立体几何中的探索性问题(2)

1、立体几何中的探索性问题、探索平行关系1. 2016枣强中学模拟如图所示，在正四棱柱 AiC中，E, F , G , H分别是棱CCi, C1D1, DiD，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则 M只需 满足条件 _,就有MN /平面B1BDDH注：请填上一个你认为正确的条件， 不必考虑全部可能的情况）Q F CLAB答案：M位于线段FH上（答案不唯一）解析连接HN ,FH ,FN，则FH / DD1,HN / BD , FH n HN = H , DD1Q BD = D,平面 FHN /平面 B1BDD1，故只要 M FH，贝V MN?平面 FHN，且 MN /平面

2、 B1BDD1.2如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.（1）求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；在棱C1D1上是否存在一点 F，使B1F /平面A1BE ?证明你的结论.解:（1）如图所示，取AA1的中点M，连接EM , BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以 EM /AD.（2分）又在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AD丄平面ABB1A1,所以EM丄平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面 ABB1A1上的射影，/ EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.（4分）设正方体的棱长为 2,则 EM = AD = 2, BE

3、 =22+ 22+ 12= 3.于是，在Rt组EM中，sin ZEBM = 豐=2, （5分） BE 32 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 3.（6分）在棱CiDi上存在点F，使BiF /平面AiBE.事实上，如图（b）所示，分别取 CiDi和CD的中点F, G,连接BiF, EG, BG, CDi, FG.因 AiDi /BiCi /BC,且 AiDi =BC,所以四边形 AiBCDi是平行四边形，因此 DiC /AiB.又E, G分别为DiD , CD的中点，所以 EG DiC，从而 EG/AiB.这说明Ai, B, G, E四点共面.所以 BG?平面AiBE.（8分）因四

4、边形CiCDDi与BiBCCi皆为正方形，F, G分别为CiDi和CD的中点，所以 FG CiC/BiB,且 FG = CiC = BiB,因此四边形BiBGF是平行四边形，所以 BiF BG ,（iO 分）而 BiF?平面 AiBE, BG?平面 AiBE,故 BiF /平面AiBE.（i2 分）3.如图，四棱锥 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，PD = DC = 4, AD = 2, E为PC的中点.（1）求三棱锥A-PDE的体积；（2）AC边上是否存在一点 M ,使得PA /平面EDM ?若存在，求出AM的长；若不存在,请说明理由.解析：（1）.PD 丄平面A

5、BCD ,PD 1AD.又-.ABCD是矩形，AD JCD.PD n CD = D ,AD丄平面PCD ,AD是三棱锥A-PDE的高.E为PC的中点，且PD = DC = 4, SZPDE = ；S/PDC = X 2 X 4X 4 = 4.又 AD = 2,1 1 8/A PDE = 3AD S/PDE = 3 X 2X 4= 3.取AC中点M，连接EM , DM , VE为PC的中点，M是AC的中点， EM /PA.又-.EM?平面 EDM , FA?平面 EDM ,PA/平面 EDM.AM = ；AC= 5.即在AC边上存在一点 M，使得PA /平面EDM , AM的长为 5.4如图所示

6、，在三棱锥 P - ABC中，点D , E分别为PB, BC的中点.在线段 AC上是否存 在点F，使得AD /平面PEF ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.FC设点E为AB的中点，在棱又点D , E分别为PB, BC的中点， G PBC的重心， A； = DG =.故在线段AC FC GC 2AF 1上存在点F，使得AD /平面PEF，且匚q = _.FC 25. 2016北京卷如图，在四棱锥 P - ABCD中，PC丄平面 ABCD , AB / DC , DC丄AC.(1) 求证：DC丄平面PAC.(2) 求证：平面 PAB丄平面FAC.PB上是否存在点F，使得PA /平面CEF

7、?说明理由.解：(1)证明：因为PC丄平面ABCD , 所以PC丄DC.又因为DC丄AC, 所以DC丄平面PAC.(2)证明：因为 AB/ DC , DC 丄AC, 所以AB丄AC.因为PC丄平面ABCD ,所以PC丄AB,所以AB丄平面PAC,所以平面 PAB丄平面PAC.棱PB上存在点F,使得PA/平面CEF.证明如下: 取PB的中点F，连接EF, CE , CF.解：假设在AC上存在点F，使得AD /平面PEF , 连接DC交PE于G,连接FG,如图所示. AD / FG.因为E为AB的中点，所以 EF / PA. 又因为FA?平面CEF ,所以FA /平面CEF.6.2016 四川卷如

8、图，在四棱锥 F -ABCD 中，PA丄 CD, AD / BC, Z ADC = Z FAB = 90, 1BC = CD= 2AD.（1）在平面FAD内找一点M，使得直线 CM /平面FAB,并说明理由；证明：平面FAB丄平面FBD.解：（1）取棱AD的中点M（M 平面FAD），点M即为所求的一个点理由如下:1因为 AD / BC, BC = 2AD，所以 BC/ AM，且 BC = AM ,所以四边形AMCB是平行四边形，从而 CM / AB.又AB?平面FAB , CM?平面FAB,所以CM /平面FAB.1因为AD / BC, BC = 2AD，所以直线 AB与CD相交，所以FA丄平

9、面ABCD ,从而FA丄BD.1因为 AD / BC, BC = 2AD ,所以 BC/ MD，且 BC= MD , 所以四边形BCDM是平行四边形，1所以BM = CD= 2AD，所以BD丄AB. 又AB n AF = A，所以BD丄平面FAB.又BD?平面FBD,（说明：取棱FD的中点N,点）（2）证明：由已知，FA丄AB,(2)在线段PA上存在点E,.PE = PF=PA = PD =所以平面 PAB丄平面PBD.7. 2016 阳泉模拟如图 7-41-10,在四棱锥 P-ABCD 中，BC / AD, BC = 1, AD = 3, AC丄 CD , 且平面 PCD丄平面 ABCD.求

10、证：AC丄PD.PE(2)在线段PA上是否存在点E,使BE /平面PCD?若存在，求出PA的值；若不存在， 请说明理由.解：证明：平面 PCD丄平面 ABCD，平面 PCD门平面 ABCD = CD , AC丄CD , AC?平 面 ABCD , AC丄平面 PCD ,/ PD?平面 PCD , AC丄 PD./ AD = 3, BC= 1 ,在厶PAD中，分别取 PA , PD靠近点P的三等分点 E , F，连接EF , BE , CF.1 1 ；, EF / AD，且 EF = ；AD = 1.又.BC / AD , BC / EF，且 BC= EF ,四边形BCFE是平行四边形， BE

11、/ CF，又.BE?平面 PCD , CF?平面 PCD , BE /平面 PCD.& (10分)2016河南中原名校联考如图所示，在四棱锥S -ABCD中，平面SAD丄平面ABCD , AB / DC,A SAD 是等边三角形，且 SD= 2, BD = 2 . 3, AB= 2CD = 4.(1)证明：平面 SBD丄平面SAD.若E是SC上的一点，当E点位于线段SC上什么位置时，SA/平面EBD ?请证明你 的结论.求四棱锥SABCD的体积.解：(1)证明：. SAD是等边三角形，AD = SD= 2,又 BD = 2 3, AB= 4, AD2+ BD2= AB2,： BD 丄 AD,又

12、平面 SAD丄平面 ABCD，平面 SADA平面 ABCD = AD. BD丄平面SAD.又BD?平面SBD,.平面 SBD丄平面 SAD.当E为SC的三等分点，即 ES= 2CE时，结论成立. 证明如下：连接 AC交BD于点H，连接EH.1CD / AB , CD = 2AB,.CH _ 1HA = 2CEES， HE / SA SA/平面 EBD.过S作SO丄AD，交AD于点O. SAD为等边三角形， O为AD的中点， SO= 3易证得SO丄平面 ABCD ,1 V 四棱锥 S -ABCD = 3S 梯形 ABCD SO.3S 梯形 ABCD = 2 X (2 + 4) X 3= 3 3,

13、 V 四棱锥 S - ABCD = 3.、探索垂直关系1.如图所示，在三棱锥 P -ABC中，已知PA丄底面ABC , AB丄BC, E, F分别是线段PB, PC上的动点，则下列说法错误的是（）PA .当AE丄PB时， AEF 一定为直角三角形B .当AF丄PC时， AEF 一定为直角三角形C.当EF /平面ABC时， AEF 一定为直角三角形D .当PC丄平面AEF时， AEF 一定为直角三角形答案：B 解析已知PA丄底面 ABC，贝U PA丄BC,又AB丄BC, PAA AB= A, 贝U BC丄平面 PAB, BC丄AE.当AE丄PB时，又 PBA BC= B，贝U AE丄平面 PBC

14、，贝U AE丄EF, A正确.当EF /平面 ABC时，又EF?平面PBC，平面 PBC A平面 ABC = BC,贝U EF / BC, 故 EF丄平面PAB,贝U AE丄EF，故C正确.当PC丄平面 AEF时，PC丄AE，又BC丄AE, PC A BC = C,则AE丄平面 PBC,则AE丄EF, 故D正确.用排除法可知选 B.2.如图所示，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，侧棱 A丄底面ABC，底面是以/ ABC为直角的等腰直角三角形，AC= 2a,BBi= 3a, D是AiCi的中点，点F在线段AAi上，当AF = _时，CF丄平面BiDF.A答案：a或2a 解析由题意易知，BiD丄平

15、面ACCiAi，所以BiD丄CF.要使CF丄平 面BiDF，只需CF丄DF即可.当CF丄DF时，设AF = x，贝U AiF = 3a x.由 Rt CAFs Rt FAiD 得=圧，即一 =勺 整理得 x2 3ax+ 2a2 = 0,解得 xAiF AiD3a x a=a 或 x= 2a.3.如图所示，PA丄圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别 是点A在PB , PC上的正投影，给出下列结论： AF丄PB;EF丄PB :AF丄BC;AE丄平面PBC.其中正确结论的序号是 _.答案： 解析由题意知PA丄平面ABC,： PA丄BC.又AC丄BC, PA n AC =

16、A, BC 丄平面 FAC, BC丄 AF. / AF丄 PC,BC n PC= C, AF 丄平面 PBC, AF 丄 PB,AF丄 BC. 又AE丄PB , AE n AF = A, PB丄平面 AEF , PB丄EF.故正确.4如图所示，已知长方体 ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD为正方形，E为线段ADi的中点，F 为线段BDi的中点.(1) 求证：EF /平面 ABCD ;(2) 设M为线段CiC的中点，当DD的比值为多少时，DF丄平面DiMB ?并说明理由.解析：证明：TE为线段ADi的中点，F为线段BDi的中点， EF /AB.EF?平面 ABCD , AB?平面 ABCD

17、 ,EF /平面ABCD.D1D厂,十十(2)当AD = 2时，DF丄平面DiMB.ABCD是正方形，AC JBD.DiD丄平面ABC ,DiD _LAC.AC丄平面BBiDiD ,AC JDF.F , M分别是BDi, CCi的中点，FM AC.DF JFM.DiD = /2AD,DiD = BD.矩形DiDBBi为正方形.F为BDi的中点，DF JBDi.FM A BDi = F ,DF丄平面DiMB.5如图(i)，在Rt ABC中，/ C = 90 D, E分别为 AC, AB的中点，点F为线段CD上的 一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使AiF丄CD，如图 .(i)(i)求

18、证：DE /平面 AiCB.求证：AiF丄BE.线段AiB上是否存在点 Q,使AiC丄平面DEQ ?说明理由.解:-D, E分别为AC, AB的中点，DE /BC.（2 分）又.DE?平面 AiCB ,DE /平面AiCB.（4 分）由已知得 AC JBC且DE /BC，/DE 1AC.DE lAiD , DE JCD.DE丄平面AiDC.而AiF?平面AiDC , （6分）DE !AiF.又AiF_LCD , CD A DE = D,AiF丄平面BCDE，又BE?平面BCDE ,AiF JBE.（9 分）线段AiB上存在点Q,使AiC丄平面DEQ.理由如下:4如图，分别取 AiC, AiB的

19、中点P, Q,贝U PQ伯C.又TDE BC,.DE /PQ.平面DEQ即为平面 DEP.由知，DE丄平面AiDC ,DE !AiC.又TP是等腰三角形 DAiC底边AiC的中点,AiClDP.又 DP n DE = D ,AiC丄平面 DEP .（12 分）从而AiC丄平面DEQ.故线段AiB上存在点 Q,使得AiC丄平面DEQ.(14分) 6.如图，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是CD、AQi的中点.(1) 求证：ABi 丄 BF ；(2) 求证：AE丄BF;(3) 棱CCi上是否存在点P,使BF丄平面AEP ?若存在，确定点 P的位置，若不存在, 说明理由.解析：证明：连接AiB，则ABi丄iB,又-.ABilAiF，且 AiBn AiF = Ai,ABi丄平面AiBF.又 BF?平面 AiBF , /ABilBF.Ai F D,证明：取 AD中点G,连接FG, BG,贝U FG丄AE,又-/BAG也zADE ,AE JBG.又.BG A FG = G，/AE 丄平面 BFG.又 BF?平面 BFG ,.AE JBF .存在.取CCi中点P,即为所求.连接 EP , AP, CiD ,EP /CiD ,