利用导数求参数的取值范围.docx

1、高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系f ( x)a 成立，只需使函数的最小值f(xaf ( x)a求解策略： 利用“要使min恒成立即可；要使成立，( )只需使函数的最大值fxa 恒成立即可” .max这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例 1 已知向量 a =( x2, x 1 )， a =( 1x , t )，若 f ( x)a ? b在区间 (-1,1) 上是增函数，求t 的取值范围 .解析： 由向量的数量积定义，f (x) = x2(1x )+( x 1) t =x3+ x2+ tx + t f ( x) =3x2 + 2x + t .若 f (

2、 x) 在区间 (-1,1) 上是增函数，则有f (x) 0t 3x2- 2x 在 (-1,1)上恒成立 .若令 g ( x) = 3x2 - 2x=-3( x1)2-133在区间 -1,1上， g( x)= g (1) =5，故在区间 (-1,1) 上使 t g ( x) 恒成立，max只需 t g (1)即可，即 t 5.即 t 的取值范围是 5，） .点评： 本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例 2 使不等式 x4- 2x2 2a 对任意的实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围 .解析： 注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令 f

3、 ( x) = x4- 2x2，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于 f ( x) 2 a .min又 f ( x) = 4x3- 4x=4x2( x1)，令 f ( x) =0，解得， x =0 或 x =1.f ( x) 的符号及 f ( x) 的单调性如下：x(- ,0)0(0,1)1(1,+ )f ( x)-0-0+f ( x)无极极小值值因为 f ( x) 在 R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即f ( x)= f (1) = -1，min f (x)= -1 2 a ，即 a 3.min点评： 本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例 3 若函数 f (

4、 x) = log(x3ax) ( a 0, a 1)在区间 (- 1 ,0)内单调递增，则a 的取值范围是（）a2A 1 ,1)B 3 .1)C( 9 ,+)D(1,9 )4444解析： f ( x) 是复合函数，须按0 a 1 两种情况考虑 .3ax ， f ( x) 在(- 1,0)上为增函数，令 g ( x) = x2 若 0 a 1，则 g ( x) 在 (-1 ,0)上为减函数，即2a 3 x2在 (- 1 ,0)上恒成立 , a 3 (1)2= 3 ,此时， 3 a 1；2244 若 a 1，则 g( x) 在 (-1 ,0)上为增函数，须使2a 0 在 (-1 ,0)上恒成立，

5、g ( x) = 3x22即 a 3 x2在 (- 1 ,0)上恒成立 , 即 a 0，不合题意 .综上， a 3 .1).24点评： 解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.例 4（ 04 辽宁）已知函数f ( x)ln( exa)(a0) .（ 1）求函数yf (x)的反函数yf1 ( )及 f()xx的导数 f (x);（ 2）假设对任意 xln( 3a), ln( 4a) ,不等式 | mf1 ( x) |ln( f ( x)0成立，求实数m 的取值范围 .解析： (1)解略 .f1( x) = ln(exa) ， f( x) =ex；得 ln(f ( x)

6、= x ln(exa) ；exa(2) 解此绝对值不等式得1( x) m f1( x) - ln( f( x)f( x) + ln( f把（ 1）代入上式，得ln( exxa) + x m ln(exxa) - xa) - ln( ea) + ln( e若把此不等式左右两边设为两个新函数，即xa)xa) +xxa) - x令 ( x) = ln( e- ln( ex ， g( x) = ln( ea) + ln( e则原不等式对于任意xln( 3a), ln( 4a) 恒成立，意即( x) m g ( x) 成立，只需满足( x) m g( x)即可 .maxminxexxexxxxxx( x

7、) = e1， g (x) =e1，注意到 0 ea e ea ，即 e10 ,g ( x) 0 , 故( x) 、 g (x) 均为增函数，在 ln( 3a), ln( 4a) 上，( x)12a= g(ln( 3a) = ln(8a= (ln( 4a) = ln(5) ， g ( x) ，maxmin3(ln( 4a) m g(ln( 3a)，即 ln(12a8a故原不等式成立，当且仅当) m 0 恒成立 ,求实数 m 的取值范围 .分析 :(1) f ( x)x35x 23x9(2). f ( x)3x 210x3(3x1)( x3)由f得x11当1时( x)0, f ( x)单调递增，

8、所以f (x)f ( 0) 9(x)0, x23 x(0,)f133基础训练：当时f( x)单调递减,所以f ( x) f (3) 0x ( ,3)0, f (x)3所以当时在内不恒成立，当且仅当m ( 0,3时f ( x)在内恒成立m 3 f ( x)0(0, m)0(0, m)所以 的取值范围为(0,3m4.若不等式 x44x32a对任意实数 x都成立 ，则实数 a的取值范围是 _ _.六知函数图象的交点情况，求参数的取值范围例 5.已知函数 f ( x)ax 3bx23x在 x1, x1处取得极值(1) 求函数 f ( x) 的解析式 .(2) 若过点 A(1, m)(m2) 可作曲线

9、y= f ( x) 的三条切线 ,求实数 m 的取值范围 .略解 (1)求得 f ( x)x 33x(2)设切点为 M (x0 , x033x0 ),因为 f (x) 3x 23所以切线方程为 ym(3x023)( x1), 又切线过点 M所以 x033x0m ( 3x023)( x01)即2x033x02m 30因为过点 A可作曲线的三条切线,所以关于 x0的方程有三个不同的实数根设33x2则 ( x0 ) 6x26x0g( x0 ) 2x00m 3 g0由得或1g(x0 ) 0 x00 x0所以g(x0 )在( ,0), (1,)上单调递增在上单调递减,故函数的极值点为x00, x0 1,

10、(0,1)g (x0 )所以关于 x0的方程有三个不同实根的充要 条件是g( 0)0m2g(1)解得 30所求的实数的取值范围是( 3,2)m总结 :从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数 .基础训练：5.设 a为实数 ,函数 f (x)x3x2x a(1)求 f ( x)的极值(2)当 a在什么范围内取值时,曲线 yf (x)与 x轴仅有一个交点七 . 开放型的问题，求参数的取值范围。例已知 f ( x)x 2c, 且 f f ( x) f ( x21) 。（ 1）设 g ( x) f f ( x) ，求 g( x) 的解析式。（ 2）设( x)g (x)f ( x) ，试问：是否存在R ，使( x) 在（, 1）上是单调递减函数，且在（ 1,0 ）上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。分析：（1）易求 c=1, g( x)x42 x22（2） ( x)g ( x)f (x) x 4(2 ) x 2(2) ， ( x)2x 2x2(2 )由题意(x) 在（,1 ）上是单调递减函数，且在（1,0 ）上是单调递增函数知，( 1) 0是极小值，由( 1)0得4当4 ， x(1,0)