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1、微积分入门一.微商（导数）1.用来分析变化的工具2.斜率 =dy/dx3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x 0)f(x)=b4.正向接近（ + ）与负向接近（ - ）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限5. 极限的模式：lim(x a)f(x) 不存在（如lim(x a)1/x)lim(x a)f(x) 存在，但不是 f(a)( 如 lim(x 1)（ x2-3*x+2)/(x-1)lim(x a)f(x) 存在，是 f(a).6.求导公式： lim(h 0)( f(x+h) -f(x)/h二导函数1 对 f(x)求导得到的导函数也是函数。f (x)= lim(h 0)(

2、 f(x+h) -f(x)/h=lim(dx 0)dy/dx2.导数表示的两种方式:A. 如上 B.( 莱布尼茨法） dy/dxdf(x)/dxF(x)=(d/dx)*(d/dx)*y3.求导基本公式：p=Cp=0(p 为常数）(px)=pf(x)+g(x) =f (x)+g (x)4.常用求导公式：（ xn) =lim(h 0)(x+h) n-xn)/h=n*x(n-1)f(x)*g(x) =f (x)*g(x)+f(x)*g(x)y=sinx y=cosx ; y=cosxy=-sinx y=ex y=ex;y=Lnxy=1/x f(x)/g(x) =(f (x)*g(x)-f(x） *g

3、 (x)/g2(x)5.y=f(x) 的一阶微商 f (x)=dy/dx= lim(dx 0)(f(x+dx)-f(x)/dx二阶微商 f (x)=df (x)/dxd2*y/d*x2n 阶微商f ( n ) （ x)=d f (n1)(x)/dx=dn*y/d*xnvx =dx/dt= x ;ax =d v x /dt= v =d2x/dt2=x三求导规则和公式11.函数 y= f (x)是 y=f(x) 的反函数，由 x 和 y 的互反关系，易得1(y)d f (x)/dx=dy/df(y ） =1/ （ df(y ） /dy)=1/f2.如果 y=f(u),u=g(x），则复合函数 y=

4、f(g(x)的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f(u)*g (x)3.如果 y 与 x 的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t) 给出，则有：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y / x4.对于两个函数u(x),v(x) 的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得的 du(x)+&-v(x) / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数u(x),v(x) 的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得du(x)v(x)/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v(x)+v(x

5、)u(x)四导函数的基本性质1.af(x) =af (x)2.f(x)+g(x)=f (x)+g (x)1&2af(x)+bg(x)=af (x)+bg (x)(a,b 为常数）3.f(x)*g(x)=f (x)*g(x)+f(x)*g (x)1函数积求导的方法推导：f(x)*g(x)=f (x)*g(x)+f(x)*g(x)推导： f(x)*g(x)=lim(h 0)f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)/h=lim(h 0) f(x+h)-f(x)*g(x+h)+f(x)*g(x+h)-g(x) /h=f (x)*g(x)+f(x)*g (x)4.(x+b)n =n(x+b)(n-1)

6、5.(ax+b)n =an(ax+b)(n-1)五 . 二项式定理（展开 (x+h)n)1.(x+h)n=xn + C1n x n 1 h+ C2n x n 2 h2 + . + Cnn hn? .nCk 表示“从 n 个数中挑选 k 个数的组合数” （有几种组合方式）如 nC1=n.2.(x+h)1=x+h11(x+h)2=x2+2xh+h2121(x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h31331(x+h)4=x4+4x3h+6x2h2+4xh3+h4 14641（系数）杨辉三角3. (x 1) = ( ! /(k! ( x k)! ) xk(1x) 1=1/(1+x)=1-x+x2-x3

7、+.(1x)1/ 2 = 1x =1+1x+1/ 2(1/ 21)x2+.(1).(k 1)21* 2系数1* 2.k函数 x的导数：()1./1.（最初比）xxx oxx xo令 o=0, 得最末比（流数）导数 x 1& 反流数（ 1/+1 ） x 1六使用导数绘制图形例 1 ：绘制 y=2x3+3x2-12x+6 的图像 y =6x2+6x-12=0X1=-2 ymax =26x2=1 ymin =-1x.-2.1.f (x)+0-0+f(x)26-1要点：求导找到极值点求极值点间的增减趋势2例 1 图例 2：判断曲线凹凸的方法 求二次微分 f (x)的正负下凸 切线斜率增大 f (x)

8、为增函数 f (x)0 上凸 切线斜率减小 f (x) 为减函数 f (x)0凹凸性增减表（ f(x)=x3-3xf (x)=3x2-3)x.-1.0.1.f (x)+0-0+f (x)-0+f(x)20-2增加上凸减小上凸减小下凸增加下凸例 2 图由上凸 下凸拐点坐标（0 , 0 ）拐点处切线 :y= - 3xf(x)=ax3+bx2+cx+df (x)=3ax2+2bx+c七积分（面积）与导数（斜率）的关系1.f(x)=(d/dx)x积分是导数的逆向运算，即f (t )dt (关于 t 求 f(t) 积分）0导数 (xn) =?积分（ ?) =nx(n-1)为积分符号（ Summation

9、合计 )2.对 f(x) 求不定积分得到的函数为原函数，如x 2 dx =(1/3)x3+C(C 为积分常数）求导函数（导数算式）+初始条件（信息）基础函数（原函数）3.af (x)bg (x) dxaf (x)dxb g( x)dxaF (x)bG( x)证明：设F (x)=f(x) , G (x)=g(x)aF(x)+bG(x)=aF (x)+bG (x)=af(x)+bg(x)af ( x)bg ( x) dxaf ( x) dxbg(x)dxaF (x)bG ( x)3例：(ax3bx 2cxd)dx= a x3 dx b x2 dx c xdx d dx=(a/4)x4+(b/3)x

10、3+(c/2)x2+dx+K(K为积分常数）4.不定积分的原函数有无数个证明： F(x) 和 G(x) 均为 f(x) 的不定积分F(x)=f(x)g (x)=f(x)(F(x)-G(x) =F (x)-G (x)=0F(x)-G(x)=Cbb八 1.定积分 af ( x)dxF ( x) aF (b) F (a) （从 a 到 b )? . .定积分的结果不是函数，而是常数? x 与 dx 的最大区别在于是否引入了极限的概念2.定积分的性质bf (x)g ( x) dxbbaf (x)dxg( x) dxaaaf ( x)dx0abf ( x) dxaaf ( x)bbcbcbF (c) F

11、 ( a)bf (x)dxf ( x)dxf ( x) dxF (x)F ( x)F (b) F (c) F ( x)aacaca(axb) n dx(1/ a(n1)( axb)n 1C3. 常用初等函 数积 分公式x n dx(1/ n1)xn 1C (n1)sin xdxcos xCcos xdxsin xCex dxexC(dx / x)In xC九4lim(n 0) 长方形 1+ 长方形 2+.+ 长方形 n=lim(n 0) 宽 *（长 1+ 长 2+.+ 长 n ）=lim(n 0) 宽 *长 (n)= lim(n 0)(b-a)/n) f(x1)+f(x2)+.+f(xn)1.

12、S1S2n1nf ( xk )S1= lim(n 0)(b-a)/n)f ( xk )S2= lim(n 0)(b-a)/n)k0k1如果长方形宽无限缩小，那 么 S1S2bf (k) f ( a) f ( a1) .f (b)k a2.例：求函 数 f(x)=x2在 0 ， 1之间，函 数图象与 x 轴围成的 图形面积n1n -1S= lim(n 0)(k / n)2 (1/ n)(1 / n 3)lim(n0)k 2k0k0=lim(n 0)(1/n3)(n-1)n(2n-1)/6)=lim(n 0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3n1( n 1)n( 2n1)公式：k 2f

13、(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)2k06十定 积分的推 导n1Slim( x0)f (xk ) xk0f ( x)lim( x0) F (xx) F ( x)xS=lim( ?x 0)(F(xn)-F(xn-1)+(F(xn-1)-F(xn-2)+.+(F(x1)-F(xo)=F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)5?S=S(x+ ? x)-S(x) &? S=f(x) ? xS(x)=f(x)对 S(x),由 S(x)=f(x) 得： S(x)= f(x)dx=F(x)+C当 x=a 时： S(a)=0S(a)=F(a)+C=0S(x)=F(x)-F(a)当 x=b 时

14、:S=F(b)-F(a)面积函数： F(x)=xf (t)dt0微积分的基本定理： f(x)=(d/dx)xf (t )dt0证明：设 f(x) 和其产生面积 S(x)dS(x)=f(x)dx(d / dx) S( x)f ( x)xS( x)f (t)dt0d xf ( x)f (t )dtdx 0f(x) 值为负b与 F ( x)a十一积分所求面积为负：积分方向相反（ F ( x)）ab例 1：若 f(x)=(x-1)(x+1), 求函数 y=f(x) 与 x 轴围成的部分面积11)( x1)dx （负） 1(xf (x)dx11SF ( x)11 x314(x)1313例 2：求 y=(

15、x-1)(x-2)(x-3) 和 x 轴围成的图形面积S23( x 1)( x 2)( x 3)dx(x 1)( x 2)( x 3)dx12=1/4+1/4=1/26十二 1. 二次函数图象与x 轴所围面积公式（ y( x)( x) )Sf ( x)dxx 2() xdx=1 x3() 1 x2x32= 1 () 31 ()222662. Sf ( x) g(x) dx例：求 f(x)=x2, g(x)= - x2+2x+4所围成的图形面积S22( x 22x 4) dx 9(x1十三 1.换元积分若 x=g(u) ,则 dx=g (u)du , 则f ( x)dxf (g (u) g (u) du2.分步积分由 d(uv)=udv+vdu 可得：udvuvvdu十四 .1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开在 x=xo 附近可以把函数y=f(x) 展开为泰勒级数f ( x)1f ( n ) ( xo)( x xo) nf (xo) f ( xo)( x xo)1f (xo )( x xo) 2.n0 n!2!7(1x) n1nxn(n1)x 2. (x1)2!sin xxx3.c o sxx 2.1x3.3!1tan x x2!3!ex1x1x2. (x1)2!2.物理公式中的微积分F=ma d 2 xFm