在静电场中，电场强度的环流为

5、零。环流为零。三、电势能三、电势能电荷在电场的一定位置上，具电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做有一定的能量，叫做电势能电势能。AB静电场力对电荷所作的功等静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值。于电势能增量的负值。()ABBAABWWWWW 0ABABqE dlWW电势能的参考点选择是任意的，若选电势能的参考点选择是任意的，若选B点为参考点为参考点，则点，则WB=0，则电场中任一点，则电场中任一点A点的电势能为：点的电势能为：0AAWqE dl参考点结论：结论：试验电荷试验电荷q0在电场中点在电场中点A的电势能，在取的电势能，在取值上等于把它从点值上等于把它从点A移到到零电势能处

6、的电场力移到到零电势能处的电场力所作的功。所作的功。四、电势四、电势1、电势、电势 比值比值 WA/ q0与与q0无关，只决定于电场的性质及无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，可以称之为的物理量，可以称之为电势。电势。 静电场中带电体所具有的电势能与该带电静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的比值定义为电势。体的电量的比值定义为电势。0/AAVWq0/BBVWqBABAVl dEV 0ABABqE dlWW当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和电势为零电势为

7、零AAVE dl电场中某点的电势在数值上等于放在电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单该点的单位正电荷的电势能位正电荷的电势能电场中某点的电势在数值上等于电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷把单位正电荷从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。2、说明：、说明：电势是标量，有正有负；电势是标量，有正有负；电势的单位：伏特电势的单位：伏特 1V=1J.C-1；电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；在实际工作中，通常选择地面

8、的电势为零。在实际工作中，通常选择地面的电势为零。但是对于但是对于“无限大无限大”或或“无限长无限长”的带电体，的带电体，只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。3、电势差、电势差在静电场中，任意两点在静电场中，任意两点A和点和点B之间的电势之差，之间的电势之差，称为称为电势差电势差，也叫，也叫电压电压。BABABAUVVE dl静电场中任意两点静电场中任意两点A、B之间的电势差，之间的电势差，在数值在数值上等于把单位正电荷从点上等于把单位正电荷从点A移到点移到点B时，静电场时，静电场力所作的功。力所作的功。 BAABBAVVqUql dEqW 000五

9、、点电荷电场的电势五、点电荷电场的电势drEl dEVrr正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。rqV04drrqr204六、电势叠加原理六、电势叠加原理 1、点电荷系电场的电势、点电荷系电场的电势电场由几个点电荷电场由几个点电荷q1，q2，qn产生产生 iEEiiiVl dEl dEl dEV点电荷系所激发的电场中某点的电势，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和荷单独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫。这个结论叫做静电

10、场的电势叠加原理。做静电场的电势叠加原理。2、连续分布电荷电场的电势、连续分布电荷电场的电势PrdqrdqdV04 rdqV04 线分布线分布 lrdlV04 面分布面分布 SrdSV04 体分布体分布 VrdVV04 计算电势的方法有两种：计算电势的方法有两种：1、利用电势的定义式、利用电势的定义式$要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才能选无穷远点的电势为零；的空间时，才能选无穷远点的电势为零；$积分路径上的电场强度的函数形式要求已知积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。或可求。步骤：步骤： (1)先算场强先算场强 (2)选择合适的

11、路径选择合适的路径L (3) 积分积分(计算计算)AAVE dl七、电势的计算七、电势的计算2、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理、利用点电荷的电势公式和电势的叠加原理 rdqV04 $要求电荷的分布区域是已知的；要求电荷的分布区域是已知的；$当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势的零点。在场中选择某点为电势的零点。步骤步骤 (1)把带电体把带电体 分为无限多分为无限多

12、dq (2)由由dq d (3)由由d = d rdqdV04 例题例题1 1 均匀带电圆环轴线的电势。均匀带电圆环轴线的电势。xRrPqd已知电荷已知电荷q 均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆环上，的圆环上，求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。的点的电势。解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一电荷元dlRqdq 2 它在场点的电势为它在场点的电势为dlRqrrdqdV 241400 积分得场点的电势为积分得场点的电势为22000414241xRqrqdlRqrVl Ox例题例题2 2 均匀带电圆盘轴线的电势。均匀带电圆盘轴线的电势。已知电荷已知电荷q均匀地

13、分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆盘上，的圆盘上，求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距x的点的电势。的点的电势。xRrPqd解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为r，宽度为，宽度为dr的圆环，其电量为的圆环，其电量为dq=2rdr，在场点，在场点的电势为的电势为22022022141rxrdrrdrrxdV 积分得场点的电势为积分得场点的电势为 xaxrxrdrVa 220022022 当当xa时时)2/(222xaxax xqxaaqxaV02022042222 例题例题3 3 均匀带电球体的电势。均匀带电球体的电势。 已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径

14、为R的球的球体上，求空间各点的电势。体上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布 RrRqrRrrqE 4 43020 方向沿径向方向沿径向当当rR时时rqdrrqVr02044 当当rR时时RqRrRqdrrqdrRqrVRRr03022203048)(44 例题例题4 4 均匀带电球壳的电势。均匀带电球壳的电势。 已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球的球壳上，求空间各点的电势。壳上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布 RrRrrqE 0 420 方向沿径向方向沿径向当

15、当rR时时rqdrrqVr02044 当当rR时时RqdrrqdrVRRr020440 RrV例题例题5 5 求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。rE02 解：解：假设电荷线密度为假设电荷线密度为 ，则，则场强为场强为：drrl dEUBrrBP 02 rrBln20 由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。电势零点不能再选在无穷远处。 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直为

16、无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为导线为rB的的B点为电势零点，则距带电直线为点为电势零点，则距带电直线为r的的P点的电势：点的电势：PBBrr方向垂直于带电直线。方向垂直于带电直线。八、等势面八、等势面1、定义、定义电场中电势相等的点所构成的面，叫电场中电势相等的点所构成的面，叫做做等势面等势面。即。即V(x,y,z)=C，的空间曲，的空间曲面称为面称为等势面等势面。2、等势面的性质、等势面的性质在等势面上移动电荷时，电场力不作功；在等势面上移动电荷时，电场力不作功；除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。除电场强度为零处外，电场线与等势面正交。1n23证明：证明：因为将

17、单位正电荷从等势因为将单位正电荷从等势面上面上M点移到点移到N点，点，电场力做功为零，而路径不为零，电场力做功为零，而路径不为零，dl00cosddd lElEWMN2/ 电场线的方向指向电势降落的方向。电场线的方向指向电势降落的方向。ldMNE3、典型的电场线与等势面、典型的电场线与等势面q q 正点电荷的电场正点电荷的电场负点电荷的电场负点电荷的电场匀强电场匀强电场规定：规定：两个相邻等势面的电势差相等，所以等势两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地面较密集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地方，场强较小。方，场强较小。4、应用、应用测量电势分布，得到

18、等势面，在根据等势面与电测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场强度的关系，定性画出电场线。场强度的关系，定性画出电场线。九、电场强度与电势的关系九、电场强度与电势的关系1、沿任一方向的分量、沿任一方向的分量BAIIIElVV+V静电场中两个靠得很近的等势面，静电场中两个靠得很近的等势面，电势分别为电势分别为V和和V+V，在等势面上，在等势面上取两点取两点A和和B，间距为，间距为l，设与，设与E之之间的夹角为间的夹角为。 cos lElEVVBAlEVl lVEl BAVVV令电势的增量为令电势的增量为负号表明：沿着场强的方向，电势由高到低；负号表明：沿着场强的方向，电势由高到低；逆着场强

19、的方向，电势由低到高逆着场强的方向，电势由低到高lVlVEllddlim0 电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值，这就是值，这就是电场强度和电势之间的关系电场强度和电势之间的关系。lVEl 2、切向和法向分量、切向和法向分量等势面上任一点场强的切向等势面上任一点场强的切向分量为零分量为零法向分量法向分量nnlVEdd nlVEdd VVenVEngraddd 电场中任一点的场强，等于该点电势沿等势面法电场中任一点的场强，等于该点电势沿等势面法线方向单位长度的变化

20、率的负值。线方向单位长度的变化率的负值。VV+dVEen高电势高电势低电势低电势直角坐标系直角坐标系 kzVjyVixVExVEx yVEy zVEz 3、应用、应用电势是标量，容易计算。可以先计算电势，然后电势是标量，容易计算。可以先计算电势，然后利用场强与电势的微分关系计算电场强度，这样利用场强与电势的微分关系计算电场强度，这样做的好处是可以避免直接用场强叠加原理计算电做的好处是可以避免直接用场强叠加原理计算电场强度的矢量运算的麻烦。场强度的矢量运算的麻烦。例题例题1 1 求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。解：细圆环轴线上一点的电势为解：细圆环轴线上一点的

21、电势为 2/12204RxqV 式中式中R为圆环的半径。因而轴线上一为圆环的半径。因而轴线上一点的场强为点的场强为 2/32202/122044RxqxRxqxxVEx 0 yE0 zExRrPqd例题例题2 2 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度。 rq 0rq rrAxy解：解：设设A与与+q和和-q均在均在xoy平面内，平面内，A到到+q和和-q的距离分别为的距离分别为r+和和r-，+q和和-q单独存在时，单独存在时，A点的电势为点的电势为 rqV04 rqV04由电势的叠加原理，由电势的叠加原理，A点的电势为点的电势为 rrrrqrrqVVV

22、004114 对于电偶极子，对于电偶极子，l r，所以，所以2 cosrrrlrr 20cos4rlqV 引入电偶极子的偶极矩引入电偶极子的偶极矩p=ql 2/32202044yxxprxrpV 电场强度为电场强度为 2/52222024yxxypxVEx 2/522034yxxypyVEy -q+q-q+q电偶极子的延长线上电偶极子的延长线上0 y30142xpEx 0 yE电偶极子的中垂线上电偶极子的中垂线上0 x3014ypEx 0 yE 2/52222024yxxypxVEx 2/522034yxxypyVEy 附附 静电场中的电偶极子静电场中的电偶极子一、在外电场中电偶极子的力矩和取

23、向一、在外电场中电偶极子的力矩和取向1、在匀强电场中的受力情况、在匀强电场中的受力情况EqF EqF0 EqEqFFF在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子在匀强电场中，电偶极子不受电场力的作用；电偶极子没有平动。没有平动。-q+qF+F-r02、在匀强电场中所受的力矩、在匀强电场中所受的力矩 sinsin 0pEErqM EpM 在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。3、在匀强电场中电偶极子的取向、在匀强电场中电偶极子的取向-q+qF+F-r0当当=0时，电偶极子所受的力矩为时，电偶极子所受的力矩为零，零，稳定的平衡位置；稳定的平衡位置；当当=时，电偶极子所受的力矩为零，时，电偶极子所受的力矩为零，非稳定