简单随机抽样与抽样分配

1、第9章簡單隨機抽樣與抽樣分配A. 一般練習題9.1 一個抽樣調查以電話簿中的電話號碼來隨機抽樣，並從事電話訪問， 這種抽樣方法會漏掉所有沒裝電話的人。這是非抽樣誤差還是抽樣誤 差的來源。解非抽樣誤差。9.2某大學學務處從大學部學生名單當中，隨機抽取了100個學生來訪問，聽取他們對大學生活的意見。若他們同時隨機抽取了兩組100人的簡單隨機樣本，從這兩個樣本得出的結果，恐怕會有些不一樣。這種變異 是抽樣誤差或是非抽樣誤差的來源？解抽樣誤差。9.3.一個生日宴會中有30個滿20歲的學生以及20個未滿20歲的學生。你從 滿20歲的當中隨機抽出3個，另外從未滿20歲的當中隨機抽出2個，然 後問他們對喝酒

2、的看法，請問此時每位學生被抽中的機率為何？此種 抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎？為什麼？這種是何種抽樣方法？解1均為，不是簡單隨機抽樣，而是分層抽樣，因為此時的抽樣方法是10將母體分為二層，再自各層中按比例抽取，此時的抽樣方法未能使所有可能抽出的樣本抽出的機率均相等，例如此時5個滿20歲的學生的樣本不可能被抽出。94何謂抽樣誤差與非抽樣誤差？試舉例說明之。解請參閱課本第271272頁。9.5試分別說明簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣、部落抽樣及系統抽樣四種抽樣方法適用的情形，並說明這些抽樣方法的優缺點。解請參閱課本第275278頁及第305310頁9.6設有一母體之機率分配如下：X269f(X)0.30.

3、20.5Xi X2 求X 1 22之抽樣分配。求X之期望值及變異數，其與母體之均數及變異數間有何關係?X的機率分配表為:X269f(X)0.30.20.5XiX2的聯合機率分配表為:X2 Xi26920.090.060.1560.060.040.190.150.10.25X的機率分配為:Xf (X)20.09若自該母體以抽出放回之方式隨機抽二個樣本，表為（XiX)：E(X)V(X)xf (x)20.09 4 0.12 5.5 0.3 6 0.04 7.5 0.20 x2f (x) ( x)2 22 0.0992 0.25 (6.3)24.6059 0.256.340.125.50.360.04

4、7.50.290.25母體X之平均數與變異數為：E(X) 2 0.3 6 0.2 9 0.5 6.32 2 2V(X)X2f(x)； 4 0.3 36 0.2 81 0.5 (6.3)2 48.9 39.69X與母體x之平均數及變異數之關係為：E(X) E(X)-V(X) V(X)V(X)，其中n為樣本數。2n9.7謂中央極限定理？說明中央極限定理的重要性。請參閱課本第289頁9.8盒中放有4球，其編號分別是 1、2、3、4，今自此盒中隨機抽出 2球(採抽出不放回法)，令 X!、X2為其編號數，且 Xi X2 /2:求X之抽樣分配。求E(X)與V(X)解組合(1,2) (1,3) (1,4)

5、(2,3) (2,4) (3,4)X1.522.52.533.5f(X)1/61/61/61/61/61/6P(X 580)P(Z580 560-20-) P(Z1)0.1587P(X 580)P(Z580 560 20)P(Z花4)0.000E(S) 10V(S) V(P(5500 S560 5600 x) 10 20240005500 56005700) P( -40005700 5600-)1/6X321/6X2f (X)1/3X521/6X31/6X720其他也15 -2 135 -2.5E(X)6662 11.522213521 2-(2.5)20.42V(X)6669.9武陵某農場

6、生產水梨，其重量為一常態分配，平均數為560公克，標準差為20公克，試求下列各小題：水梨重量大於580公克的機率。抽取16個水梨，16個水梨平均重量大於580公克的機率。若10個水梨裝成一盒，問一盒水梨重量的平均數與變異數為何?若要求一盒的水梨重量要在 55005700之間時，則有多少箱的水梨不符合規定?10S xi 1P( 1.58 Z 1.58)0.885810.88580.1142若以抽出放回的方式隨機抽取49人，求這49人的平均年資介於9與9.10某蛋行所用的塑膠袋，一個最多只能裝1,250公克的東西。設該蛋行所賣的雞蛋的重量為一平均數60公克，標準差4公克的常態分配。某人買了 20個

7、雞蛋，請問塑膠袋會破掉的機率為多少？續上題，設又知該蛋行所賣的鴨蛋的重量為一平均數為70公克，標準差為6公克的常態分配。某人買了 12個雞蛋與6個鴨蛋，請問塑 膠袋會破掉的機率為何？解令 X 表 20個雞蛋的重量，XN(1,200, 320)，P(X 1,250) P(Z 2.79)0.0026，塑膠袋會破掉的機率為0.0026。令Y表12個雞蛋和6個鴨蛋的重量，YN(1,140, 408)， P(Y 1,250) P(Z 5.45)0.0000，塑膠袋會破掉的機率很小，幾乎為0。9.11已知某紡織公司員工為200人，其平均年資為10年，標準差為6年。11年之間的機率若以抽出不放回的方式隨機抽

8、取49人，求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。解母體的分配未知，但為大樣本，故可用中央極限定理求解。此49人平均年資X的分配趨近於N(10,0.7347)，P(9 X 11) P( 1.17 Z 1.17)0.758此49人平均年資X的分配趨近於N (10,0.5575)，1510.73470.5575199。P(9 X 11) P( 1.34 Z 1.34)0.81989.12設某一國的國民中，習慣用左手的人佔總人數的30% 若隨機抽選25名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分配 為何？若隨機抽選225名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分 配趨近何種分配？其平均值、變

9、異數、偏態係數、峰態係數各為 何？續題2,試問其比例落在母體比例 0.08之間的機率為何？解為二項分配(0.30,0.0084)趨近常態分配，平均數0-3，變異數0.00093。偏態係數 0，峰態係數3P(|p p| 0.08) P(|p 0.30| 0.08) P( 2.67 Z 2.67)0.99249.13 A牌手錶的平均使用年限為 8年，標準差為1.4年，B牌手錶的平均使用 年限為9年，標準差為1.9年。若將A、B兩種牌子的手錶各選出 64個 樣本，求B牌手錶平均使用年限比 A牌手錶長1.5年的機率。解令A與B分別表示A牌與B牌手錶的樣本平均使用年限。雖然母體分 配未知，但樣本數夠大，

10、故由中央極限定理可知：AN(8,0.1752), B N(9,0.23752)，B A N(1,0.2952)-1 5 1P(B A 1.5) P(Z) P(Z 1.69)0.04550.2959.14大熹食品公司在其出品的豆乾上標示平均重量為250公克，標準差為5公克。為驗證該公司之標示是否屬實，消基會前往抽查100包豆乾，試問：以標示重量為中心試求100包豆乾的平均重量涵蓋 90%的範圍。這100包豆乾的平均重量為小於 248公克的機率為何？解令X表這100包豆乾的平均重量。雖然不知母體的分配為何，但樣本 數夠大，故由中央極限定理可得X N (250,0.25)P(|Xcc250| c)

11、P(Z)0.9 P( 1.645 Z 1.645)0.50.5c0.51.645c 0-8225，90%的範圍是 249.1775 公克250.8225公克。P(X 248) P(Z 4)09.15某農場出產的蜂蜜，每瓶重量呈常態分配，平均重量為500公克，標準差為24公克。一食品檢驗單位抽檢 16瓶該農場的蜂蜜，試問：該16瓶蜂蜜的平均重量在490至510公克之間的機率為多少?該16瓶蜂蜜的平均重量在多少公克以上的機率為0.1 ？解令X表16瓶蜂蜜的平均重量，XN(500,36)。P(490 X510)P( 1.67 Z1.67)0.905c 500) 0 1P(X c)P(Z6 ) 0.1

12、P(Z 1.28)c 50061.28c 507.689.16假設一公司的生產線上每天約產生0.05的瑕疵品，該公司的品管部門每天都要抽驗100個成品，右抽驗的成品中有超過8%為瑕疵品，則當天所有的成品均作廢。試問：每天抽驗成品中瑕疵品比例的分配為何？每天抽驗成品中瑕疵品的比例超過 0.06的機率為何?300工作天中約有幾天的成品須作廢？解令P表抽驗的成品中瑕疵品所佔的比例，P為二項分配因抽驗成品數夠大，由中央極限定理知 P趨近常態分配：p N (0.05,0.000475)1 1P(P .8 2 而E(X)(X X)23.5(Xn91 6 5)21.87。5V(X)I )2916 (3.5)

13、22.91730.972，2.917) P(p 0.075) P(Z 1.14)0.1271300 0.127138.13，約有38天的成品須作廢。9.17假設若有一母體包含6個值：1 2 3 4 5 6。將此6值視為一組樣本，求其標準差。若自此母體中抽出 n 3之隨機樣本，並假設抽出放回，求樣本平 均數的平均數及變異數。若抽出不放回，則其樣本平均數的平均數及變異數又為何？E(X) 3.5 V(X) -一n 了 3 2917 0.583N 1/n 53B.應用題9.18臺北市”110”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表:月份123456789101112件數69261

14、2691 644679636661807791846846958資料來源：臺北市警務統計年報，臺北市政府警察局，20012001年7 7月該年平均每月受理多少刑事案件？若隨機選取 2、3、5、7、8、9月的資料為一組樣本，則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差為多少？若隨機選取3、4、5、11月的資料為另一組樣本，則由此組樣本所 得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差又為多少？解臺北市”10”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表：月份-一一-二_三四五六七八九十十一十二件數692612691644679636661807791846846958（資料來源：臺北市警

15、務統計年報，臺北市政府警察局，20012001年7 7月）（692612846958）/128,863/12739該年平均每月受理739件刑事案件。X1（612 691 679 661 807 791）/64,241/6 709第一組樣本所得的每月受理案件數為709件抽樣誤差 冈|709 739 30（件）X7（691644679846）/42,860/4715第二組樣本所得的每月受理案件數為715件抽樣誤差|X2| |715 73924（件）9.19臺閩地區領有身心障礙者手冊之身心障礙者的平均月薪為25,881，標準差為19,150元。（資料來源：身心障礙者生活需求調查報告（就業服務與職業訓

16、練篇），內政部統計處、行政院衛生署、行政院勞工委員會，20012001年1 1月，標準差為分組資料估算值，。）現隨機選取144位領有身心障礙者手冊之人為樣本，請問：平均月薪的分配為何？平均月薪超過30,000元的機率為何？平均月薪不到25,000元的機率為何？解P(X 30,000) P(Z30,000 25,8811,596)P(Z 2.58)0.0049母體分配未知，但樣本數夠大(n 144 30)，所以根據中央極限定理，平均月薪的分配為常態分配，其平均數與標準差為：25,881I n 19,150/ . 1441,596平均月薪超過30,000元的機率僅0.0049。25,000 25,

17、881P(X 25,000) P(Z) P(Z 0.55)0.29121,596平均月薪不到25,000元的機率為0.2912。9.20受桃芝颱風影響，90年8月份菜價飆漲，臺北市第一、第二果菜批 發市場90年8月份青蔥的平均批發價為每公斤59.4元，標準差為9元。(資料來源：標準差為估算值，果菜運銷統計月報，臺北農產運銷股份 有限公司，20012001年8 8月。)為監督菜價，一民間消費者團體於8月份派員赴臺北市第一、第二果菜批發市場抽查菜價，其中青蔥部份共取樣 16件。假設青蔥每公斤的批發價為常態分配，問：樣本青蔥每公斤平均批發價的分配為何?樣本青蔥每公斤的平均批發價超過65元的機率為何？

18、樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為何?解令X表示樣本青蔥每公斤的平均批發價，因母體為常態分配，故樣本青蔥每公斤平均批發價的分配亦為常態，其平均數與標準差59.4/ n 9/ . 162.25P(X 65) P(Z 65 更4) P(Z 2.49)0.0064 樣本青蔥每2.25P(55 X 58)55 59.4P(22T Z5859.42.2516年的機公斤的平均批發價超過 65元的機率為0.0064P( 1.96 Z 0.62)0.2426樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為0.2426。9.21 89學年度臺北市國中老師的年資為一右偏分配，平均年資

19、約14.5年，標準差約 9年。(資料來源：平均數和標準差為分組資料估算值，臺北 市教育統計，臺北市政府教育局，20012001年6 6月。)隨機抽選40位國中老師為第一組樣本，其平均年資的分配為何?續題 ，平均年資超過16年的機率為何？ 再隨機抽選 40位國中老師為第二組樣本，兩組樣本互為獨立，則兩組樣本的平均年資皆超過 16年的機率為何?令X表示第一組樣本的平均年資，因樣本數夠大(n 40 30)，所以根據中央極限定理，平均年資的分配為常態 分配，其平均數與標準差為：14.5/、n 9/401.4即平均年資的分配為 X N(14.5, 1.4)。16 14.5P(X 16) P(Z) P(Z

20、 1.07)0.14231.4平均年資超過16年的機率為0.1423。因兩組樣本互為獨立，所以兩組樣本的平均年資皆超過 率為：(0.1423)20.0202。解樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大n/N 0.05，根據?N(0.4256,0.42560.5744160p的標準差計算可得：叵4256 0.574 ? 1600.039即其中會補繳的比例的分配為N （0.4256,0.0392 ）9.22內政部統計，民國 88年底台灣地區共有志願工作者45,029人，其中女性占絕大多數，有31,517人。（資料來源：內政統計分析專輯，內政部統計處，20012001年1 1月。）現隨機抽選60位志工

21、，發現其中有 40位是女 性。問全體志工中女性所占比例為何？樣本比例又是多少？抽樣誤差 有多大？解全體志工中女性所占比例為p 31517 0.7045,029樣本比例為p 0.6760抽樣誤差? p0.67 0.70 0.039.23依據健保局統計，民國89年全年，未依規定期限繳交健保費的案件計995,107筆，其中 42.56%有補繳。（資料來源：全民健康保險統計，中央健康保險局，20012001年6 6月。）隨機抽選160件案例，試問其中會補繳的比例的分配為何?續題，其比例超過50%的機率為何？續題，其比例介於40%45%的機率為何?中央極限定理知其趨近於常態分配:P(?0.5) P(Z0

22、.50.42560.039)P(Z 1.91)0.0281P(0.40 p 0.45)0.400.4256 Z0.0390.45 0.42560.039比例超過50%勺機率為0.0281?N(0.44,0.44 0.56)250p的標準差計算可得：?.0.44 0.56H 2500.03P( 0.66 Z 0.63) 0.4811 其比例介於40%45的機率為0.48119.24中華血液基金會資料顯示，民國89年全國捐血人口中，血液為 O型者約占44%。(資料來源：中華血液基金會網站。)一捐血站每天約有250位捐血者來捐血，問其中O型血所占比例的分配為何?O型血所占比例小於 35%的機率為多少

23、?若一日內捐 O型血的比例少於 35%就可能發生缺 O型血的危機, 問一年365天中會發生缺O型血危機的日子預期有幾天？樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大n/N 0.05，根據中央極限定理知其趨近於常態分配:捐血人中血液為O型者所占比例的分配為 N(0.44,0.032)要求O型血所占比例小於 35%的機率，須先求Z值再求標準常態 分配機率值：P(p 0.35) P(Z0.350.440.03P(Z3)0.0013X 55)P(時 ZP( 2.78 ZP(52捐血人中血液為O型者所占比例小於35%勺機率為0.0013 一年365天中會發生缺 0型血危機的日子預期有365 0.0013 0.

24、47天，不滿一天，故不必太擔心缺0型血的問題。9.25搭乘台鐵的乘客數逐年增加，但每人平均乘車公里數卻逐年下降。89年每人平均乘車公里數為55.2公里，較72年最高峰時的65.5公里減少10.3公里。（資料來源：台灣鐵路統計年報，台灣鐵路管理局，20002000年。）若每人平均乘車公里數的標準差為20公里，問：隨機抽選300位乘客為一組樣本，其平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為何？續題 ，平均乘車公里數超過 60公里的機率為何？令X表示樣本平均乘車公里數，因樣本數夠大（n 300 30），所以根據中央 極限定理，平均年資的分配為常態分配，其平均數與標準差為：55.2/_n 20/ 30

25、01.155555.2）1.150.17） 0.4298平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為0.4298。P(X 60) P(Z6055.21.15) P(Z 4.17) 0平均乘車公里數超過 60公里的機率趨近於0。9.26在學校實習儲金郵局開戶的戶數89年有694,977戶，平均每個帳戶的儲金餘額有 2,422元，標準差為 1,100元。（資料來源：標準差為虛擬，郵政統計要覽，交通部郵政總局，20012001年6 6月。）P(2,000 X 2,500) P(2,000 2,4221862,500 2,422186現隨機選取35位有在實習郵局開戶的學生為一組樣本，問:樣本儲金餘額總和的分配為何？樣本儲金餘額總和超過十萬元的機率為何?樣本儲金平均餘額的分配為何?樣本儲金平均餘額介於 2,000元和2,500元之間的機率為何?解令Xi表示每一個學生的儲金餘額35則TXi表35位學生的儲金餘額總和i 1因樣本數夠大(n 3530)，根據中央極限定理，儲金餘額總和的分配為常態分配，其平均數與標準差為：T n 35 2,42284,770T n 35 1,10