8-5 样本容量的选取

1、第五节第五节 样本容量的选取样本容量的选取二、二、Z 检验法的检验法的OC 函数函数三、三、 t 检验法的检验法的OC 函数函数一、特征函数的定义一、特征函数的定义四、小结四、小结一、特征函数的定义一、特征函数的定义 在某些实际问题中在某些实际问题中, 我们除了希望控制犯第我们除了希望控制犯第I类错误的概率外类错误的概率外, 往往还希望往往还希望控制犯第控制犯第 II类错误类错误的概率的概率. 以上在进行假设检验时以上在进行假设检验时, 总是根据问题的需总是根据问题的需要要, 预先给出显著性水平以控制犯第预先给出显著性水平以控制犯第I类错误的概类错误的概率率, 而而犯第犯第 II类错误的概率则

2、依赖于样本容量的类错误的概率则依赖于样本容量的选择选择. 在本节中在本节中, 我们将阐明如何选取样本的容量我们将阐明如何选取样本的容量使得犯第使得犯第 II类错误的概率控制在预先给定的限类错误的概率控制在预先给定的限度内度内, 为此为此, 引入引入施行特征函数施行特征函数.施行特征函数的定义施行特征函数的定义:. ,)()( ,0曲线形称为其图函数的施行特征函数或称为检验法接受验法的某检验问题的一个检是参数若OCOCCHPC施行特征函数的作用施行特征函数的作用: 适当地选取样本的容量适当地选取样本的容量, 使得犯第使得犯第 II类错误类错误的概率控制在预先给定的限度内的概率控制在预先给定的限度

3、内.二、二、 Z 检验法的检验法的OC 函数函数1. 右边检验问题右边检验问题函函数数是是的的假假设设检检验验OCHH0100 : , : )()(0HP 接接受受 znXP/0 nznXP/0 ),( z./0n 此此OC 函数的图形如下函数的图形如下:此此OC 函数的性质如下函数的性质如下: ; / )1(0的的单单调调递递减减连连续续函函数数它它是是n . 0)(lim,1)(lim)2(0 ,)0(0时时为为取取定定的的值值使使当当真真值值 犯第犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的 ,0时时故当故当 , )()(0 )( 0 于于是是只只要要, nz, znzn满

4、足即,)( zzn 只要只要就能使犯第就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的,)(nOC可可以以确确定定样样本本容容量量函函数数根根据据 . ,)(的递减函数的递减函数是是因为因为 . 2. 左边检验问题左边检验问题函函数数是是的的假假设设检检验验OCHH0100 : , : )()(0HP 接接受受 ),( z./0n ;)(0为为作作出出正正确确判判断断的的概概率率时时当当真真值值 .II)(0类类错错误误的的概概率率给给出出犯犯第第时时当当真真值值 )( zznn 满足满足只要样本容量只要样本容量就能使犯第就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超

5、过给定的. 3. 双边检验问题双边检验问题函数是函数是的的假设检验假设检验OCHH0100 : , : )()(0HP 接接受受 2/02/ znXzP)()(2/2/ zz./0n 2/2/ znXzP, 1)()(2/2/ zz此此OC 函数的图形如下函数的图形如下:,)( 2/ zznn 满满足足只只要要样样本本容容量量就能使犯第就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的. 例例1(工业产品质量抽验方案工业产品质量抽验方案) 设有一大批产品设有一大批产品,. 0.05 , 900, 20, 120,.,.1)(.1)(,. ),(20002均取已知案问应怎样安排抽验

6、方受批产品是否为买方所接并采取一次抽样确定该由买方和厂方协商给出被拒绝能以高概率产品买方则要求低质为买方所接受能以高概率对高质量的产品要求所确定的验收方案厂方小者为佳以产品质量指标NX解解, : , : 0100HH检验问题 ,拒拒绝绝域域仍仍为为检检验验由由 Z./0 znx )( 函函数数OC znXP/0 nznXP/0 ./0 nz .)( , 0 时时现现在在要要求求当当 . 0 只只需需,)(的递减函数的递减函数是是因为因为 ,)( zzn 由于由于 24.35, n根据给定的数据知根据给定的数据知25. 故取故取 n ,645. 1/05. 00时时的的观观察察值值满满足足且且当

7、当 zznxx , ,87.129买买方方就就拒拒绝绝这这批批产产品品时时即即 x . ,87.129买买方方就就接接受受这这批批产产品品时时而而当当 x.)()(/ /:, , : , :, ,)(, 2012201010110010102 zznnzznzHHnx及及由由此此导导出出关关系系式式试试验验证证率率是是类类错错误误的的概概犯犯第第时时在在检检验验假假设设设设显显著著性性水水平平为为样样本本均均值值的的为为总总体体的的容容量量为为两两值值之之一一或或只只取取均均值值为为已已知知值值设设正正态态总总体体的的方方差差例例2解解 , 2已知时已知时当正态总体的方差当正态总体的方差 此检

8、验问题可用此检验问题可用Z 检验法检验法, )( 函函数数OC znXP/0 nznXP/0 nz/10 nznXP/10 ./0 nz , 1时时故故当当H 犯第犯第 II类错误的概率类错误的概率./)(011 nz ,)( z又又,/ 01 znz 即即,/ 01nzz 所以所以.)()( 20122 zzn从从而而三、三、 t 检验法的检验法的OC函数函数1. 右边检验问题右边检验问题函数是函数是的的假设检验假设检验OCHH0100 : , : )()(0HP 接接受受 )1(/0ntnSXP ,/ 0 SnXnSX其中其中./0n .1 ,/0分分布布的的非非中中心心为为自自由由度度服

9、服从从非非中中心心参参数数为为我我们们称称变变量量tnnSX . )1( , 0 变量变量它是通常的它是通常的时时当当 nt ,6 0, , n量量查查得得所所需需容容则则可可从从附附表表以以及及若若给给定定 1且且使使当当H ,0时时 犯第犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的. 2. 左边检验问题左边检验问题. :, : 0100 HH假设检验假设检验,6 0, , n查得所需容量查得所需容量则可从附表则可从附表以及以及若给定若给定 1且且使使当当H ,0时时 犯第犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的. 3. 双边检验问题双边检验问题. :, :

10、0100 HH假设检验假设检验,6 0, , n查得所需容量查得所需容量则可从附表则可从附表以及以及若给定若给定 1且且使使当当H ,0时时 犯第犯第 II类错误的概率不超过给定的类错误的概率不超过给定的. . 05,. 0 ,68 (1)11求所需样本容量求所需样本容量概率不超过概率不超过类错误的类错误的犯第犯第时时中中要求在要求在 H ,0.7568 30, (2)11类类错错误误的的概概率率是是多多少少？犯犯第第时时中中问问在在若若样样本本容容量量 Hn解解,05. 0)1( ,680 01 , 168)68( .13 6 n知知查查表表 , 68 : ,68 : ,05. 010 HH

11、t 检检验验下下进进行行考考虑虑在在显显著著水水平平附表附表6-16-1例例3,05. 0)2( ,30 n 01 ,75. 068)75. 068( .01. 0 6 知知查表查表附表附表6-26-2 , 14 : ,14 :10 HH. 1,. 0 ,4 . 014 1求所需样本容量求所需样本容量率不超过率不超过类错误的概类错误的概犯第犯第时时中中要求在要求在 H解解, 4 . 0, 1 . 0,05. 0 .68 6 n知知查表查表附表附表6-36-3,05. 0检检验验下下进进行行考考虑虑在在显显著著水水平平t 例例44. 求样本容量的一种近似方法求样本容量的一种近似方法 , ,01

12、及及若若只只给给出出怎样确定所需样本容量怎样确定所需样本容量? , ,11的的样样本本抽抽取取容容量量为为先先适适当当取取一一值值nn. ,6 , , 2n记为记为定出样本的容量定出样本的容量的值查附表的值查附表由由 . , , 1121nnnnn 即即作作为为所所求求的的容容量量则则取取若若 , 2的值的值根据这一样本计算根据这一样本计算 s . ,22的的近近似似值值算算出出的的估估计计作作为为以以 s . , 6, ,3n记记为为本本容容量量再再次次定定出出样样查查附附表表的的新新近近似似值值和和然然后后用用 . , , 2232nnnnn 即即作为所求的容量作为所求的容量则取则取若若否

13、则再按上述方法重复进行否则再按上述方法重复进行. 一般一般, 只需试少数几次就可以得到所求的样本容只需试少数几次就可以得到所求的样本容量量n. , ,12的的近近似似值值重重新新计计算算察察值值合合并并得得的的观观个个独独立立观观察察值值与与原原来来抽抽再再抽抽否否则则 nn 5. 两个正态总体均值差的两个正态总体均值差的 t 检验问题检验问题)( , ),(),(222221222211未知未知中中若两个正态总体若两个正态总体 NN 21的检验问题的检验问题均值差均值差 , )00(0:,0 :211210 或或 HH当分别自两个总体取得的相互独立的样本容量当分别自两个总体取得的相互独立的样

14、本容量 ,21时时nnn 可以查附表可以查附表7得到所需的样本容量得到所需的样本容量. ,01的的值值后后及及给给定定 例例5需比较两种汽车用的燃料的辛烷值需比较两种汽车用的燃料的辛烷值, 得数据得数据788279817682798079787476798182798084838276798481BA燃燃料料燃燃料料燃料的辛烷值越高燃料的辛烷值越高, 燃料质量越好燃料质量越好. 因燃料因燃料 B 较燃较燃料料 A 价格便宜价格便宜, 因此因此,如果两者辛烷值相同时如果两者辛烷值相同时, 则使则使用燃料用燃料 B. 但若含量的均值差但若含量的均值差 5B则则使使用用燃燃 A料料 A. 设两总体的

15、分布均可认为是正态的设两总体的分布均可认为是正态的, 而两个而两个样本相互独立样本相互独立. 问应采用那种燃料问应采用那种燃料?)01. 0( 解解0. : 0, :B1B0 AAHH ,5B时时并并要要求求 A下下检检验验假假设设在在显显著著水水平平01. 0 所取的样本容量所取的样本容量 ,12B nnA,67.78,83.80 BAxx且且 ,06. 6,61. 522 BAss经水平为经水平为 0.1 的的F 检验知检验知: ,222 BA , 835. 52 2222的点估计的点估计作为作为取取 BAss,07. 25 于于是是 , )2.07 0.01,( 查查表表, 8 n,01

16、. 0 附表附表6-46-4犯第犯第IIII类错误的概率不超过类错误的概率不超过现现 n=12, 故已近似地满足要求故已近似地满足要求.右边检验的拒绝域为右边检验的拒绝域为BAwBAnnsxxt11 )2(2101. 0 nnt.5083. 2 由样本观察值算得由样本观察值算得,0583. 219. 2 t . , 0种种燃燃料料即即采采用用故故接接受受BH右边检验右边检验左边检验左边检验双边检验双边检验四、小结四、小结)()( z./0n 检验检验Z检验检验t)()( z./0n 1)()()(2/2/ zz./0n )1(/)(0ntnSXP SnXnSX/0 )1(/)(0ntnSXP

17、SnXnSX/0 )1(/)1()(2/02/ntnSXntP SnXnSX/0两种检验法的两种检验法的OC函数如表函数如表0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00 122 70 139 101 45 122 97 71 32 90 72 52 24 101 70 55 40 19 80 55 44 33 15 65 45 36 27 13 54 38 30 22 11 46 32 26 19 9 39 28 22 17 8 34 24 19 15 8 30 21 17 13

18、 7 27 19 15 12 6 24 17 14 11 6 21 15 13 10 5 19 14 11 9 5 18 13 11 8 5 99 128 64 119 90 45 109 88 67 34 117 84 68 51 26 93 67 54 41 21 76 54 44 34 18 63 45 37 28 15 53 38 32 24 13 46 33 27 21 12 40 29 24 19 10 35 26 21 16 9 31 22 19 15 9 28 21 17 13 8 25 19 16 12 7 23 17 14 11 7 21 16 13 10 6 139 90

19、 115 63 109 85 47 101 85 66 37 110 81 68 53 30 90 66 55 43 25 75 55 46 36 21 63 47 39 31 18 55 41 34 27 16 47 35 30 24 14 42 31 27 21 13 37 28 24 19 12 33 25 21 17 11 29 23 19 16 10 27 21 18 14 9 25 19 16 13 9 110 134 78 125 99 58 115 97 77 45 92 77 62 37100 75 63 51 30 83 63 53 42 26 71 53 45 36 22

20、 61 46 39 31 20 53 40 34 28 17 47 36 30 25 16 41 32 27 22 14 37 29 24 20 13 34 26 22 18 12 31 24 20 17 11 28 22 19 16 10 0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.50.20.10.050.010.50.20.10.050.010.50.20.10.050.010.50.20.10.050.01显著性水平单边检验双边检验01. 0005. 002. 001

21、. 0025. 005. 005. 01 . 001附表附表6-1 均值的均值的 t 检验的样本容量检验的样本容量1313附表附表6-2均值的均值的 t 检验的样本容量检验的样本容量0.010.010.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00 122 70 139 101 45 122 97 71 32 90 72 52 24 101 70 55 40 19 80 55 44 33 15 65 45 36 27 13 54 38 30 22 11 46 32 26 19 9 39

22、 28 22 17 8 34 24 19 15 8 30 21 17 13 7 27 19 15 12 6 24 17 14 11 6 21 15 13 10 5 19 14 11 9 5 18 13 11 8 5 99 128 64 119 90 45 109 88 67 34 117 84 68 51 26 93 67 54 41 21 76 54 44 34 18 63 45 37 28 15 53 38 32 24 13 46 33 27 21 12 40 29 24 19 10 35 26 21 16 9 31 22 19 15 9 28 21 17 13 8 25 19 16 12

23、 7 23 17 14 11 7 21 16 13 10 6 139 90 115 63 109 85 47 101 85 66 37 110 81 68 53 30 90 66 55 43 25 75 55 46 36 21 63 47 39 31 18 55 41 34 27 16 47 35 30 24 14 42 31 27 21 13 37 28 24 19 12 33 25 21 17 11 29 23 19 16 10 27 21 18 14 9 25 19 16 13 9 110 134 78 125 99 58 115 97 77 45 92 77 62 37100 75 6

24、3 51 30 83 63 53 42 26 71 53 45 36 22 61 46 39 31 20 53 40 34 28 17 47 36 30 25 16 41 32 27 22 14 37 29 24 20 13 34 26 22 18 12 31 24 20 17 11 28 22 19 16 10 0.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.000.50.20.10.050.010.50.20.10.050.010.50.20.10.050.010.50.20.10.

25、050.01显著性水平单边检验双边检验01. 0005. 002. 001. 0025. 005. 005. 01 . 001附表附表6-3均值的均值的 t 检验的样本容量检验的样本容量686801. 0005. 002. 001. 0025. 005. 005. 01 . 0010.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00 122 70 139 101 45 122 97 71 32 90 72 52 24 101 70 55 40 19 80 55 44 33 15 65 4

26、5 36 27 13 54 38 30 22 11 46 32 26 19 9 39 28 22 17 8 34 24 19 15 8 30 21 17 13 7 27 19 15 12 6 24 17 14 11 6 21 15 13 10 5 19 14 11 9 5 18 13 11 8 5 99 128 64 119 90 45 109 88 67 34 117 84 68 51 26 93 67 54 41 21 76 54 44 34 18 63 45 37 28 15 53 38 32 24 13 46 33 27 21 12 40 29 24 19 10 35 26 21 16

27、 9 31 22 19 15 9 28 21 17 13 8 25 19 16 12 7 23 17 14 11 7 21 16 13 10 6 139 90 115 63 109 85 47 101 85 66 37 110 81 68 53 30 90 66 55 43 25 75 55 46 36 21 63 47 39 31 18 55 41 34 27 16 47 35 30 24 14 42 31 27 21 13 37 28 24 19 12 33 25 21 17 11 29 23 19 16 10 27 21 18 14 9 25 19 16 13 9 110 134 78 125 99 58 115 97 77 45 92 77 62 37100 75 63 51 30 83 63 53 42 26 71 53 45 36 22 61 46 39 31 20 53 40 34 28 17 47 36 30 25 16 41 32 27 22 14 37 29 24 20 13 34 26 22 18 12 31 24 20 17 11 28 22 19 16 10 0.050.100.150.200.250.