3 傅里叶变换

1、1傅里叶光学傅里叶光学第三章傅里叶变换第三章傅里叶变换2008年年9月王成月王成2关于傅里叶变换关于傅里叶变换l变换变换坐标变换与函数变换坐标变换与函数变换线性变换与非线性变换线性变换与非线性变换l谱、频谱谱、频谱l时域与空域时域与空域l物空间与像空间物空间与像空间l分数傅里叶变换、小波变换分数傅里叶变换、小波变换3 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统4Since the subject covered is Fourier optics, it is natural that the methods of Fourier analysi

2、s play a key role as the underlying analytical structure of our treatment. Fourier analysis is a standard part of the background of most physicists and engineers. The theory of linear systems is also familiar, especially to electrical engineers .一引言一引言5傅里叶生平傅里叶生平l1768年生于法国年生于法国l1807年提出年提出“任何周任何周期信号都

3、可用正弦函期信号都可用正弦函数级数表示数级数表示”l1822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”l 1829年狄里赫利第年狄里赫利第一个给出收敛条件一个给出收敛条件 一引言一引言Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1840), began to work on the theory of heat around 1840 and by 1807 had completed a memoir, On the propagation of heat in solid bodies, in which periodic functions were ex

4、pressed as the sum of an infinite series of sines and cosines. Lagrange and Laplace objected to Fouriers expansion on the grounds that it lacked generality and rigor. Fouriers treatise, The analytical theory of heat, was not published until 1822.Classical optics and its applications 经典光学及其应用 世界图书出版公

5、司6l傅里叶在家傅里叶在家19个孩子中排行最小个孩子中排行最小l一个戏剧性的豁免并结识拿破仑的死刑犯一个戏剧性的豁免并结识拿破仑的死刑犯l在拿破仑政府工作在拿破仑政府工作l参加一次在埃及的科学考察，总结出一部参加一次在埃及的科学考察，总结出一部21卷的巨著，奠定了现代埃及学的基础卷的巨著，奠定了现代埃及学的基础l他工作得到认可，但好喜欢他的数学研究，他工作得到认可，但好喜欢他的数学研究，甚至想自愿流放以将获得更多的自由甚至想自愿流放以将获得更多的自由一引言一引言7傅里叶的两个最主要的贡献l“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点l“非周期信号都可表示为正弦信号的

6、加权积分”傅里叶的第二个主要论点一引言一引言8世纪年代人名主要贡献181748Euler弦振动分析1753Lagrange1767Bernoull191804-1822Fourier级数展开、积分18051893Parseval能量守恒（时域与变域）1807Lacroix,Monge,Laplace支持傅里叶论文1823Cauchy积分1829Dirichlet级数与积分的条件18871898Gibbs,Michelson吉布斯现象9世纪年代人名主要贡献201900Marconi无线电、LC回路1902Lebesgue积分、收敛条件1923Walsh广义正交函数的分解1928Nyquist抽样

7、定理1935Wiener功率谱等1948Shannon信息论1950Schwartz广义函数、脉冲函数1965Cooley, TukerFFT算法19841989Morlet,GrossmanDaubechiesMallat小波变换1990分数傅里叶变换10 将函数表示为不同频率函数的线性组合将函数表示为不同频率函数的线性组合从信号分析的角度将信号表示为不同频率正（余）弦分量的线性组合信号间进行比较 、分析、处理从系统分析角度通过单频正弦信号激励下的响应，可求得总响应一引言一引言11l变换是一种运算，不是因果关系变换是一种运算，不是因果关系l光学现象可以视为傅里叶变换光学现象可以视为傅里叶变换

8、从而任一波前可以分解为一系列不同空从而任一波前可以分解为一系列不同空间频率的平面波前成分的叠加，间频率的平面波前成分的叠加，对于周期函数，空间频率的取值是离散对于周期函数，空间频率的取值是离散的，而非周期函数空间频率是连续的的，而非周期函数空间频率是连续的l不论光学系统是否成像，它都可以看成从输不论光学系统是否成像，它都可以看成从输入面到输出面的一种光速完成的变换入面到输出面的一种光速完成的变换一引言一引言12 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统13二傅里叶级数二傅里叶级数( )g x1f)sin()cos(2)(10nbnaagnnnx

9、TnbxTnaaxgnnn2sin2cos2)(100( )(cos2sin2)2nnag xanfxbnfx一个周期性函数，周期，则当满足一个周期性函数，周期，则当满足某些条件后，可以展开为傅里叶级数某些条件后，可以展开为傅里叶级数14f(x,y)此处虽然没有明确说明，但引入了空间频率Spatial FrequencyTxxTfxyxfx2sinsin),(f：空间频率xy15Tx、Ty：周期、：空间圆频率fx、fy：空间频率xxTf22yyTf22xxyxTxTyfxfyxf2sin2sinsinsin),(TyTxyx16波数n2kn17l其中傅里叶系数其中傅里叶系数00002( ),2

10、( )cos2,2( )sin2.nnag x dxag xnfxdxbg xnfxdx二傅里叶级数二傅里叶级数18l也可以等效地把周期函数展开为指数傅也可以等效地把周期函数展开为指数傅里叶级数的形式里叶级数的形式其中其中( )g x( )exp( 2)nng xcjnfx01( )exp(2)0, 1, 2,ncg xjnfx dxn二傅里叶级数二傅里叶级数1900ac幅度谱nnnbac22相位谱nnnabarctgnanbnnc二傅里叶级数二傅里叶级数三角函数表示式与指数函数表示式之间的关系20例例 有一个缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅有一个缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率函数为透过率

11、函数为将它展成傅里叶三角级数将它展成傅里叶三角级数它其为整数021)(mdmdxmdxg0) 12(2sin) 12(221)(kxkdkxg二傅里叶级数二傅里叶级数210) 12(2sin) 12(221)(kxkdkxg于是102sin2cos2)(nnnxdnbxdnaaxg00012cos)(20nndxxdnxgdadnknkknnnndxxdnddxxdnxgdbddn2.6 , 4 , 20,.2 , 1 , 0) 12.(5 , 3 , 12 )cos(1 1 2sin22sin)(220022xg(x)0d12dd232123l傅里叶级数的应用傅里叶级数的应用光栅光栅泰伯效应

12、泰伯效应信息处理信息处理数字化光学系统数字化光学系统二傅里叶级数二傅里叶级数24l光栅光栅l光栅组合光栅组合平行组合平行组合垂直组合垂直组合复合光栅复合光栅二傅里叶级数二傅里叶级数25 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统26三三 傅里叶变换傅里叶变换1傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义傅里叶变换是把一个复杂函数分解成更简单的复指傅里叶变换是把一个复杂函数分解成更简单的复指数函数的集合数函数的集合一维傅里叶变换)()(fGxgdxfxjxgfG)2exp()()(dffxjfGxg)2exp()()(则)()(xgFfG272傅里叶变换的基本

13、性质傅里叶变换的基本性质l线性定理（Linearity),(),(),(),(yxhbFyxgaFyxbhyxagF三三 傅里叶变换傅里叶变换28iiiiiiFafaiiFf若332211332211FaFaFafafafa即三三 傅里叶变换傅里叶变换292211fafa（）加法三三 傅里叶变换傅里叶变换302211fafa（）乘法（）减法2211fafa31l相似性定理（缩放性）若则 相似性定理是说明原函数空域坐标相似性定理是说明原函数空域坐标“伸展伸展”，其频谱函数在频率域中是其频谱函数在频率域中是“收缩收缩”，并且高度，并且高度也有相应变化。反之亦然。也有相应变化。反之亦然。),(),(

14、yxffGyxgFbfafGabbyaxgFyx,1),(三三 傅里叶变换傅里叶变换32三三 傅里叶变换傅里叶变换33bfafFabbyaxfyx, 1,xyfyFTfxxyfyFTfx三三 傅里叶变换傅里叶变换34反比性反比性其频谱的有效宽度与原函数的有效宽度之其频谱的有效宽度与原函数的有效宽度之间存在一定的反比关系间存在一定的反比关系其物理意义是原函数越窄，则其频谱函数其物理意义是原函数越窄，则其频谱函数就越宽就越宽1fx三三 傅里叶变换傅里叶变换35dxxgxg)()0(dffGfG)()0(dffGg)()0(dxxgG)()0(1fx三三 傅里叶变换傅里叶变换36l位移定理shift

15、ing or translating即原函数在空域中的平移，频谱函数在频率域中有相应的相移。同样，原函数的相移，将导致频谱有一位移)(2exp),(),(yxyxbfafjffGbyaxgF三三 傅里叶变换傅里叶变换)()(020ffGxgeFxfi实际上给出了位置不变性372,yxbfafjyxffFeffFbyaxfyxxyfyFTfxxyfyFTfx三三 傅里叶变换傅里叶变换38yxbfafjyxeffFbyaxf,则强度为2*2,*yxyxyxbvaujbvaujbfafjyxffFffFffFevuFevuFeffFyx物空间位置的变化并不影响像空间的光强分布三三 傅里叶变换傅里叶变

16、换39l共轭定理这实际上表达的是对称性说明当g(x)为实函数时，谱空间是对称函数。所以在以后的讨论中会发现所有的光学都是对称的，这不是因为透镜是圆的，也不会因为衍射屏是对称的，衍射屏可以是不对称的，但衍射花样却一定是对称的)(*)(*fGxgF)(*)(*fGxgF22),(),(yxyxffGffG三三 傅里叶变换傅里叶变换40l帕色伏（Parseval）定理（能量守恒）这是功率谱密度，能量守恒公式yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),(三三 傅里叶变换傅里叶变换41l卷积定理 （Convolution Theorem),(),(),(),(yxyxffHffGyxhyxgF三三

17、 傅里叶变换傅里叶变换 dxfxjdxhgxhxgF)2exp()()()()(ddxfxjxhg)2exp()( )(dfjfHg)2exp()()()()(fHfG证明42),(),(,*,yxyxffGffFyxgyxf三三 傅里叶变换傅里叶变换f (x,y)g (x,y),(),(yxgyxfFTFTFTG (fx,fy)F (fx,fy) F(fx,fy)G (fx,fy)43例：设一实函数例：设一实函数h(x)，其频谱为，其频谱为H(f)，即，即则其与余弦函数的卷积为：则其与余弦函数的卷积为： )()()()(fiaefHfHxhF)(2cos)(2cos)(0000fxffHxf

18、xha三三 傅里叶变换傅里叶变换44根据傅里叶变换的卷积定理，有根据傅里叶变换的卷积定理，有)(21)(21)(2cos)(2cos0000fffffHxfFhFxfhFdfefffffHxfhxfi02000)()(21)(2cosxfixfiefHefH002020)(21)(21xfixfiefHefH002020)(*21)(21)(2cos)(000fxffHa做上式的逆变换，则将得到做上式的逆变换，则将得到45l不论不论h是何种线型的函数，是何种线型的函数，h与余弦的卷积一与余弦的卷积一定是同频的余弦型函数，其幅值为定是同频的余弦型函数，其幅值为h函数的频函数的频谱幅值，其原点相位

19、为谱幅值，其原点相位为h函数的频谱相位值函数的频谱相位值l在非相干成像光学系统，将在非相干成像光学系统，将h看作系统的点看作系统的点扩散函数，将看作一余弦板置于物平扩散函数，将看作一余弦板置于物平面，那么本式表明此时像面上的光强分布必定面，那么本式表明此时像面上的光强分布必定是余弦型函数，不论那点扩展函数多么复杂，是余弦型函数，不论那点扩展函数多么复杂，只要用一探头在像面上扫描，便可以测定和只要用一探头在像面上扫描，便可以测定和，采用不同的，采用不同的f0余弦板就可以得到全部或你余弦板就可以得到全部或你所需要得到的和，从而得到这个系所需要得到的和，从而得到这个系统的光学传递函数统的光学传递函数

20、H(f) xf02cos)(0fHa)(0f)( fHa)( f三三 傅里叶变换傅里叶变换46l自相关定理同理证明过程与卷积定理的证明过程类似，请大家自已做2),(),( ),(yxffGyxgyxgF),( ),(),(2yxyxffGffGyxgF三三 傅里叶变换傅里叶变换47l傅里叶积分定理),(),(),(11yxgyxgFFyxgFF),(),(),(11yxgyxgFFyxgFF三三 傅里叶变换傅里叶变换48l十分有用的东西十分有用的东西l有一些小的技巧，但很实用有一些小的技巧，但很实用l所有的函数、性质、变换在光学中都有所有的函数、性质、变换在光学中都有相应的物理现象、物理元件、

21、物理装置相应的物理现象、物理元件、物理装置或物理过程或物理过程l希望大家能熟悉这些内容希望大家能熟悉这些内容三三 傅里叶变换傅里叶变换49 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统50四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换1脉冲函数脉冲函数常数的傅里叶变换常数的傅里叶变换1)()(2dxexxFfxjAxAF)()()2exp(1fdxfxjAF51(t)FT 1)(dtt0t(t)FT0F(t)四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换52(x,y)FT 1),(dxdyyxFTxy11 pixel二维函数(x,y)fyfxF(x,y

22、)x(x,y)y四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换53FTptcombppptcombcombipipttptcombcombxyptcombp1fyfxppcombp1/p四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换梳状函数的傅里叶变换54l双（三）峰函数双（三）峰函数四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换)2cos()()(21000 xfxxxxF55l三角（正弦、余弦）函数三角（正弦、余弦）函数四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换)()(21)2cos(000ffffxfFxx56FT000costxyt0cosfx00t0-0四常用函数的傅里叶变换四常用函数的

23、傅里叶变换57FTbyax,cos0000,cosyyxxyyxxffffffffbyaxxyTx0Ty0fyufy0fx02020yxffTx0= 2 / fx0Ty0= 2 /fy0四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换58le指数函数指数函数)()()(2expbfafbyaxjFyx四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换592 矩形函数矩形函数相当于平行光正入射于单缝的波前函数，相当于平行光正入射于单缝的波前函数，其夫朗和费衍射场为其变换函数其夫朗和费衍射场为其变换函数)(sinsin)(21)2exp()(2121fcffeefjdxfxjxrectFfjfj四常用函数的

24、傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换60fafafaaxrectsinsincFT0taxrectaFT0fa sinc(af)四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换一维傅里叶变换61xyabbyaxrect,yxbfafabbyaxrect,sinc,FTfyyxbfaf,sincfx四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换二维傅里叶变换62l位相型矩形函数位相型矩形函数此时相当于斜入射的平行光入射于单缝的此时相当于斜入射的平行光入射于单缝的波前函数，其夫朗和费衍射场为其变换函数波前函数，其夫朗和费衍射场为其变换函数四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换63dxffxjdxffx

25、dxeeeFfxjxfjxfj)(2sin)(2cos210022200四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换64因为正弦函数是奇函数，所以积分式的第二项为零，因为正弦函数是奇函数，所以积分式的第二项为零，而余弦函数为偶函数，所以而余弦函数为偶函数，所以)()(2sin2lim)(2)(2sin2lim)(2cos2lim)(2cos2000000020ffffcffffdxffxdxffxeFrrrrxfj四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换653三角形函数三角形函数四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换66)(sin)(sin)(sin)()()()()(2xcxcxc

26、xrectFxrectFxrectxrectFxF四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换67四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换4高斯函数高斯函数2( )expGauss xx68)exp()(exp)2exp()exp()(2222fdxjfxedxfxjxxGuasFf1)exp(2d四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换692axeafaxeae221FTxy2axeFfaxea21四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换70FT22byaxe)()(22221bfafbyaxyxeabexyfyfx四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换71l这是一个经傅里

27、叶变换后线型不变的独特函数。这是一个经傅里叶变换后线型不变的独特函数。凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔凭借这一性质，高斯型光束成为激光器谐振腔中能稳定存在的一种模式。高斯函数也是光源中能稳定存在的一种模式。高斯函数也是光源的一种基本线型，因为由温度引起的谱线的多的一种基本线型，因为由温度引起的谱线的多普勒展宽是高斯型的普勒展宽是高斯型的l其变形为其变形为)(exp2exp2222yxffzjzjzyxjkF四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换725圆函数的变换圆函数的变换一阶贝塞尔函数一阶贝塞尔函数222212()(yxyxffffJxcircF）8646426442421 2

28、2)!1( !)()(6421201xxxxxkkxJkkk四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换7374aaJarcircle0 FTxyaarcircleafyfx22yxr22yxff、circle (r)四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换75FT6 双曲函数 反比函数xaafxa1xyxaFfa1四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换76FTraara1xyfyfx22yxr22yxff、四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换77六、常用傅立叶变换对六、常用傅立叶变换对 原函数原函数频谱函数频谱函数),(yxff),(yx),(00yyxx)(2exp00y

29、fxffyx)(2expbyaxj),(bfafyx)2cos(0 xf)()(2100ffffxx)()(2100 xxxx)2cos(0fx)2sin(0 xf)()(2100ffffjxx)()(200 xxxxj)2sin(0fx1178 原函数原函数频谱函数频谱函数)rect()rect(yxsinc()sinc()xyff( )( )xy22sinc ()sinc ()xyff)comb()comb(yxcomb()comb()xyff)(exp22yx )(exp22yxff( )step x11()22xxfif)circ(22yx 22221)2(yxyxffffJ)sgn(

30、)sgn(yxyxfjfj1122()eixy22()2eexyiiff79l当原函数在有限区域间中被切断，它们的频谱当原函数在有限区域间中被切断，它们的频谱均呈现衰减振荡型，高频谱值出现多次起伏，均呈现衰减振荡型，高频谱值出现多次起伏，其作用正是为了不断逼近原函数，恢复其边界其作用正是为了不断逼近原函数，恢复其边界和棱角。和棱角。l当原函数是在远处连续下降至当原函数是在远处连续下降至0，没有边界，没有边界，没有棱角，它们的频谱曲线在峰值两侧均为单没有棱角，它们的频谱曲线在峰值两侧均为单调下降，不出现高频值的起伏。调下降，不出现高频值的起伏。四常用函数的傅里叶变换四常用函数的傅里叶变换 学会总

31、结工作：刘亚楼例证学会总结工作：刘亚楼例证80 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统81五其他变换五其他变换1广义傅里叶变换广义傅里叶变换 如果函数可以定义为由可变换函数所组成的序如果函数可以定义为由可变换函数所组成的序列的极限对组成定义序列的每一函数进行变换，列的极限对组成定义序列的每一函数进行变换，得到一个相应的变换式序列，这一新序列的极得到一个相应的变换式序列，这一新序列的极限称为原来函数的广义傅里叶变换式广义变限称为原来函数的广义傅里叶变换式广义变换可按照通常变换的规则进行运算换可按照通常变换的规则进行运算82l常数的傅里叶变换常数

32、的傅里叶变换832 可分离变量函数的变换可分离变量函数的变换 函数在直角坐标系内是可分离变量的函数，即函数在直角坐标系内是可分离变量的函数，即 则它的二维傅里叶变换式等于两个一维傅里叶则它的二维傅里叶变换式等于两个一维傅里叶变换式的乘积变换式的乘积( , )( )( )XYg x ygxgy ( , )XXYYg x yggFFF五其他变换五其他变换84l傅里叶傅里叶-贝塞耳变换贝塞耳变换极坐标系中的函数，当它只是半径的函极坐标系中的函数，当它只是半径的函数时，即有数时，即有圆对称函数的傅里叶变换式为圆对称函数的傅里叶变换式为( , )g r( , )( )Rg rgr000( )2( )(2

33、)RGrgr Jrdr 五其他变换五其他变换853小波变换小波变换小波变换就是引入一小波做为构成基函数小波变换就是引入一小波做为构成基函数的基本函数，称为基本小波，基本小波的要的基本函数，称为基本小波，基本小波的要求是在两端快速为零，只在一个小区内非零。求是在两端快速为零，只在一个小区内非零。而后通过平移和伸缩这个基本小波构成所而后通过平移和伸缩这个基本小波构成所有的基函数。有的基函数。五其他变换五其他变换86设基本小波为，则基函数为设基本小波为，则基函数为从而函数的小波变换为从而函数的小波变换为即即abxhaxhba1)(,)(xfdxxfabxhabaWf)()(*1),()()(1),(

34、bfabhabaWf五其他变换五其他变换)(xh874分数傅里叶变换分数傅里叶变换采用分数傅里叶变换，可根据需要在采用分数傅里叶变换，可根据需要在包括空域和空频域的平面进行光学信息包括空域和空频域的平面进行光学信息处理，不要求在严格的频谱面进行，这处理，不要求在严格的频谱面进行，这使得光学信息处理更具灵活性。光学分使得光学信息处理更具灵活性。光学分数傅里叶变换已经成为信息光学研究的数傅里叶变换已经成为信息光学研究的一个重要内容，在图像加密、空间滤波一个重要内容，在图像加密、空间滤波等领域已得到广泛的应用等领域已得到广泛的应用 五其他变换五其他变换88lNamias于于1980年建立了完整的分数

35、傅里叶变年建立了完整的分数傅里叶变换理论，换理论，20世世90年代初分数傅里叶变换被引入年代初分数傅里叶变换被引入光学领域。研究的主要方面是如何用光学方法光学领域。研究的主要方面是如何用光学方法实现分数傅里叶变换，以及分数傅里叶变换在实现分数傅里叶变换，以及分数傅里叶变换在光学信息处理中的应用等光学信息处理中的应用等89l阶分数傅里叶变换定义为阶分数傅里叶变换定义为此处，此处， 方程也经常被称为方程也经常被称为 阶分数傅里叶变换，阶分数傅里叶变换，其具有如下基本性质：其具有如下基本性质：（1） （2）（3）（4） dxxfxjxjjxfFxfa)(sintan2)(expsin2)2(exp)

36、()(2221)()(0fxf)()( fxf)()()()(xhBxfAxBhxAf)()(xfxfp2/pdxdyyxfyxjyxjjyxf),(sin)(tan2)(expsin2)2(exp),(2222 五其他变换五其他变换零值不存在，这里是给出了定义式，以补充函数的断点，也可以通过极限值求得。 光信息技术及应用90dxxfxjxf)(2exp21)(2dxxfxjxjjxf)(sintan2)(expsin2)2(exp)(2221dxxfxjxf)(2exp21)(2当 及 时，即为通常的傅里叶变换和逆变换2/2/p2/小波分析与分数傅里叶变换及应用小波分析与分数傅里叶变换及应用

37、 冉启文冉启文 国防工业出版社国防工业出版社 2002.4 分数傅里叶光学导论，冉启文，科学出版社分数傅里叶光学导论，冉启文，科学出版社2004五其他变换五其他变换91 第三章傅里叶变换引言傅里叶级数傅里叶变换特殊函数的傅里叶变换其他变换1线性系统与空不变系统921) 系统的算符表示系统的算符表示系统系统（System），），广义地定义为一个变换，即它广义地定义为一个变换，即它把一组输入函数变换成一组输出函数。把一组输入函数变换成一组输出函数。 由算由算符符 来表征。来表征。激励激励 （Excitation）：对系统的输入；：对系统的输入；响应响应（Response）：对系统的输出。对系统的输

38、出。输入输入输出输出关系关系 六线性系统与空不变线性系统六线性系统与空不变线性系统93输入输入输出输出 系系 统统( )if x( )ig x系统的算符表示系统的算符表示过程的表达式过程的表达式( )( ),1,2,iif xg x in 94线性系统线性系统 对两个任意的输入信号对两个任意的输入信号 和和 ,有有1( )f x2( )fx11( )( ),f xg x 22( )( ),fxg x 如果对于两个任意的复常数如果对于两个任意的复常数 和和 ,当输入当输入为为 时时,输出为输出为1a2a1 122( )( )a f xa fx1 12 21 12 211221 122( )( )

39、( )( )( )( )( )( )a f xa fxa f xa fxaf xafxa g xa gx 此系统为线性系统此系统为线性系统(Linear System)95对于多个二维的输入对于多个二维的输入,在激励和响应之间有在激励和响应之间有下列关系下列关系:221111(,)(,)nniiiiiia gxya fxy 对于具有连续激励的系统而言对于具有连续激励的系统而言,上式的求和上式的求和可以用积分表示可以用积分表示:( , )( , )( , )g x yagd dafd d 系统对任意输入的响应能够用它对此输入系统对任意输入的响应能够用它对此输入分解成的某些单元函数的响应表示分解成

40、的某些单元函数的响应表示 线性系统的意义线性系统的意义 96 通过上述的结论，可以看到，找出一个简便通过上述的结论，可以看到，找出一个简便方法将输入函数分解成基元函数是很重要的方法将输入函数分解成基元函数是很重要的 基元函数：是指不能再进行分解的基本函数基元函数：是指不能再进行分解的基本函数单元，它们的响应很容易单独确定单元，它们的响应很容易单独确定 在光学系统中，常用的基元函数有在光学系统中，常用的基元函数有3 3种，即种，即 函数、复指数函数和余弦函数函数、复指数函数和余弦函数97脉冲响应函数与叠加积分脉冲响应函数与叠加积分 根据根据 函数的筛选性质，可以把系统的输入函数的筛选性质，可以把

41、系统的输入函数写成：函数写成：1111(,)( , ) (,)f x yfxyd d 221122(,)( , )(,)( , ) (,; , )g xyfxyd dfh xyd d 单位脉冲单位脉冲 221111(,)(,)( , ) (,)g xyf x yfxyd d 98 线性平移不变系统（线性空不变系统）线性平移不变系统（线性空不变系统） （LSI Linear Shift Invariant System） 线性系统中有一个重要的子类，即线性平线性系统中有一个重要的子类，即线性平移不变系统，也称为线性空不变系统移不变系统，也称为线性空不变系统 如果一个系统的输入函数如果一个系统的输

42、入函数 发生一个平发生一个平移，即变成移，即变成 时，系统相应的输出函时，系统相应的输出函数数 也只是平移，即为也只是平移，即为 L系统具有平移不变性系统具有平移不变性99 光学系统中，若取垂轴放大率为光学系统中，若取垂轴放大率为1.则对空间来说，则对空间来说，就是空间平移不变性，若系统又是线性的，这时，就是空间平移不变性，若系统又是线性的，这时，则称这种系统为空间平移不变系统则称这种系统为空间平移不变系统 (线性空不变系统线性空不变系统)LSI, Linear space invariant system100成像系统就是一个线性空间不变系统。而理想成像成像系统就是一个线性空间不变系统。而理

43、想成像具备空不变特性具备空不变特性平移不变性的一维形式如下平移不变性的一维形式如下101线性空不变系统具有如下一些重要特性：线性空不变系统具有如下一些重要特性：脉冲响应脉冲响应在在LSI 系统中，其脉冲函数系统中，其脉冲函数 只依赖只依赖于坐标差于坐标差 ，可以写成：，可以写成：22(,; , )h xy 22(,)xy2222(,; , )(,)h xyh xy 即，当点光源在物场中移动时，其像斑只改变位即，当点光源在物场中移动时，其像斑只改变位置，而不改变其函数形式。这一特性称为等晕性置，而不改变其函数形式。这一特性称为等晕性Isoplanatism 理想成像系统具备等晕性理想成像系统具备

44、等晕性102 LSI 系统的输出函数系统的输出函数 (也就是像也就是像) 可以表示可以表示为输入函数为输入函数 (物函数物函数) 与系统脉冲应在输出平与系统脉冲应在输出平面上的一个二维卷积面上的一个二维卷积 脉冲响应函数完全描述了脉冲响应函数完全描述了LSI 系统的性态，故系统的性态，故也称也称h 为为LSI系统输入系统输入-输出关系的空域描述输出关系的空域描述叠加积分式叠加积分式103在数学上，要求输入与输出函数具有相同的宗在数学上，要求输入与输出函数具有相同的宗量，即量，即 ，从而对它们无需区分，统，从而对它们无需区分，统一用一用 来表示，这时有：来表示，这时有：1212,xxyy( ,)

45、x y104线性平移不变系统的传递函数线性平移不变系统的传递函数 对上面前到的函数对上面前到的函数f (x, y), g(x, y), h(x, y) 做傅里叶变做傅里叶变换，其相应的谱函数记为换，其相应的谱函数记为 。这样对。这样对上式进行傅里叶变换，并利用卷积定理，可得：上式进行傅里叶变换，并利用卷积定理，可得：( , ),( , ),( , )FGH 这里，这里， 具有长度倒数的量纲，具有长度倒数的量纲， 具有空间频具有空间频率的意义率的意义, 105 都描写了系统对输入函数的变换作用都描写了系统对输入函数的变换作用b)频域频域a)空域空域对线性平移不变系统可采用两种研究方法：对线性平移

46、不变系统可采用两种研究方法：a)空域空域空域通过输入函数与脉冲响应空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数；函数的卷积求得输出函数；是空间频域求输入函数与脉冲响应函是空间频域求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，再对该数两者各自频谱密度的乘积，再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。b)频域频域 利用傅里叶变换性质和傅里叶变换对偶表，或利利用傅里叶变换性质和傅里叶变换对偶表，或利用快速傅里叶变换，常可以使傅里叶变换、求积、用快速傅里叶变换，常可以使傅里叶变换、求积、逆傅里叶变换这一运算过程远比卷积运算方便逆傅里叶变换这一运算过程远比卷积运算方便线

47、性空不变系统线性空不变系统 106 对系统作频谱分析，就是考察对输入函数中不同对系统作频谱分析，就是考察对输入函数中不同频率的基元函数的作用。这种作用表现为输出函数频率的基元函数的作用。这种作用表现为输出函数与输入函数中同一频率基元成分的权重的相对变化。与输入函数中同一频率基元成分的权重的相对变化。因此，两者频谱密度的比值：因此，两者频谱密度的比值： 平移不变系统的传递函数平移不变系统的传递函数(Transfer function)一般都是复函数，模改变输入各种频率基元成分的一般都是复函数，模改变输入各种频率基元成分的模，辐角改变这些基元成分的初位相。模，辐角改变这些基元成分的初位相。( ,

48、)H 原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力。数中不同频率的基元成分的传递能力。传递函数传递函数107 线性平移不变系统的本征函数线性平移不变系统的本征函数 ( , )( , )f x yaf x y 如果函数如果函数 满足条件满足条件( , )f x y 称称f (x, y) 为算符为算符 所表示的系统的本征函所表示的系统的本征函数数 (Eigen function)，a为此本征函数的本征值为此本征函数的本征值(Eigen value)，是一个复常数。，是一个复常数。 系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与输入函数之比为一个复常数。一个的输出函数与输入函数之比为一个复常数。一个LSI 系统是一个特定的输入函数，通过该系时，系统是一个特定的输入函数，通过该系时，不改变其函数形式，而仅仅可能被衰减或放大，不改变其函数形式，而仅仅可