二重积分习题

1、第九章。二重积分习题911、设，其中；又，其中，试利用二重积分得几何意义说明与之间得关系、解:由于二重积分表示得立体关于坐标面及对称，且位于第一卦限部分与一致, 因此、2、利用二重积分得几何意义说明：(1) 当积分区域关于轴对称，为得奇函数，即时，有；(2) 当积分区域关于轴对称，为得偶函数，即时，有，其中为在得部分、 并由此计算下列积分得值,其中.(I) ； (【I)； (IH)解:令,，其中为在得部分，(1) 由于关于轴对称，为得奇函数，那么表示得立体关于坐标面对称，且在得部分 得体积为，在得部分得体积为，于就是；(2) 由于关于轴对称，为得偶函数，那么表示得立体关于坐标面对称，且在得部分

2、 得体积为,在得部分得体积也为，于就是。由于关于轴对称，且为得奇函数，于就是；(I I)由于关于轴对称,且为得奇函数，于就是；(II I)由于关于轴对称,且为得奇函数，于就是、3、根据二重积分得性质，比较下列积分得大小：(1) 与，其中就是由轴、轴与直线所围成；解:由于在内,，有，所以O与，其中、解:由于在内,，有,，所以、4、利用二重积分得性质估计下列二重积分得值：(1),其中；解:由于得面积为，且在内,，那么 ，其中；解:由于得面积为，且在内,，那么(3) , 其中;解:由于得面积为，且在内,，那么习题9-21、计算下列二重积分：(1),其中就是矩形区域：; 解：(2) ,其中;解:jj

3、(x2 + y2)d(j = j dxf (可0 + )dy =丄(/ - ec )j xex dx. da2(3 )，其中就是由两坐标轴及直线所围成得闭区域；22 y2解:JJ(3x + 2y)do二dx (3x+2y)dy = (4 + 2x- 2x2)dx = 一、 d0003(4) ,其中就是顶点分别为与得三角形闭区域。解:JJ兀cos(x + y)da = | Jx|cos(x + y)dy = |(siii 2x-siiix)dx 二一?兀 d00022、画出积分区域，并计算下列二重积分：(1 )，其中就是由两条抛物线所围成得闭区域; 解:.(2) ,其中就是由直线及所围成得闭区域

4、; 解:。(3) ,其中就是由及所围成得闭区域;(4) ,其中就是由所确定得闭区域。 解：a:=0o o 1 ; b:=x-l、一x+1; f:=exp(x+v);iiit(f,y=b);i nt(i n t(f,y=b), x =a); siin p 1 ify(?,);3、如果二重积分得被积函数就是两个函数及得乘积，即，积分区域，证明这个 二重积分等于两个单积分得乘积，即 证明:4、化二重积分为二次积分(分别列岀对两个变量先后次序不同得两个二次积 分),其中积分区域就是：(1)由曲线、直线及轴所围成得闭区域；图形plo t ( ln(x),0, 2 ,0 , 2,1 n (2) ,x=0、

5、2 , y =0、。0、8 ,colo r = 1 )；解:、(2)由轴及右半圆所围成得闭区域；图形plot( (1xA2)A(l/2), 1(1 xA2)A(l/2),x=0o、1, c o lo r =1);解:、(3) 由抛物线与直线所围成得闭区域. 图形plot( xA2, 32*x,x=3.、1, color=l);5、改换下列二次积分得积分顺序:解:、(2)；解:。;解:、(4) ；解:。；图形p 1 ot( s i n( x) s i n(x/2), P i ,0,P i1 , x =0、.P i ,color= 1 );解:。(6)、图形P 1 o t (2*x-xA 2)(1

6、 ,(2*x)八(1/2), 2,0, 2,2 ,x=0、 2,c o lo r = 1 );解：6、设平面薄片所占得闭区域由直线与轴所围成，它得面密度，求该改薄片得质 量、图形p 1 o t(2 x 5 x , x =0 o 2,y=0。丄 c olor=l);解:、7、求由平面及所围成得立体得体积.图形wit h (plots):A:=p 1 o t 3 d ( x, y , 1 ,x=0.1, y =0。 1一 x ): B:=pl o t3d( x 5l-x,z,x= 0 o .1, z = 1 o、2):F:= p 1 o t3 d ( x ,0,z ,x= 0 -o 1, z =l

7、o .1+x):G:=p 1 ot 3 d(0, y ,z,y=0o .l,z=l.o 1+y):H:=pl o t3d(x, y ,l+x+v,x= 0 .l,y=0 .1一x):d i s play(A,B, F ,G,H ,g r id= 25,20 , a xes= BOXED ,s cali ng=CONSTRAINED ?style= PATCHCO N TOUR);y) ida = J； dx X (x + y)dy = * J； (1 _ /)必=*、8、为修建高速公路，要在一山坡中辟出一条长，宽得通道,据测量，以出发点一 侧为原点，往另一侧方向为轴(),往公路延伸方向为轴()

8、,且山坡高度为，试计算 所需挖掉得土方量、图形p lot3d(10*sin(P i *y/500)+ sin(Pi*x/2 0), y=0、。500,x= 0、.20);解:V = Jj zd(J - dx (10 sin y + sin 冷 x)dy = 70028 (m3)。9、画出积分区域，把积分表示为极坐标形式得二次积分,其中积分区域就是: (1)；图形plot( (1 x 2)A(1/ 2 ),-(l-xA2)A(l/2) , x=0、丄col o r=l); 解:。(2);图形P 1 o t ( l+(l-xA2)A(l / 2), 1-(1xA2)A(l/2) ,x=l、o 1,

9、CO 1 01*= 1);解:,于就是(3) ,其中;图形pl o t(l 一 x 人2厂(1 / 2 ),-(1- x A2)A(1 / 2),(4 x A2)A(l/2),-(4-xA2)A(l / 2) , x =2。、2,co 1 o r=l); 解:。、 图形P 1 Ot(x 2, 1,0, 1,1 , x=0 .l,color=l);解:，于就是、1 0、化下列二次积分为极坐标形式得二次积分：(1);图形P 1 O t ( 0,0 ,0,1 , 1,1, 1,0 , 0,0 ,c o lor= 1 ); 解:，于就是/(rcos l,c o lo r = 1 );解:.(3 ),其

10、中为圆周,及直线所围成得在第一象限内得闭区域。图形 pl o t(l-xA2)A(l / 2 ),( 1 x 八 2)八(1/2), (4xT厂(1 ,(4x八2)人(1/2),刃，x=2。 o 2,y=0.、2A(1/ 2 ),c o 1 or=l);解:、13、选择适当得坐标计算下列各题：(1),其中就是直线及曲线所围成得闭区域；图形p 1 o t( x , 1 / x 5 2,1/2 ,2,2,x= 0 o o 2,y=0.、2, c olor=l);解:、(2),其中就是圆环形区域;图形 P lo t ( (1xA2)A(l/2),-(l-xA2)A( 1 /2),(4x 2 )A(

11、1 / 2 ),-(4- x A2)A(l/2), x=-2、。2 ,color=l);解:。(3 )，其中就是由直线()所围成得闭区域； 图形P 1 ot( 0 ,1 ,1,1, 3,3 , 2,3 ,0,1 ,x=0、3,y=0、3,col o r = 1);解:.(4),其中为圆域.图形plot(l x A2)A(l/2)?( 1 -xA2)A(l/2),(4- x 八 2)八(1 / 2 )(4 x A2)A(l/2), x=2。、2 ,col o r=l); 解:I =7d6(I-r2)rdr +0(r2 l)rdr = - + - = 5?r、14、计算以面上得圆周围成得闭区域为底,而以曲面为顶得曲顶柱体得体积、 图形 p 1 o t ( (x-xA2)A( 1 /2),-(xx 2 ) (1 / 2) , x = 0 o。l,col o r=l)； 解:,于就是15、某水池呈圆形