中山大学信息光学习题课后答案解析--习题234章作业

1、完美WORD格式习题22.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。QOQO f(x) = rect(x-2n)(2) g(x)二 tri(x-2n)n -一 ： ：n2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1) Frect( x)rect( y) =sinc( )sinc( ); (2) F_；(x)上(y)二sinc2( )sinc2();Y 1(3)F1 =5(匕,*1)；(4)Fsgn(x)sgn(y) I ;(i云人i n y(5) Fn、. (sin nx) ; (6) F :e 皿 /。2.3 求x和xf (2 x)的傅里叶变换。2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆

2、变换式的图形。H ( ) =tri( 1)-tri( -1) G()二 rect( / 3) - rect()2.5 证明下列傅里叶变换定理：(1) 在所在 f (x, y)连续的点上 FF f (x, y)二F F f (x, y)二 f(-x,-y);(2) Ff(x,y)h(x,y) = Ff(x,y)* F(g(x,y)。2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1) 若fr(r) - (r-r。)，则 B fr(r) =2航。(2 n。;(2) 若ar 1 时fr(r) =1，而在其他地方为零，则 B fr(r)= J2 n)aJ1(2；(3) 若 Bf,r)二 F()，则 B f

3、r(r)2 ;ala丿(4) Be # =e2.7 设g(r,R在极坐标中可分离变量。证明若 f (r,旳二fr(r)e,则：Ff(r,R =(-i)meim Hm fr(r)其中H m为m阶汉克尔变换：Hm fr(r) =2rfr(r)Jm(2 n，)dr。而()空间频率中的极坐iasin xikx、标。(提示：e 二 k二:-Jk(a)e )(1)recti 宁 *、(2x3)(3)rect i*comb( x)2.9 试用卷积定理计算下列各式。2.8 计算下列各式的一维卷积。(1)sinc(x)*sinc( x) (2)x 3 rect I.2sin2- rect( x)Fsinc( x

4、)sinc(2 x)、.(x-4)*、(x -1)2.10用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布f (x) = 2 cos(2 n 0x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。2.11利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。2.12计算下面函数的相关。(1) rect I x 1 rectix 1(2) tri 2x-1 tri 2x-1I 2 丿 I 2 丿?2.13应用傅里叶定理求下面积分。O02CO2(1) ecos(2 nax)dx(2)sinc2(x)sin( nx)dx2.14 求函数 f (x)二 rect( x) 和 f (x)

5、二 tri( x)的一阶和二阶导数。2.15试求下图所示函数的一维自相关。1冷)13A52.16试计算函数f (x) = rect(x -3)的一阶矩。2.17证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数，即：Rf(x, y) = Rff(-x,-y)。2.18求下列广义函数的傅里叶变换。(1) step(x) (2) sgn(x) (3) sin(2 n 0x)2.19求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。(1) H (x) = tri( x 1)-tri( x-1)(2) G(x) = rect(x/3)-rect(x)2.20表达式p(x, y) =g(x, y)* co

6、mbi x combi y XY定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为 X，它在y方向上的周期为 Y。 证明p的傅里叶变换可以写为:讦Jn叮丿1 X，丫丿n mP(，)八 Gn ：m ： X 丫其中G是g的傅里叶变换。(b)当 g(x, y rect 2 rect 12 时，画出函数p(x, y)的图形，并求出对应的傅里叶变换专业整理知识分享习题33.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：g(x, y)二cos2 n x，y)，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2 证明零阶贝塞尔函数 2J0(2 n?0r)是任何具有圆对

7、称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本 征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问：(a) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布Uo(x, y)，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布Ui(x, y)。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间丨即兰Bx, P戶By之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体uo(x,y),它与真实物体U。产生

8、完全一样的像 Ui，并且等产供效物体的场分布可写成:Uo(x, y)oCi odZ Z |JjU0()sinc(n-2BX)sinam-ZBTdd11 冠nx ,y2Bx 2By丿3.5定义:xy1f (0,0)oOf(x,y)dxdy-oOF(0,0)oOF( , )d d-oO分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F，)的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：匚 xyL * 1上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。3.6已知线性不变系统的输入为：f (x)二comb(x)。系统的传递函数为rect( /b)。当b = 1和b = 3时，求系统

9、的输出g(x)，并画出函数及其频谱。3.7对一个线性不变系统，脉冲响应为：h(x) =7s in c(7 x)用频率域方法对下列的每一个输入fi(x)，求其输出gi (x)(必要时，可取合理近似)：(1)f,x)二 cos4 n(2)f2(x)二 cos(4 n)rect( x/75)f3(x)二1 cos(8 n)rect( x/75) (4)f4(x)二 comb(x)*rect(2 x)3.8给定正实常数 0和实常数a和b，求证:11 一(1)右 | b |，贝Usinc( x / b)*cos(2 n 0x)二 cos(2 n 0x)2-0|b |1 1若1b|云，则严XT2 n O若

10、 |b|：|a|，贝U sinc(x/b)*sinc( x/a) =|b|sinc(x/a)2(x/a) =|b |sinc2(x/a)| a |若 |b | ，则 sinc(x/ b)*sinc23.9若限带函数f(x)的傅里叶变换在带宽1w之外恒为零，(1)如果|a|，证明:w丄sinc(x/a)* f(x)=f(x) |a|如果|a | 丄，上面的等式还成立吗?w3.10给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波:g(x)comb(x/3)rect(x/100) *rect( x)_3若系统脉冲响应：h( x)二rect( x-1)。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图

11、形。3.11给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波g(x)二 1 comb( x / 2)rect( x / 50) * tri( x)对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1)H()二rect( /2)(2) H ()二 rect( / 4) 一 rect( / 2) 32若对函数：h(x) =asinc2(ax)抽样，求允许的最大抽样间隔。3.13证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：g(x,y)=丄匸n 2J12般(/曲凡云/曲)2 nss J2B 2B 丿4 2 nB讥x_n/2B)2+(y_m/2B)2 j习题44.1尺寸为a

12、b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上 透射光场的角谱。4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在 孔径轴上的强度分布：(1)t(xo,y) =circ(Jx： +yf)t(xo,yo) = ” 丁屮兰110,其匕4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x0) = a bcos(2 二 x0/d)式中，d为光栅的周期，a b 0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定 单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。(1)2d2z =44.4参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径二。P点位于孔径后面距离为z

13、的观察平面上，坐标为(0,b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。4.5方向余弦为cos,cos 1 ,振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为 a的圆孔。观察平 面位于夫琅禾费区，也孔径相距为 z。求衍射图样的强度分布。4.6环形孔径的外径为2a，内径为2；a(0 ：；门)。其透射率可以表示为：1, wa 兰 r0 兰 a血)=o,其他用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。4.7下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d (da)。采用单位振幅的单色平面波垂

14、直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。4.8参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在(,)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出x、y0时，孔径频谱在x方向上的截面图。完美WORD格式4.9下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。 假定b =4a及d -1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。4.10下图所示半无穷不透明屏的复振幅透

15、过率可以用阶跃函数表示，即:t(Xo) =step(x)采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿X方向的振幅分布曲线。4.11下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿X方向的截面图。4.12线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件， 分别确定a和d之间的关系：(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。4.13衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：专业整理知识分享完美WORD格式t(xo,y) =comb(x/a)comb( y/b) comb( x-0.1a)/a)comb( y/b)采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。画出沿X方向的截面图。4.14如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为：，光栅的整体孔径为边长为L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距