北理工 概率论 田PPT学习教案

1、会计学1北理工北理工 概率论概率论 田田定义定义 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，A1,An为为E的一组事件。若的一组事件。若（1）A1,An互不相容互不相容，i=1,n （2）1niiAS则称则称 A1, An为样本空间为样本空间S的一个的一个划分，划分，也称也称A1, An 是是完备事件组完备事件组。第1页/共32页定理定理1()()(|)niiiP BPAP BA上式称为全概率公式上式称为全概率公式 设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间， B 为为E的事件，的事件，A1, ,An为为S的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0, i=1, n, 则则第2页/共32页证明：

2、证明：11( )()() (|)nniiiiiP BP BAP A P B A1212() nnBBSB AAABABABA12nBABABA又， ，互不相容第3页/共32页全概率公式可以做如下推广全概率公式可以做如下推广: A1, ,An互不相容互不相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, 1njjBA则有则有 1()()(|)niiiP BP A P B A第4页/共32页一个经常使用的全概率公式一个经常使用的全概率公式: 设设0P(A)0, i=1, n, P(B)0，则有，则有1() ( |)(|),() ( |) 1,2,jjjniiiP A P B AP ABP A P B Aj

3、n第20页/共32页1()() ( |)(|),( )() ( |) 1,2,jjjjniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn证明：证明： 由条件概率的定义和全概率公式，有由条件概率的定义和全概率公式，有第21页/共32页Byesian公式可以做如下推广公式可以做如下推广: A1,An互不相容互不相容, 且且P(Ai)0, i=1, n, P(B)01njjBA则有则有 1()() (|)(|),( )() (|) 1,2,jjjjniiiP A BP A P B AP ABP BP A P B Ajn第22页/共32页一个经常使用的全概率公式一个经常使用的全概

4、率公式: 设设0P(A)0, 则有则有()(|)( )( ) (|) ( ) (|)() (|)P ABP A BP BP A P B AP A P B AP A P B A第23页/共32页 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能）发生的最可能原因原因. 第24页/共32页 在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为原来认为作案可能性较小的某甲，现在可能变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(B1)P(B2

5、)P(B3)但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.P(B1 | A)知道A发生后P(B2 | A) P(B3 | A)最大偏小第25页/共32页例例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障。当机器发生某种故障时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这。这一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概

6、率是多少？机器调整良好的概率是多少？解：记 A =生产了一件合格品B1=机器调整良好, B2=机器发生某种故障,)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP第26页/共32页例例6. 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为98%。当机器发生某种故障。当机器发生某种故障时，产品的合格品率为时，产品的合格品率为55%。根据以往经验，每天。根据以往经验，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。这。这一日早上生产了一

7、件产品，发现是合格品，问该日一日早上生产了一件产品，发现是合格品，问该日机器调整良好的概率是多少？机器调整良好的概率是多少？)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP97. 005. 055. 095. 098. 095. 098. 0第27页/共32页据调查某地区居民患某种疾病的据调查某地区居民患某种疾病的概率为概率为0.0004，例例7.且有且有P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。现用一方法检查该。现用一方法检查该种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明种疾病，若呈阴性，表明不患病；若呈阳性，表明患病。

8、由于技术和操作不完善等原因，有病者未必患病。由于技术和操作不完善等原因，有病者未必检出阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设事件检出阳性，无病者也有可能呈阳性反应。设事件A表表示示“一居民检验出阳性一居民检验出阳性”，根据经验，已知有病者根据经验，已知有病者检出阳性的概率为检出阳性的概率为P(A|B1)=0.99，无病者错检为阳性，无病者错检为阳性的概率为的概率为P(A|B2)=0.05。现设某人已检出阳性，问他。现设某人已检出阳性，问他患病的概率是多少？患病的概率是多少？(求求P(B1 |A)，12BB 记记“一居民患该种疾病一居民患该种疾病”为事件为事件B1 , 并记并记 第28页/共32页例

9、例7 . P(B1)=0.0004 , P(B2)=0.9996。P (A|B1)=0.99，P(A|B2)=0.05。求求P(B1 |A)|()()|()()|()()()()|(22111111BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP00786. 09996. 005. 00004. 099. 00004. 099. 0第29页/共32页例 8 (吸烟与肺癌问题) 1950年某地区曾对50-60岁的男性公民进行调查. 肺癌病人中吸烟的比例是99.7, 无肺癌人中吸烟的比例是95.8. 如果整个人群的发病率是 p=10-4. 求吸烟人群中的肺癌发病率和不吸烟人群中的肺癌发病率.解: 设 A=有肺癌, B=吸烟, 则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用Bayesian公式得到:(|)95.8%P B A ( ) (|)( |)( ) (|)( ) (|)P A P B AP A BP A P B AP A P B A第30页/共32页设 A=有肺癌, B=吸烟, 则 P(A)=10-4, P(B|A)=99.7%, 利用Bayesian得到:(|)95.8%P B A 464410(1 0.997)7.1438 1010(1 0.9