8静定结构内力分析_8.6三铰拱的内力

1、本章主要讨论几种典型的静定结构本章主要讨论几种典型的静定结构（梁、梁、刚架、拱、桁架和组合结构等）的内力。刚架、拱、桁架和组合结构等）的内力。 图8-32所示为拱结构的工程实例。指杆轴通常为曲线，而且在竖向载荷指杆轴通常为曲线，而且在竖向载荷的作的作 用下支座产生水平反用下支座产生水平反力，或力，或称水平推力。称水平推力。没有水平推力没有水平推力P曲梁曲梁两端有水平推力两端有水平推力P拱式结构拱式结构工程中常见的拱结构有工程中常见的拱结构有：三铰拱三铰拱 为静定结构为静定结构两铰拱、无铰拱两铰拱、无铰拱 为超静定结构为超静定结构 无拉杆的三铰拱无拉杆的三铰拱有拉杆的三铰拱有拉杆的三铰拱(a)

2、竖向荷载作用下支座有水平推力竖向荷载作用下支座有水平推力(b) 推力由拉杆承担推力由拉杆承担有拉杆有拉杆的三铰的三铰拱实例拱实例 f 拱高，或称拱矢。拱高，或称拱矢。 l 跨度跨度拱高拱高 f 与跨与跨度度 l 的比值（的比值（ ） 矢跨比（高跨比）矢跨比（高跨比）lflf 矢跨比是拱的基本参数。工程实际中，矢跨比由矢跨比是拱的基本参数。工程实际中，矢跨比由1至至1/10，变化范围很大。，变化范围很大。拱拱趾（拱脚）趾（拱脚）拱顶拱顶拱轴线拱轴线拱式结构的特点：由于有拱式结构的特点：由于有水平推力存在，拱的弯矩比相应水平推力存在，拱的弯矩比相应 的简支梁的弯矩小。的简支梁的弯矩小。 抗压性强，

3、抗拉抗压性强，抗拉性差。性差。拱结构可分为：静定拱、超静定拱。拱结构可分为：静定拱、超静定拱。本节只讨论静定三铰拱本节只讨论静定三铰拱拱高：拱高： f ，跨度：跨度： l ，高跨比：高跨比： f/l （与（与性能性能有关）有关） 支座反力共四个分量支座反力共四个分量需列出四个方程：需列出四个方程：由整体平衡方程：由整体平衡方程：0BM0BM和和可求两个竖向支座反力：可求两个竖向支座反力：AViiPblBViiPal由由0X ABHHH得：得：另考虑中间铰另考虑中间铰C处弯矩为零：处弯矩为零：0CM以左部分为例以左部分为例则：则：1111()0CAMV lP laHf所以推力所以推力:1111(

4、)AV lP laHf（推力）（推力）分析两个竖向支座反力分析两个竖向支座反力AViiPblBViiPal与右图简支梁的支座反力：与右图简支梁的支座反力：0AViiPbl0BViiPal0AAVV0BBVV分析分析 推力推力H 式：式：1111()AV lP laHf恰恰与简支梁截面恰恰与简支梁截面C处的弯矩处的弯矩 相同。相同。0CM上式中的上式中的分子分子1111()AV lP la0CMHf即，推力即，推力H等于相应简支梁截面等于相应简支梁截面C处的弯矩处的弯矩 除除以拱高以拱高 f。0CM特点：特点：3) 推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形状无关；推力只与支座和载荷位置有关，与拱轴形

5、状无关； 即只与即只与 f/l 有关有关。1) 由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。由于推力的存在，三铰拱截面弯矩比简支梁弯矩小。2) 梁无梁无轴力（在轴力（在竖向载荷作用竖向载荷作用下）下） 拱的截面轴力较大，且一般为压力。拱的截面轴力较大，且一般为压力。1111()0CAMV lP laHf0C1111M()AV lP la三铰拱三铰拱C处弯矩处弯矩简支梁简支梁C处弯矩处弯矩4) 当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高当载荷和拱的跨度不变时，推力与拱高 f 成反比。成反比。 f 越大，越大，H越小；反之，越小；反之， f 越小，越小，H越大；越大；当当 f 等于零，等于零，H趋于无穷

6、大；此时三铰共线。趋于无穷大；此时三铰共线。几何瞬变体系。几何瞬变体系。5) 三铰拱三铰拱受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。受向内的推力，因此需给基础施加向外的推力。 所以三铰拱的基础要所以三铰拱的基础要比梁的基础比梁的基础大，或加拉杆，以减小对大，或加拉杆，以减小对 墙（或柱和基础）的墙（或柱和基础）的推力。推力。(1) 弯矩计算公式弯矩计算公式11()KAKKKMV xP xaHy0AAVV分析：分析：0KKKMMHy显然，由于推力显然，由于推力 H 存在，存在，0KKMM(2) 剪力计算公式剪力计算公式11coscossincossinKAKKKAKKQVPHVPH0cossin

7、KKKQH为相应简支梁为相应简支梁K截面处的剪力。截面处的剪力。0KQ注：注： 在左半拱为正，右半拱为负。在左半拱为正，右半拱为负。K(3) 轴力计算公式轴力计算公式10sincossincosKAKKKKKNVPHQHu当当与拱的轴线重合时，各截面形心与拱的轴线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为零，则各截面弯矩为零，到合力作用线的距离为零，则各截面弯矩为零，只受轴力作用，正应力沿截面均匀分布，拱处只受轴力作用，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。这时材料的使用最经济。于无弯矩状态。这时材料的使用最经济。定义定义在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的轴在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态的

8、轴线称为线称为合理拱轴线合理拱轴线。拱拱任意截面任意截面K上的内力上的内力M、V、N有一个有一个合力合力R。拱各个截面内力的合力作用点的连。拱各个截面内力的合力作用点的连线，称为该拱在所给荷载作用下的压力线线，称为该拱在所给荷载作用下的压力线。三铰拱三铰拱压力线应通过三个铰的铰心。压力线应通过三个铰的铰心。示例示例：l三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。理轴线。 示例示例 简支梁的弯矩方程简支梁的弯矩方程)(20 xlxqM 拱的推力拱的推力fqlfMFCH820 拱的合理轴线拱的合理轴线)(420 xlxlfFMyH 三铰拱承受

9、沿水平方向均匀分三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下的合理轴布的竖向荷载作用下的合理轴线为一抛物线。线为一抛物线。示例示例：结论：结论：示例示例 三铰拱在均匀水压力作三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线是圆弧用下，合理轴线是圆弧曲线，轴力等于常数。曲线，轴力等于常数。 在填土重量作用下，三在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬铰拱的合理轴线是一悬链线。链线。注意：注意：三铰拱在不同的荷三铰拱在不同的荷载作用下，有不同载作用下，有不同的合理轴线。的合理轴线。在竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。在竖向荷载作用下，梁没有水平反力，而拱则有推力。由于推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比

10、简支梁的弯矩由于推力的存在，三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力。内轴力较大，且一般为压力。因拱比梁能更有效地发挥材料作用，故适用于较大的跨因拱比梁能更有效地发挥材料作用，故适用于较大的跨度和较重的荷载。由于拱主要受压，便于利用抗压性能度和较重的荷载。由于拱主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉性能差的材料，如砖、石、混凝土等。但拱的好而抗拉性能差的材料，如砖、石、混凝土等。但拱的水平推力给基

11、础施加向外的推力，所以三铰拱的基础比水平推力给基础施加向外的推力，所以三铰拱的基础比梁的基础要大。梁的基础要大。v桁架桁架：由若干直杆在其两端用铰联结而成的几何不变由若干直杆在其两端用铰联结而成的几何不变的格构体系。当荷载只作用在结点上时，各杆内力只的格构体系。当荷载只作用在结点上时，各杆内力只有轴力，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料有轴力，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。因而桁架在大跨结构中常用。的作用。因而桁架在大跨结构中常用。桁架例子桁架例子理理想想桁桁架架(2) 各各杆的轴线均为直线且通过铰心。杆的轴线均为直线且通过铰心。(3) 载荷载荷和支座反力都作用在结点和支座

12、反力都作用在结点上上并位于桁架平面内。并位于桁架平面内。 理想理想桁桁架架各杆只受轴力各杆只受轴力，截面上应力分布均匀，截面上应力分布均匀，（主应力）主内力。（主应力）主内力。(1) 桁桁架架的结点为光滑的铰结点。的结点为光滑的铰结点。实际问题往往轴线不绝对交于一点，产生一定的实际问题往往轴线不绝对交于一点，产生一定的弯矩（次内力、次应力）。弯矩（次内力、次应力）。各杆的轴线都是绝对平直，且在同一平面内并通各杆的轴线都是绝对平直，且在同一平面内并通过铰结点的中心。过铰结点的中心。钢筋混凝土桁架计算简图计算简图根据假定作出根据假定作出的桁架，各杆的桁架，各杆均是只承受轴均是只承受轴力的力的二力杆

13、二力杆说明说明l实际桁架与上述假定的实际桁架与上述假定的理想桁架理想桁架是有差别的。是有差别的。l按上述假定计算得到的桁架内力称为按上述假定计算得到的桁架内力称为主内力主内力。由于实。由于实际情况与上述假定不同而产生的附加内力称为际情况与上述假定不同而产生的附加内力称为次内力次内力。桁架桁架-直杆铰接直杆铰接体系。荷载体系。荷载只在结点作用，只在结点作用， 所有杆均为只有轴力的二力杆所有杆均为只有轴力的二力杆 桁架的杆件，依所处位置可分为桁架的杆件，依所处位置可分为弦杆弦杆各各腹杆腹杆。弦杆又可分为弦杆又可分为上弦杆上弦杆和和下弦杆下弦杆；腹杆有；腹杆有竖杆竖杆和和斜杆斜杆之分。之分。按几何组

14、成分类：按几何组成分类：简单桁架：由基础或基本铰结三角形，简单桁架：由基础或基本铰结三角形， 依次增加二元体组成依次增加二元体组成的桁架。的桁架。 联合桁架：由联合桁架：由几个几个简单桁架联合组成的简单桁架联合组成的 几何不变几何不变的铰结体系。的铰结体系。复杂桁架：非复杂桁架：非前两种为前两种为复杂桁架。复杂桁架。123简单桁架简单桁架联合桁架联合桁架复杂桁架复杂桁架按不同特征分类：按不同特征分类：a) 平行平行弦桁架弦桁架b) 折折弦桁梁弦桁梁c) 三角形桁架三角形桁架d) 梯形桁架梯形桁架或按竖向载荷引起的支座反力分类：或按竖向载荷引起的支座反力分类：a) 无推力桁架无推力桁架b) 有有

15、推力桁架推力桁架主要有两种：主要有两种：(1) 结点法：隔离体只含一个结点。结点法：隔离体只含一个结点。(2) 截面法：隔离体含两个以上结点。截面法：隔离体含两个以上结点。结点法与截面法结点法与截面法 求桁架各杆的轴力，取桁架的一部分为隔离体，考虑隔求桁架各杆的轴力，取桁架的一部分为隔离体，考虑隔离体的平衡条件，建立平衡方程，从平衡方程解出杆的离体的平衡条件，建立平衡方程，从平衡方程解出杆的轴力。截取的隔离体只包含一个结点则称为轴力。截取的隔离体只包含一个结点则称为结点法结点法，若，若隔离体包含两个或两个以上的结点则称为隔离体包含两个或两个以上的结点则称为截面法截面法。v 结点法结点法： 隔离

16、体隔离体 结点结点 （平面汇交力系）（平面汇交力系） 平衡方程：平衡方程： 0 xF 0yFv截面法：截面法：隔离体隔离体 两个或两个以上结点两个或两个以上结点 （平面（平面一般力系）一般力系）平衡方程：平衡方程： 0M 0 xF 0yF比例关系比例关系 计算中，常需把杆的轴力计算中，常需把杆的轴力FN分解为水平分力分解为水平分力Fx和竖向分和竖向分力力Fy。计算时可先算出。计算时可先算出Fx 和和Fy ，然后算，然后算FN 。有下列比例。有下列比例关系：关系：yyxxlFlFlFN据此比例关系，据此比例关系， FN 、 Fx 和和Fy 之间很之间很容易相互推算，而不容易相互推算，而不需使用三

17、角函数进行需使用三角函数进行计算。计算。以桁架的结点作为平衡对象时，结点承受汇交力系作用。因此，逐次建立各结点的平衡方程，则桁架各点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数。据此，可求得桁架各杆内力。为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架。为分析桁架的基本方法之一，适合简单桁架。结点法的结点法的隔离体为桁架结点隔离体为桁架结点，利用平面汇交力系的两，利用平面汇交力系的两个平衡方程，计算各杆的未知力。个平衡方程，计算各杆的未知力。结点法最适用于计算简单桁架。结点法最适用于计算简单桁架。 求解顺序求解顺序：截取结点的顺序与几何组成顺序的相反。：截取结点的顺序与几何组成顺序的相反。计算过程中，先假设杆的

18、未知轴力为拉力。计算结果计算过程中，先假设杆的未知轴力为拉力。计算结果为正则表示轴力确为拉力，如果为负则轴力为压力。为正则表示轴力确为拉力，如果为负则轴力为压力。一般情形一般情形：因结点法平衡方程为：因结点法平衡方程为2个，故结点法截取结个，故结点法截取结点上的未知力个数点上的未知力个数2。取桁架结点取桁架结点为隔离体，利用汇交力系的两个平衡条件。为隔离体，利用汇交力系的两个平衡条件。例：例：(i) 求支座反力求支座反力1811(203 20)40( ),02VVkNH (ii) 计算各杆内力计算各杆内力取取结点结点1为隔离体为隔离体1340 100V 0Y 1330VkN 由比例关系，得由比

19、例关系，得131322 ( 30)601HVkN Y方向交汇平衡：方向交汇平衡：得到：得到：所以：所以：yx作用在Y方向的力作用在X方向的力ll由平衡方程由平衡方程 0X 得：得：12130NH1213( 60)60NHkN 拉力拉力131355( 30)67.11NVkN （压力）（压力）取取结点结点2为隔离体为隔离体由平衡方程由平衡方程首先将以求出的首先将以求出的 按实际方向画出按实际方向画出12N0Y 得：得：230N0X 得：得：2560NkN（拉力）（拉力）取结点取结点3为隔离体为隔离体这里这里 和和 13N23N已求出已求出利用平衡方程利用平衡方程0X 3435600HH0Y 34

20、3520300VV利用比例关系利用比例关系34H和和35H可以表示为可以表示为 和和 的函数。的函数。34V35V求解求解 及及34V35V以结点以结点5为矩心，可列出力矩方程，解出为矩心，可列出力矩方程，解出 和和 。34V35V534230 420 20MH 3440HkN 利用比例关系，得：利用比例关系，得：341( 40)202VkN 345( 40)44.72NkN （压力）（压力）由投影方程：由投影方程：3560400XH3520HkN 利用比例关系，得利用比例关系，得351( 20)102VkN 355( 20)22.42NkN （压力）（压力）取结点取结点4为隔离体为隔离体 根

21、据水平投影方程，可得：根据水平投影方程，可得：464640040XHHkN 另根据比例关系另根据比例关系,461( 10)202VkN 465( 40)44.72HkN （压力）（压力）根据竖直投影方程，有：根据竖直投影方程，有：4545202020020YNNkN （拉力）（拉力）本问题结构对称、载荷对称，所以各杆的内力也是对称的。本问题结构对称、载荷对称，所以各杆的内力也是对称的。即有：即有：3446NN等等1) 零杆：零杆：两杆结点上无载荷作用，两杆结点上无载荷作用， 则两杆内力则两杆内力0。2) 三杆结点上无载荷作用，若其中三杆结点上无载荷作用，若其中 两杆在一条直线上，则另一杆必两杆

22、在一条直线上，则另一杆必 为为零杆零杆。3) 四杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直四杆结点上无载荷作用，若其中两杆在一条直线上线上，其它，其它两杆在另一直线上，则同一直线上的两两杆在另一直线上，则同一直线上的两杆的杆的内力相等内力相等且性质相同。且性质相同。确定零杆确定零杆11) 零杆练习练习FPPFPF22abcFPa1) 零杆零杆2) FNa = -FP FNb = FNc2) FNa = FP 22PFbacFPFP022PFbacFPFP0022PFbacFPFP00000FPa00FPa0000000000确定零杆确定零杆2l确定图示桁架在荷确定图示桁架在荷载载FP作用下内力作用

23、下内力为零的杆（为零的杆（零杆零杆）练习练习FPFPFP适当选择截断所求杆的截面，以桁架的局适当选择截断所求杆的截面，以桁架的局部为平衡对象，由平衡方程即可求得所需杆件部为平衡对象，由平衡方程即可求得所需杆件轴力。轴力。计算计算联合桁架不宜联合桁架不宜用结点法，而采用截面法用结点法，而采用截面法截面法：用一适当截面，截面法：用一适当截面，截取桁架一部分（至少截取桁架一部分（至少包括两个包括两个 结点）为结点）为隔离体，建立平衡方程解未知杆内力。隔离体，建立平衡方程解未知杆内力。u 建立方程时，最好每个方程只包含一个未知力建立方程时，最好每个方程只包含一个未知力。截面可以是平面或曲面，一般不通过

24、结点截面可以是平面或曲面，一般不通过结点。 截面法截取的隔离体包含两个或两个以上的结点，利截面法截取的隔离体包含两个或两个以上的结点，利用平面一般力系的三个平衡方程，计算所切各杆中的用平面一般力系的三个平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。未知轴力。一般情形一般情形：截面法截开处暴露的未知轴力：截面法截开处暴露的未知轴力3。截面法最适用于截面法最适用于：联合桁架的计算；简单桁架中少数：联合桁架的计算；简单桁架中少数杆件的计算。杆件的计算。 计算中，先假设未知轴力为拉力。计算中，先假设未知轴力为拉力。截面法的平衡方程截面法的平衡方程：l投影平衡方程 投影法力矩平衡方程力矩平衡方程 力矩法力矩法 0

25、0yxFF 0M示例示例 求桁架中求桁架中1、2、3三杆的轴力三杆的轴力示例示例解解：1) 支反力)(52. 4 kNFyA)(48. 1 kNFyA2) 1、2、3杆轴力杆轴力沿截面沿截面m m截开，取截开，取右边部分为隔离体。斜右边部分为隔离体。斜杆轴力用分力代替。杆轴力用分力代替。以以C点为力矩中心求点为力矩中心求FN1 求求FN2、 FN3 , 0CM)(87. 51拉拉力力kNN F , 0dMkN68. 42 xF由比例关系得：由比例关系得：)(7 . 42压压力力kNN F , 0 xFkN19. 13 xF由比例关系得：由比例关系得：)(54. 1压压力力kNN3 F3) 校核

26、校核用平衡方程：用平衡方程： 0yFPPPPP21345PP1N4NPP2N3N2N3NP1N5N2N对称对称结构：结构：几何几何形状和支座对某轴对称的形状和支座对某轴对称的结构结构。对称对称荷载：荷载：作用作用在对称结构对称轴在对称结构对称轴两侧，大小相等，方向两侧，大小相等，方向和作和作 用点对称的荷载用点对称的荷载反对称反对称荷载：荷载：作用作用在对称结构对称轴在对称结构对称轴两侧，大小相等，作用点两侧，大小相等，作用点 对称，方向对称，方向反对称的荷载反对称的荷载PP对称荷载对称荷载PP反对称荷载反对称荷载PP0PPEACDB对称对称平衡平衡0CDCENNPPEACDB反对称反对称ED

27、平衡平衡ED0EDN例：试例：试求图示桁架求图示桁架A支座反力。支座反力。0对称荷载对称荷载P/2P/2反对称荷反对称荷载载P/2P/2a10PAa20)(10/30325, 0 PYaPaYMAAC反反对AY反AY)(6/023, 0 PYaPaYMAAB对对00BC0)(15/7PYYYAA反对AY例：试例：试求图示桁架各杆求图示桁架各杆内力。内力。PPP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2(1) 三角形三角形桁桁架的内力分布是不均匀的。架的内力分布是不均匀的。(2) 抛物线形抛物线形桁桁架（上弦结点在一抛物线上）的架（上弦结点在一抛物线上）的内力分布均匀。内力分布均匀。(3)折

28、线形折线形桁桁架是三角形架是三角形桁桁架和抛物线形架和抛物线形桁桁架的架的一种中间形式一种中间形式。 组合结构组合结构由链杆和梁式杆组成的结构。由链杆和梁式杆组成的结构。链杆只受轴力作用，为二力杆；梁式杆除链杆只受轴力作用，为二力杆；梁式杆除受轴力作用外，还受弯矩和剪力作用。受轴力作用外，还受弯矩和剪力作用。计算组合结构的注意点计算组合结构的注意点应用截面法计算组合结构时，应注意被截的杆件是链杆还是梁式杆。对于链杆，截面上只作用有轴力；对于梁式杆，截面上一般作用有三个力，即弯矩、剪力和轴力。假如所截断的杆全是链杆，则在讨论桁架时的所有计算方法和结论全可应用。但如所截断的杆中有梁式杆时，则不能使

29、用桁架计算的结论。截面原则：尽可能避免先截断梁式杆。计算组合结构的步骤：先求出各链杆的轴力 然后根据荷载和所求得的轴力作梁式杆的M、FQ、FN图。示例示例：作组合屋架的内力图作组合屋架的内力图 示例示例解题过程：解题过程：1) 先求支座反力先求支座反力2) 求链杆内力求链杆内力 作截面作截面II，求得，求得FNDE，再由结点，再由结点D、E求出其它链杆内力。求出其它链杆内力。3) 梁式杆内力梁式杆内力 取梁式杆为隔离体，取梁式杆为隔离体，求出其内力：求出其内力：M、FQ、FN，并绘出，并绘出梁式杆内力图。梁式杆内力图。梁式杆的内力图梁式杆的内力图 组合结构内力比较组合结构内力比较梁式杆的弯梁式杆的弯矩随矩随f1、f2变化