线性代数矩阵的初等变换与矩阵的秩PPT学习教案

1、会计学1线性代数矩阵的初等变换与矩阵的秩线性代数矩阵的初等变换与矩阵的秩 定义定义2.162.16 下列三种变换称为下列三种变换称为矩阵的初等矩阵的初等行行变换变换:1交换两换法变置换行的位 :2c以非零数行倍法变换乘某一 :3k把某一行的 倍加到消上法变换另一行 :,记做记做行行交换第交换第jijirr :,记做记做行行乘第乘第以以ikicr:,记做记做行上行上倍加到第倍加到第行的行的把第把第ikjjikrr 此时变换的是第此时变换的是第i行行,第第j行没有变化行没有变化!同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换 (把把“r”换成换成“c”)2.4.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变

2、换第1页/共30页矩阵的初等变换矩阵的初等变换初初等等列列变变换换初初等等行行变变换换通常称通常称 (1) 换法变换换法变换 (2) 倍法变换倍法变换 (3) 消法变换消法变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或第2页/共30页I三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.1.2.c03.k交换矩阵 的

3、两行或两列；以数乘矩阵 某行或某列；以数乘矩阵 某行（列）加到另一行（列）上去AAA 2.4.2 初等矩阵初等矩阵由单位矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵初等矩阵. 定义定义2.17第3页/共30页,()ijIi jrr对调 中第两行，即，得初等方阵11011( , )11011P i j行行第第 i行行第第 j(1) 交换交换I的两行或两列，得的两行或两列，得初等对换矩阵初等对换矩阵。第4页/共30页 0()( ( ).icircP i c以数乘单位矩阵的第 行，得初等矩阵11( ( )11P i cc行行第第 i(2) 以数以数0c 乘乘I

4、某行或某列，得某行或某列，得初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵。第5页/共30页 ()()ijjikIjirkrkIijckc以乘 的第 行加到第 行上或以乘 的第 列加到第列上，11( )11kP ij k，行行第第i行行第第j(3) 以数以数0k 乘某行（列）加到另一行（列）上，乘某行（列）加到另一行（列）上，得得初等倍加矩阵。初等倍加矩阵。第6页/共30页1( , )( , ) ijrrP i jP i j变换的逆变换是其本身，则；111( ( )( ( );iircrcP i cP ic变换的逆变换为，则1()( )() .ijijrkrrk rP ij kP ijk 变换的逆变换为，则，初等矩

5、阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。第7页/共30页定理定理2.3阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 证明：证明： 具体验证即可具体验证即可行上，即行上，即倍加到第倍加到第行行的第的第施行倍加变换，将施行倍加变换，将按行分块，对按行分块，对设设ikjAAA第8页/共30页另两种情形同理可证另两种情形同理可证( ( )P ij kA

6、 mjik 11111 mjjik 11ijirk rjmA 1ijjmk 第9页/共30页 A0,A0.P i cAicAP i cic表示 的第 行乘表示 的第 列乘 ,.P ij kAAjkiAP ij kAikj，表示 的第 行乘 加到第 行上，表示 的第 列乘 加到第 列上,A,A.P i j AijAP i jij表示 的第 行与第 行对换表示 的第 列与第 列对换一般记法：一般记法：第10页/共30页2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形定义定义2 2 满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：（1）若有零行，则该行下方所有行

7、元素均为零；）若有零行，则该行下方所有行元素均为零；(2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为个元素全为零。零。行行rbbbr 000000*000*00*0*21 00DCC是是上上三三角角矩矩阵阵第11页/共30页定义定义 行最简矩阵是指在阶梯形中行最简矩阵是指在阶梯形中(1)(1)非零行第一个非零元素为非零行第一个非零元素为1 1，(2)(2)每一行第一个非零元素每一行第一个非零元素1 1所在的列中其它元素都为零所在的列中其它元素都为零，即

8、：，即： 行行r 000000*1000*000*010*00100rID rIr是是 阶阶单单位位矩矩阵阵第12页/共30页定理定理2.4 对任何矩阵对任何矩阵Am n，总可以经过有限次，总可以经过有限次初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。简矩阵。 第13页/共30页定理定理2.5 任何一个任何一个 矩阵矩阵A都与一个形式为都与一个形式为000rI mn 100000100000000000100000000D 的矩阵等价。（的矩阵等价。（rmin(m,n),D称为矩阵称为矩阵A的标准形。的标准形。第14页/共30页2.4.3 初等变换求初等变

9、换求逆矩阵逆矩阵 为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首先需要建立如下的定理。首先需要建立如下的定理。,:n nAn 设设矩矩阵阵是是 阶阶方方阵阵 那那么么下下列列各各命命题题等等价价定理定理2.6 n阶矩阵阶矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A的标准形是的标准形是In.(1)n nA 是是可可逆逆矩矩阵阵。(4)A可可以以表表示示为为有有限限个个初初等等矩矩阵阵的的乘乘积积。第15页/共30页由由 ，就有，就有1A AI11212()()ttPPP AIPPP IA，上面第一式表示上面第一式表示 经有限个初等行变换化为单位经有限个初等行变

10、换化为单位矩阵矩阵 ，第二式表示经这些初等行变换变为，第二式表示经这些初等行变换变为 .用用分块矩阵形式把上两式写成分块矩阵形式把上两式写成1 AAI 112()tPPPIIA 或或1AIIA 初等行变换由定理由定理2.6知道知道若若A可逆，则可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，可表为有限个初等矩阵的乘积，即即112tAPPP第16页/共30页 . 1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵I11 ()()AA BI A B)(BABA1 即即初等行变换初等行变换这表明如果对矩阵这表明如果对矩阵(A,B) 施行初等行变换，当把施行初等行变换

11、，当把 A化化为为 In 时，时， B就化为就化为A-1B第17页/共30页例例10 求矩阵求矩阵X，使，使 AX=B，其中，其中343122321A341352B 解解 如果如果A可逆，那么可逆，那么 X=A-1B ，第18页/共30页343431312252321BA1226209152052321121323rrrr 3110091520523212331rrr311006402041021313235rrrr 3110032010230012122rrr 所以 313223X第19页/共30页.1 CAY即可得即可得 , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要

12、求 CACAYA C1nICA 列变换第20页/共30页例例2.18求解矩阵方程求解矩阵方程 AX=A+X,其中其中010312022A解解 把所给方程变形为把所给方程变形为(A-I)X=A21232120220120220(, )203213011010011010043233rrrrAI A 23133231224( 1)2102200100226011010010203001213001213rrrrrrrrr 312302622X第21页/共30页2.4.2矩阵的秩矩阵的秩k阶子式：阶子式： 在在m n矩阵矩阵A中中 任取任取k行与行与k列列(k m k n) 位于这位于这些行列交叉处

13、的些行列交叉处的k2个元素个元素 不改变它们在不改变它们在A中所处的位置次序中所处的位置次序而得的而得的k阶行列式阶行列式 称为矩阵称为矩阵A的的k阶子式阶子式 例如 mn 矩阵 A 的 k 阶子式有knkmCC个 D 是是A的一个二阶子式的一个二阶子式(取取1、2行，行，2、4列）列）33245066254348223131A第22页/共30页定义定义2.19 矩阵矩阵A 中不为零子式的最高阶数，中不为零子式的最高阶数，称为称为矩阵矩阵A的秩的秩，记作，记作r(A).规定：零矩阵的秩是规定：零矩阵的秩是0，从而，从而A=0当且仅当当且仅当r(A)=0.第23页/共30页(3）矩阵矩阵A的秩为

14、的秩为r当且仅当当且仅当A中存在非零的中存在非零的r阶阶子式，而所有的子式，而所有的r+1阶子式（若存在）均为零。阶子式（若存在）均为零。 由定义不难得到：由定义不难得到：( )min , r Am n（1）若）若 A是是 mn 矩阵，则矩阵，则A的秩不会大于矩阵的秩不会大于矩阵的行与列数。即的行与列数。即()( )()( )Tr Ar Ar kAr Ak， 为非零数（2）第24页/共30页例例2.17解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3310.-21，且且0 A( )2.r A 310211101A 求矩阵的秩第25页/共30页 例例2.182100002124 ,0001200000AA设求矩阵的秩解解A中有一个中有一个3阶子式阶子式而所有而所有4阶子式均为零，所以阶子式均为零，所以r(A)=3.21002240001第26页/共30页问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？矩阵秩的计算矩阵秩的计算因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成因为对任何矩阵都可以经过有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩。行阶梯形