曲线拟合算法的研究讲解

1、第三章 曲线拟合算法的研究3.1引言 随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为 形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自 动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线 的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。3.2圆锥曲线拟合算法的研究 在经济型数控系统中， 对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到 的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应 运而生26。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆 弧逼近，然

2、后才能进行数控加工 28 。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆 锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是： 圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到 C1 连续，基本上能满足要求；所有 数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要 求光顺9-10 。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求 光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。本章提出的对圆锥曲线的插补， 是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础

3、上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利 用数控系统的圆弧插补功能进行插补。3.2.1 圆锥曲线的一般理论 9在平面直角坐标系中， 二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。 其中系数 A、B 、 C、D、E、F 为实常数，且 A、 B 、C不同时为零。Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 （3.1） 式（ 3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令2B2 4AC（3.2）称上式为二元二次方程（ 3.1）的判别式。0 时，（ 3.1）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆） ；0 时，（ 3.1）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线） ；0 时，（ 3.1）式

4、为双曲型曲线（包括两相交直线） 。 在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标 变换（即坐标轴的平移和旋转） ，可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲 线的形状和位置。一、坐标轴的平移 只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做 坐标轴的平移，简称平移或移轴 。将旧坐标系 oxy 平移到 oxy ,那么平面上任一点 M 在旧坐标系与新坐标系的坐标（x, y）和（ x, y ）具有关系：x x x00（ 3.3）y y y0其中 （x0,y0） 是新坐标系中的原点 o 在旧坐标系里的坐标。公式（ 3.3）叫做平移变换公 式。二、

5、坐标轴的旋转 坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角 度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。把旧坐标系 oxy 绕原点 o旋转同一个角度 到oxy ，那么平面上的任一点 M 在旧坐 标系与新坐标系下的坐标 （x, y ）和（ x , y ）之间具有关系：x x cos y sin（3.4） y x sin y cos公式（ 3.4）叫做旋转变换公式。 适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准 方程。1中心二次曲线方程可以简化成下面 5 种标准方程之一：22a）x2 y2 1（椭圆）；a2 b222b）x2 y2 1（虚

6、椭圆）；a2 b222c）x2 y2 0（点椭圆或称变态椭圆） ；a2 b222d）x2 y2 1（双曲线）；a2 b222e）x2 y2 0（两相交直线，或称变态双曲线） 。a2 b22无心二次曲线的标准方程为：y2 2px （抛物线） 3线心二次曲线方程可化简成下面 3 种标准方程之一：a） y2 a2 （两平行直线）；b） y2 a2 （两平行共轭虚直线） ；c） y2 0（两重合直线）。由实际的工程应用可知，在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物线和直线具有工程价值。数控机床具有直线和圆弧的插补功能，所以在本章中只考虑椭圆、双曲线和抛 物线的拟合算法。实现椭圆、双曲线、抛物线的拟合算法主

7、要步骤为：1）参数输入遵照数控 NC 程序编程规范，以最少输入参数唯一定义曲线为准则，设计了曲线的输入参数，见表 1。表 1 1 平面圆锥曲线输入参数列表曲线类型参数说明抛物线顺逆方向、起点、终点、焦点坐标椭圆顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于 X 轴的 转角双曲线顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于 X 轴的 转角2）曲线标准化 利用坐标系平移、旋转变换，将曲线变换到可以利用最简方程表示的坐标系下，并 求解方程，详见附录 1。为了便于计算，最后确定采用下列形式作为各曲线的标准方程 式。抛物线： y ax2 b椭圆：x acos y bsin双曲线：x asecy btg3）求取

8、曲线的极值点、拐点，对曲线进行分割，建立有序的型值点序列。型值点 的排序规则为：抛物线：以 xi xA 为标准，按递增顺序排列；椭圆：以 i A 为标准，按递增顺序排列； 双曲线：以 i A 为标准，按递增顺序排列； 注： xA为起点横坐标， xi为第 i 个点横坐标； A为起点极角， i第 i 个极角。4）取Pi， Pi 1两个型值点，进行双圆弧曲线拟合。5）如果拟合结果的法向误差满足规定误差，则转 6）,否则，则转 7）。6）将拟合结果送入输出链表中，如果曲线全部拟合完成，则结束，否则转4）。7）在 Pi ， Pi 1之间按照 0.618,0.382的比率插入新的型值点，再转 4）。 上述

9、，为曲线拟合的主要步骤，下面详细的介绍一下双圆弧拟合算法。3.2.2 曲线的常用双圆弧拟合算法 17-25 按平面曲线给定一列有序型值点（节点） ，每相邻节点之间由两条相切圆弧构成， 两圆弧分别通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线 的双圆弧拟合。双圆弧拟合有六个参数需要确定：两节点 Pi ，Pi 1；两节点 Pi， Pi 1处的 切线斜率；双圆弧的切点 T ；双圆弧切点处的公切线斜率。前四个参数可由曲线的参数 方程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法而不同，但不难证 明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧轨迹 弧（

10、过相邻两节点的弧，且在两节点处切线夹角等于曲线在两节点处切线夹角） 。为确保双圆弧的正确拟合，要求：1）两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点 Pi ， Pi 1处切线 PiM,Pi 1M 需有实交 点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，称为实交点，反之为虚交 点）；2）拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线 PiPi 1与两切线 PiM,Pi 1M 构成的三 角形中 （见图 8，图 9，图 10）。O1图 1010 平均转角法拟合双圆弧3.2.3公切线确定方法1.常用的公切线确定方法有以下三种：1）垂直平分线法：相邻两节点连线的垂直平分线与轨迹弧的交点作为两拟合圆弧 的切点（

11、图 8）；2）平行弦法：两圆弧的公切线平行于相邻两节点连线 Pi Pi 1，两圆弧的公切点 T 显 然是 Pi MPi 1的内心（图 9）；3）平均转角法： 两圆弧的公切线平行于曲线在相邻两节点处切线交角的平分线 （图10）；2.三种方法的特点比较如下：1） 保凸条件：a）垂直平分线法： 13 3 ；MP1O1图 8 8 垂直平分线法拟合双圆弧P2原曲线T/2/2原曲线TP1左圆半径：R1 Lsin( ) /( 2sin sin )2 2 2(3.5)圆心坐标：xAR1 sin ， yA R1 cos(3.6)右圆半径：R2Lsin() /(2 sin sin ) ，2 2 2(3.7)圆心坐

12、标：xBL R2 sin ， yB R2 cos(3.8)(3.9)(3.10)b)平行弦法：0 ；c)平均转角法： 13 3 。2) 两圆半径比(在保凸条件下) ：33a)垂直平分线法： R1 R2 sin 3/sin344b)平行弦法： R1 R2 sin( 2) / sin( 2) 2 ；c)平均转角法： R1 R2 sin 3 /sin 3 。443.2.4双圆弧拟合算法 8图 11，设节点 A 和 B 为在第 i 1个区间 Pi,Pi 1 上的相邻节点，经坐标变换后 AB 为横轴，A为原点，垂直于 AB 为纵轴。有向直线 gA和gB为拟合曲线 j 在A和B上的 有向切线。设 C 是直

13、线 gA和 gB的交点， 和 分别是 gA和 g B与横轴的夹角，逆时 针方向为正 ; ,，T 为 ABC 的内心。公切点 M 的坐标： xM Lsin( )cos( )/sin2 2 2yMLsin( )sin( )/sin2 2 2其中 ； 是左圆弧的圆心角， 是右圆弧的圆心角； 逆时针方向为正； 正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角，L是AB 的长度。3.2.5 误差分析方法利用法向误差判断方法，步骤如下：(1) 计算二次曲线在节点 Pi， Pi 1间 n 等分的各分点坐标。1)对于抛物线 y ax2 b，在节点 Pi， Pi1间将横轴值 x 等分为 n 份： xi xi0 xi1xin

14、1 xin xi 1 ，计算出抛物线上各对应分点坐标：Pir(xir,y(xir )r=1,2, ,n-1。x acos x asec2)对于椭圆 x acos 、双曲线 x asec ，在节点 Pi ， Pi 1间将参数 等分为 n y bsin y btg份： i i0 i1in 1 ini 1 ，计算出椭圆或 双曲线上各对应分点 坐标：01n 1nPir(x( ir),y( ir )r=1,2,n-1(2) 判断分点 Pi 所对应的圆弧，过两圆心 o1(x1,y1),o2(x2,y2)的直线(必过公切点)方 程：F(x,y) Ax By C 0 (3.11) 其中： A y2 y1 ；

15、B x1 x2 ； C x2y1 x1y2 。将节点 Pi (xi , yi )坐标代入式 (3.11)左边，将有F(xi,yi) 0(或 F(xi,yi) 0)(3.12)将二次曲线上分点 Pir 坐标 xir,yir代入式(3.11)左边计算值，如果 F(xir,yir) 0，则Pir 点 对应第一段圆弧，否则对应第二段圆弧。3)计算法向误差对应第一段圆弧的误差公式是：ir(xir x1) (yir y1) R1 ,r 1,2, ,m(m n 1) (3.13)其中 m 是对应第一段圆弧的最后一个分点号。对应第二段圆弧的误差公式是：ir(xir x2) (yir y2 ) R2 ,r m

16、1,m 2, ,n 1 (3.14)(4)判断最大误差设 i max( ir (1), ir (2),i 1,2, ,n 1.如果 i ( 为指定的最大的允许误差) ，则双圆弧拟合结果为所求。 如果 i ， 则对节点 Pi,Pi 1间用 0.618法缩小区间，重新进行双圆弧拟合，直到满足误差要求。3.2.6 双圆弧的最佳逼近算法 如何利用双圆弧样条对平面二次曲线进行逼近呢？简单的办法就是先将曲线插值 出型值点，再对型值点进行拟合 27-29 ，这样做的缺点是：增加了插值误差；型值点过密 会增加圆弧的段数。为了很好地解决这个问题，在本章中另外提出的一种方法是先将平 面二次曲线进行合适的分割，再用

17、双圆弧拟合，计算逼近误差，如果超过允许误差，再 对曲线进行分割、拟合，直至满足要求。这样能够得到在逼近误差允许范围内圆弧段数 最少的圆弧样条。曲线的分割是指在曲线的拐点和奇点处将曲线分成几段，每一段分别处理。另外， 为了算法的简捷， 要求分割后的曲线两端点的切线角小于 90o。如图 12所示曲线 为分 割后的平面二次曲线，在两端点 P1 、 P2之间无奇点、无拐点。要求过两点 P1、 P2分别作圆弧 C1、C2，已知 P1、P2 两点坐标，曲线最佳逼近算法为O2：图 1212 分割后的平面二次曲线x0 x1 x2y2 y1ctg 2R 12 (x2 x1)2 (y2 y1) 2csc2(1)计

18、算 P1 、 P2两点的切线 T1、T2 在直角坐标系下，任意二次曲线的方程为： 22F(x,y) a11x 2a12 xy a22 y 2a13x 2a23y a33 0过二次曲线上点 P1(x1,y1) 的切线方程为：a11x1x a12 (x1y xy1) a22 y1y a13 (x x1) a23(y y1) a33 0 同理可以得出过 P2 的切线方程。( 2)确定公切点 P 公切点的选择直接影响到双圆弧逼近曲线的光顺性和逼近效果， 可以证明双圆弧公 切点轨迹是一圆弧，考虑到双圆弧样条与平面二次曲线要取得最好的逼近效果，将公切 点取作公切点圆弧与平面二次曲线的交点， 这样双圆弧与被

19、逼近的二次曲线段有 5 个交 点(端点相切算两个交点) ，因而基本上是最佳的双圆弧逼近。如图 13所示，过 P1 、 P2作切线T1 、 T2交点为 S，夹角为 。作等腰三角形 P1S1P2， 使 P1S1P2P1SP2 ，则公切点圆弧必然与直线 P1S1、 P2S1 相切。可以证明公切点 P的轨迹为过 P1 、 P2的圆弧C0 25，其圆心及半径分别为：y0y1y2x2x1 ctg0 2 2 2图 1313 确定公切点其中：ctg21 y1y2 (1 y12 )(1 y22 )y2 y1，当y1 1y2 1时成立。求公切点转化为求公切点圆弧轨迹 C0与二次曲线 的交点，设交点坐标为 (x,y

20、)， 则有：2 2 2(x x0 ) (y y0 ) R22a11x 2 a12 xy a22y 2a13x 2a23 y a33 0解此二元二次方程组，即可求出交点 P坐标 (x,y)下面证明公切点圆弧轨迹 C0与二次曲线在P1、P2之间只有一个交点。 从图13可 以看出 1 2 1 2 ，因此存在三种情况：a) 1 1, 2 2 ，则 P2 S1与曲线有一个交点，而 P1S1 与曲线无交点；b) 1 1, 22，则 P1S1与曲线 有交点，而 P2 S1与曲线无交点；c) 1 1, 2 2 。 由于对曲线进行了分割，分割后的曲线段与圆弧应是同向凸的，假设为上凸，如图 13所示，属情况 b)

21、，在 P1附近C0位于曲线的下方，在 P2附近 C0位于曲线的上方， 因此 C0 与曲线 必有唯一的交点。情况 a)同理可证。情况 c)是一种特殊情况， C0 即为 所求的双圆弧。(3) 求双圆弧 C1 、 C2已知两端点 P1、P2 及其斜率，另外又已知两圆弧的公共切点， 很容易找到两圆弧的 圆心及半径 -(x1,y1) 、R1、(x2,y2)、 R2。(4) 误差估计 逼近的双圆弧与原曲线的误差计算， 是算法的重要组成部分。 按曲线 C 的法线误差 计算，可以得出双圆弧 C1 、 C2与原曲线 的误差 1、 2：1 | (yy1)2(xx1)2R1 |点(x, y)在P1和P之间2 | (

22、yy2)2(xx2)2R2|点(x,y)在P 和P2之间如何找到 1 、 2 的最大值呢？直接求导很复杂， 本章中提出一种区域逼近的方法求 最大值。首先将区域十等分，求每点的误差及其最大值m ax ，由于曲线是单峰的，所以真正的误差 max 一定在 m ax附近，将区域缩小至 max 的邻近区域，重复以上过程，直至10 两次所得 max m ax 的很接近，已经逼近最大值 max 。如果 1max、 2 max超过允许误差，则在 P点处将原曲线 进行分割，对超差段重新 进行双圆弧逼近，直至满足要求。3.2.7 圆锥曲线拟合算法处理流程 根据实际开发的要求，分别对三种曲线应用上述的原理进行了双圆

23、弧拟合处理，其 实现方案图 14 所示。图 1414 圆锥曲线拟合算法流程图3.2.8 应用实例例如对于椭圆曲线的加工，由用户输入：G91 G02.2 X30 Y20 I0 J20 A0；11该 G 代码表示的含义是顺时针加工椭圆，以椭圆的起点坐标作为椭圆加工的相对 坐标系的原心，椭圆中心相对于起点的矢量坐标为（ 0， 20），椭圆加工的终点相对于起 点的坐标为（ 30，20），椭圆加工的长轴与横轴的角度为 0。通过椭圆的双圆弧拟合，拟拟合后的数据为：%ellipse.GN0 M54 M50 M20N5 G91 F100.000N10 S50 M3N15 G02 X-6.204 Y0.430

24、I0.000 J44.990N20 G02 X-5.803 Y1.242 I5.649 J40.575N25 G02 X-1.407 Y0.439 I10.812 J37.135N30 G02 X-1.354 Y0.481 I11.607 J34.857N35 G02 X-1.664 Y0.676 I12.553 J33.294N40 G02 X-1.565 Y0.731 I13.144 J30.155N45 G02 X-1.897 Y1.031 I14.011 J28.028N50 G02 X-1.715 Y1.097 I14.150 J24.014N55 G02 X-1.627 Y1.22

25、3 I14.895 J21.516N60 G02 X-1.427 Y1.264 I14.494 J17.803N65 G02 X-0.340 Y0.334 I15.274 J15.866N70 G02 X-0.327 Y0.336 I15.099 J15.020N75 G02 X-1.228 Y1.414 I14.783 J14.072N80 G02 X-1.020 Y1.428 I14.061 J11.116N85 G02 X-0.233 Y0.373 I14.520 J9.327N90 G02 X-0.220 Y0.373 I14.320 J8.693N95 G02 X-0.261 Y0.

26、474 I14.305 J8.185N100 G02 X-0.241 Y0.474 I14.071 J7.449N105 G02 X-1.107 Y3.096 I13.447 J6.554N110 G02 X-0.361 Y3.084 I12.982 J3.084N115 G02 X0.611 Y3.995 I13.362 J-0.000N120 G02 X1.897 Y4.010 I15.366 J-4.814N125 G02 X0.647 Y0.923 I14.955 J-9.797N130 G02 X0.732 Y0.918 I15.533 J-11.638N135 G02 X0.989

27、 Y1.085 I15.523 J-13.169N140 G02 X1.122 Y1.068 I16.175 J-15.863N145 G02 X1.498 Y1.227 I15.984 J-17.978N150 G02 X1.694 Y1.180 I16.474 J-21.842N155 G02 X1.777 Y1.054 I15.714 J-24.476N160 G02 X1.952 Y0.982 I15.598 J-28.573N165 G02 X0.498 Y0.225 I14.094 J-30.526N170 G02 X0.508 Y0.220 I13.937 J-31.523N17

28、5 G02 X2.589 Y0.979 I13.919 J-32.900N180 G02 X2.793 Y0.821 I12.531 J-37.469N185 G02 X0.706 Y0.173 I9.988 J-39.273N190 G02 X0.716 Y0.162 I9.456 J-40.190N195 G02 X4.546 Y0.730 I9.019 J-41.637N200 G02 X4.725 Y0.249 I4.725 J-44.748N205 G02 X6.204 Y-0.430 I0.000 J-44.990N210 G02 X5.803 Y-1.242 I-5.649 J-

29、40.57512合后的曲线如图 15 所示N215G02 X1.407 Y-0.439 I-10.812 J-37.135N220G02 X1.354 Y-0.481 I-11.607 J-34.857N225G02 X1.664 Y-0.676 I-12.553 J-33.294N230G02 X1.565 Y-0.731 I-13.144 J-30.155N235G02 X1.897 Y-1.031 I-14.011 J-28.028N240G02 X1.715 Y-1.097 I-14.150 J-24.014N245G02 X1.627 Y-1.223 I-14.895 J-21.51

30、6Y图 1515 椭圆的双圆弧拟合后曲线N250G02 X1.427 Y-1.264 I-14.494 J-17.803N255G02 X0.340 Y-0.334 I-15.274 J-15.866N260G02 X0.327 Y-0.336 I-15.099 J-15.020N265G02 X1.228 Y-1.414 I-14.783 J-14.072N270G02 X1.020 Y-1.428 I-14.061 J-11.116N275 G02 X0.233 Y-0.373 I-14.520 J-9.327N280 G02 X0.220 Y-0.373 I-14.320 J-8.693

31、N285 G02 X0.261 Y-0.474 I-14.305 J-8.185N290 G02 X0.241 Y-0.474 I-14.071 J-7.449N295 G02 X1.107 Y-3.096 I-13.447 J-6.554N300 G02 X0.361 Y-3.084 I-12.982 J-3.084N305 S0 M3N310 M51 M21N315 M30133.3 列表点曲线拟合算法的研究除了圆锥曲线以外， 列表点曲线也是形状数学描述的标准形式。 其中，最常 用的列表点描述方法有：1. 贝齐尔( Bezier)曲线；2. B 样条曲线； 通过对这两种方法的比较，找出适合

32、列表曲线拟合的方法。3.3.1贝齐尔曲线 11给定一组有序的数据点 Pi(i 0,1, ,n) ，这些点可以是从某个形状上测量得 到，也可以是设计员给出。 要求构造一条曲线顺序通过这些数据点， 称为对这些 数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 这些数据点若原来位于某曲线上， 则称该曲线为被插曲线。 在某种情况下， 测量所得或者设计员给出的数据点本身 就很粗糙， 要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。 更合 理的提法应是， 构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点， 称之为 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。插值和逼近统称为拟合。贝齐尔( Bezie

33、r)曲线以数据点 bj 表示，其伯恩斯坦( Bernstein)基表示式 为：np(t)bjBj,n(t) ， 0 t 1j1(3.15)其中，基函数 Bj,n(t) Cnttj(1 t)n j, j 0,1, , n ，称为伯恩斯坦基函数。用控制顶点 bj 定义的伯恩斯坦 (Bernstein)基表示的贝齐尔曲线是一种独特 的参数样条曲线，它不仅具有优良的控制性质，而且几何直观，又惊人的简单， 使它特别适合于交互地设计形状， 但它不具有局部修改性质且不能解决在描述复 杂形状时带来的连接问题。14Ni,0(u)1,若 ui u ui 10,其它Ni,k (u)3.3.2B样条曲线 11B 样条

34、理论早在 1946 年由舍恩伯格( Schoenberg)提出，但论文直到 1967 年才发表。 1972年，德布尔( de Boor)与考克斯 (Cox)分别独立地给出 B 样条计 算的标准算法。但作为 CAGD 中的一个形状数学描述的基本方法，是由戈登 (Gordon)与里森费尔德(Rriesenfeld,1974)在研究贝齐尔方法的基础上引入的。B 样条方法是在保留贝齐尔方法的优点， 同时克服其由于整体表示带来的不 具有局部性质的缺点， 及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的， 具 有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能， 是最广泛流行的形状数学描述的主流 方法之一。并且，B 样条方法目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理 B 样条方法的基础。B 样条曲线方程可定为：np(u)diNi,k(u), 0 u 1i0(3.16)其中， di(i 0,1, ,n)为控制顶点。顺序连成折线称为 B 样条控制多边形。Ni,k(u)(i 0,1, ,n)称为k次 B样条基函数，其形式如下：u uii Ni,k (u) ui k uiui k 1 ui k 1Ni 1,k 1(u)ui k 1 ui 1规定 00(3.17)其中， Ni,k (u)中， k表示