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文档简介

1、第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的普通方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影一、空间曲线的普通方程 0,0, zyxGzyxF 空间曲线C可以看作两个曲面的交线，设两个曲面的方程为:S1:F(x,y,z)=0 和 S2:G(x,y,z)=0那么：为空间曲线C的普通方程.解:. 6321,13212222交线表示了平面与圆柱面的表示一个平面轴的圆柱面表示母线平行于zxyxzxzyx例1 方程组632122zxyx表示怎样的曲线? 假设将曲线C上动点的坐标x、y、z 表示为参数t的函数，那么二、空间曲线的参数方程 )()()(tzztyytxx为空间曲线的

2、参数方程.例3 假设空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解 ： 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间t，动点由A运动到M(x,y,z).记M在xOy面上投影为 ， 的坐标为x,y,0.由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，所以经过时间t，AOM=t.从而MM.sinsin|,coscos|taMAOMOxtaMAOMOx由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升，所以 z=MM= vt因此螺旋线的参数方程为.,sin,co

3、stztaxtax.,sin,cosbzaxax 也可以用其他变量作参数;例如令=t，那么螺旋线的参数方程可写为这里 ，而参数为.b 1、曲线C关于xOy平面的投影柱面 由曲线C的普通方程：三、空间曲线C在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去z得：H(x,y)=0 此柱面H(x,y)=0称为空间曲线C在xOy平面的投影柱面. H(x,y)=0是以曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面.2、曲线C在xOy面上的投影(曲线) 投影柱面H(x,y)=0与xOy平面的交线，叫做曲线 C在xOy面上的投影(曲线)，即投影，其方程为: 00),(zyxH同理，曲线C在yOz平面的投影曲线方程为: 00),(xzyR曲线C在xOz平面的投影曲线方程为： 00),(yzxT例4 知两球面的方程为和 ,求它们的交线C在xOy面上的投影方程.1) 1() 1(222zyx解: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴 的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：022 22yyx1222zyx. 0022 22面上的投影方程在即为交线则xOyCzyyx例5 设一个立体由上半球面和锥面224yxz.)(322面上的投影所围成，求它在xOyyxz解: 半球面和锥面的交线为:为所求，得：两式消去 1 , )(3,4:222222yxzyxzyxzC这是一个母线平行于z轴的圆柱面. 0122zyx所

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