专题检测二十导数的几何意义及简单应用

1、第3页共9页专题检测(二十)导数的几何意义及简单应用A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练一、选择题1已知函数f(x)的导函数fx)满足下列条件： f (x)0 时，x2 ; f (x)0 时，1x0,贝 U f(x)在(一a, 1) 上 单调递减，在(一1, + m)上单调递增，所以x= 1为f(x)的极小值点，故选D.3已知直线y= kx 2与曲线y= xln x相切，则实数k的值为()A.ln 2B.1C.1 In 2D.1 + In 2解析：选D 由y= xln x知y= In x+ 1，设切点为(冷，xn xo),则切线方程为y xoln xo =(In Xo+ 1) (x Xo),

2、因为切线 y= kx 2 过定点(0, 2),所以一2 xoln xo= (In xo+ 1)(0 xo), 解得 xo= 2,故 k= 1 + In 2，选 D.4.若x= 2是函数f(x)= (x2 2ax)ex的极值点，则函数y= f(x)的最小值为()C.(2 2 2)e ,2D. e解析：选 C f(x)= (x2 2ax)ex,f (x) = (2x 2a)ex+ (x2 2ax)ex= x2+ 2(1 a)x 2aex,由已知得， f (.2)= 0，所以 2+ 2 2 2a 2 2a = 0，解得 a= 1.所以 f(x) = (x2 2x)ex,所以 f x)= (x2 2)

3、ex,所以函数的极值点为一.2,2,当 x ( 2,2)时，f (x)V 0;所以函数y= f(x)是减函数，当 x ( a , ,2)或 x ( 2, + s)时，f (x)0，函数 y= f(x)是增函数.又当 x ( a , 0) u (2, + a)时，x2 2x0, f(x) 0,当 x (0, 2)时，x2 2xv 0, f(x) v 0,所以 f(x)min在 x (0, 2)上,又当x (0,2)时，函数y= f(x)递减，当x ( 2, 2)时，函数y= f(x)递增，所以 f(x)min= f( 2) = (2 2 2)e 2.5. 已知函数f(x)= (2x+ In x

4、a)ex在(0，+m )上单调递增，则实数 a的最大值是()A.5 ln 2B.5 2ln 2C.2 ln 2D.5 + 2ln 21解析：选 A / f(x)= (2x+ ln x a)ex，二 f (x) = (2x+ In x+ -+ 2 a)ex, x (0,+a). x1依题意，知x (0, + a)时，f (x) 0恒成立，即a0，贝y x2,. 当x= 2时，函数g(x)取得最小值，g(x)min = g 2 = 5 In 2 , aw 5 In 2，即实数a的最大值是5 ln 2.故选A.6. 已知函数 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x) = x 4 x,设 a= f(l

5、og30.2), b = f(3 0.2), c =f( 31.1)，则()A. c a bB.a b c第8页共9页C.c b aD.b a c解析：选 A因为函数 f(x)为偶函数，所以 a= f(log30.2)= f( log30.2) ,c= f( 31.1) = f(31.1).1 1因为 log39V log30.2 Iog3，所以一2v log30.2 1，所以 1v log30.23 Iog30.2 13 0.2.因为y= _ x在(0,+)上为增函数，y= 4x在(0, +)上为增函数，所以f(x)在(0, + g)上为增函数，所以 f(31.1) f( Iog30.2)

6、f(30.2)，所以 c a b,故选 A.、填空题7. (2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y= In x上，且该曲线在点 A处的切线经过点(一e, 1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .1 解析：设A(m, n),则曲线y= ln x在点A处的切线方程为y n= m(x m).1 又切线过点(一 e, 1)，所以有n+ 1 = (m+ e).m1再由 n= ln m,解得 m= e, n = 1.故点A的坐标为(e, 1).答案：(e, 1)8. 若函数f(x) = x+ aln x不是单调函数，则实数a的取值范围是 .解析：由题意知f(x)的定义域为(0,+

7、g), fz (x) = 1 + a，要使函数f(x)= x+ aln x不是x单调函数，则需方程1+ a= 0在(0, + g)上有解，即x= a,. a0),依题意有 f(绢一 = 3,A a= 22 2x2(2)依题意有2x2+ ax a 0在x 2 , 3上恒成立，即 a二在2 , 3上恒成立，tmax=8,2 22x + 4x 2xr 、e * 亠2 1 时，f(x)0;讨论g(x)的单调性.ex 1 x解：(1)证明：f(x)= e x 1 ,xe令 s(x) = ex 1 x,贝U sx)= ex 1 1,当x 1时，s (x) 0,所以s(x)在(1, +)上单调递增，又s(1

8、) = 0，所以s(x) 0,从而当x 1时，f(x)0.2,1 2ax 1g x(= 2ax=x(x ),当a0时，由g x)= 0得x=V2aI寸，g (x) v 0, g(x)单调递减,当 xa【寸，g (x) 0, g(x)单调递增.in n12.已知函数 f(x) = asin x+ bcos x(a, b R)，曲线 y = f(x)在点 , f 处的切线方程(1)求a, b的值;7t的最小值.0,(2)求函数g(x)=于在n解：由切线方程知，当 x= 时，y= 0,所以G =走+刼=o.因为 fx) = acos x bsin x.所以由切线方程知， 于=游好=1， 所以a= 2

9、 b=扌由知，f(x)= sinx-克os x=sin所以函数g(x) =sin xxn ,0 v xw , g (x) =xcos x sin x设 u(x) = xcos x sin xn0v x 亍则 u x)= xsin xv 0，故 u(x)在所以u(x) 0，函数 g(x)单调递增；当a 0时，x 0,右时，g (x) 0,函数g(x)单调递增， x 2?+g时，g (x)v 0，函数g(x)单调递减.所以当aw 0时，g(x)的单调增区间为(0,+ g),第11页共9页当a0时，g(x)的单调增区间为 o, 2a，单调减区间为 右+ .由知，f (1) = 0.当aw 0时，f

10、(x)单调递增，所以当x (0, 1)时，f (x) 0, f(x)单调递增.所以f(x)在x= 1处取得极小值，不符合题意当0a 1, 由 (1)知 fX)在0, 2a内单调递增,可得当 x (0, 1)时，f (x)0.所以f(x)在(0, 1)内单调递减，在1, 2a内单调递增,所以f(x)在x= 1处取得极小值，不符合题意当a=寸时，止=1，f(x)在(0，1)内单调递增，在)内单调递减, 所以当x (0 ,+)时，f (x) w 0, f(x)单调递减，不符合题意.时,当a 1时,0 2a 0, f(x)单调递增，当x (1 ,+ a)f (x) 1.22.已知函数 f(x)=- x

11、 + ax In x(a R).(1)若函数f(x)是单调递减函数，求实数 a的取值范围;若函数f(x)在区间(0, 3)上既有极大值又有极小值，求实数 a的取值范围2/1 2x + ax 1解：(1)f x)= 2x+ a - =-(x 0),xx因为函数f(x)是单调递减函数， 所以fx) w 0在(0, + a )恒成立， 所以2x2 + ax 1w 0在(0, + a)恒成立,1即a w 2x+ -对(0, + a )恒成立,x2x 1= 2迄(当且仅当2x=-即x=时取等号，所以aw材2.因为函数f(x)在(0, 3)上既有极大值又有极小值，所以fx)=2x2 + ax 1=0 在(

12、0,3)上有两个相异实根，即2x2 ax+ 1= 0在(0, 3)上有两个相异实根,令 g(x) = 2X2 ax+ 1,A 0, ara 2羽,则 043，得 0a 0， 0,即2 2 a芍.所以实数a的取值范围是2 2,詈.3.(2019全国卷川)已知函数f(x)= 2x3 ax2 + 2.(1)讨论f(x)的单调性；当0a0,则当 x ( a, 0) U |,+ 时，f (x)0,当 x 0, I 时,f (x)0,故f(x)在(a, 0),|,+ 单调递增，在0,3单调递减;若I = 0, f(x)在(a,+a )单调递增;若a0,1的最小值为f 3 =于是m=m=4a，0a2，2,

13、2a3.当 x I，0 时，f (x)0,故f(x)在一a , 3 , (0,+ a)单调递增，在I，0单调递减.当0a3时，由知，f(x)在0, I单调递减，在|, 1单调递增，所以f(x)在0,327 + 2,最大值为 f(0)= 2 或 f(1) = 4 a.3所以2 3a 27,aa+27，0a2,2 a3.3当0a2时，可知2 a +务单调递减,所以M m的取值范围是27, 2 .3当2 a3时，|7单调递增，所以M m的取值范围是27, i .综上，M m的取值范围是 27，2 .4.已知常数 a丰 0, f(x)= aln x + 2x.当a = 4时，求f(x)的极值;当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1)由已知得f(x)的定义域为x (0, +),a - a + 2x f (x)=x+2=V2x一 4当 a = 4 时，f (x)=仝一4 x当0x2时，f (x)2时，f (x)0，即f(x)单调递增. f(x)只有极小值，且在x