函数序列收敛编程

1、摘 要函数序列的一致收敛性理论是数学分析的一个重要内容。在众多数学分析讲义中给出了函数序列一致收敛的一些判别方法，但是这些方法仍不够全面，并不能解决大多数函数序列的一致收敛问题。因此，文章简要地阐述了函数序列一致收敛的研究背景以及研究意义，归纳总结了比较实用的六种函数序列一致收敛的判别方法，并对它们的应用做了相应的说明与举例，以便于读者更好的理解这些判别方法，为今后处理函数序列一致收敛的判别提供便利。同时文章提出 MATLAB 在函数序列一致收敛判别上的应用，给出解题的程序代码步骤，并通过几个例子说明，实现了信息技术在数学分析中的有效融合，并得到实验的验证。这对于研究函数序列一致收敛及其收敛区

2、间具有较大的作用。关键词：函数序列；一致收敛；MATLAB 编程AbstractThe theory of uniform convergence of function sequence is an important content of mathematical analysis. In many lecture notes of mathematical analysis, some methods to judge the uniform convergence of function sequences are given, but these methods are still

3、not comprehensive enough to solve the problem of uniform convergence of most function sequences. Consequently, the research background and significance of uniform convergence of function sequences are briefly described in this paper, summarizes six practical methods for judging the uniform convergen

4、ce of function sequences, and gives corresponding explanations and examples for their applications, so as to facilitate the readers to better understand these methods and provide convenience for dealing with the uniform convergence of function sequences in the future. At the same time, the paper put

5、s forward the application of MATLAB in the judgment of uniform convergence of function sequence, gives the procedure code steps of solving problems, and through several examples, realizes the effective integration of information technology in mathematical analysis, and is verified by experiments. It

6、 is important to study the uniform convergence and the convergence interval of function sequences.Key words： Function sequences; Uniform convergence; MATLAB programme and picture.2目 录1 1 引引 言言 .1 12 2 函数序列一致收敛的相关概念函数序列一致收敛的相关概念 .2 22.1 函数序列的定义.22.2 函数序列收敛的定义.22.3 函数序列一致收敛的定义.23 3 函数序列一致收敛的判别函数序列一致收敛

7、的判别 .3 33.1 柯西准则.33.2 余项准则.43.3 狄尼(Dini)定理.53.4 海涅定理推广的一致收敛判别.63.5 利普希兹（lipschitz）条件的一致收敛判别.73.6 逐项连续序列的一致收敛判别.84 4 MATLABMATLAB 在函数序列一致收敛上的应用在函数序列一致收敛上的应用.9 94.1 MATLAB 在函数序列一致收敛上的应用举例.94.2 MATLAB 在函数序列一致收敛上的编程步骤.104.3 MATLAB 在函数序列一致收敛上的几个例子.115 5 总总 结结 .1313参参 考考 文文 献献 .1515致致 谢谢 .1 16 61函数序列一致收敛的

8、判别及MATLAB 在其上的应用1 引 言古往今来，众多数学家都在函数序列一致收敛方法的研究方面做出了巨大贡献，这些性质早在百多年前就已经研究清楚了。函数序列一致收敛是在其收敛的基础上增加条件而得到的。在高斯（Gauss，1777-1855）等人对无穷级数研究的基础之上，法国数学家柯西(Cauchy,1789-1857)是第一位认识到无穷级数论并不是多项式理论的平凡推广，他认为这个理论应该要以极限为基础，最后他建立了完整的级数理论。他所给出的“柯西准则定理”作为判定函数序列一致收敛的重要定理之一，对研究者提供了很大的开辟路径。意大利数学家乌利塞迪尼（Ulisse Dini,18451918）提

9、出的“狄尼定理”是从紧致拓扑空间下研究的函数序列一致收敛的特殊结论，对后辈研究函数序列的一致收敛性提供了分析基础。现代也有许许多多的数学研究者对函数序列一致收敛探索出新的判别方法，他们在前人的研究基础上寻找不同方向的条件判别函数序列的一致收敛性。数学的发现和探索是永无止境的。众所周知，一致收敛理论是数学分析课程中的重难点之一，许多数学分析的教材把函数序列的理论作为函数项级数的准备展开。但实际上，函数序列的理论具有独立意义，它和函数项级数的理论同等重要且相辅相成。为了更直观地判定函数序列是否一致收敛，文章在归纳传统判别方法的基础之上引入 MATLAB 这一数学软件。用 MATLAB 软件编程的图

10、像可以很清楚地观察出函数序列是否一致收敛，若其是一致收敛的，还可以得知在第几项开始进入一致收敛的区域。通过代码编程也减小了传统的判定方法因计算带来的失误或函数较复杂带来的化简步骤。文章在前人研究的基础上，从函数序列收敛的相关概念、判定定理、应用举例等方面，详细论述且归纳函数序列一致收敛的判别方法， 第一次将函数序列一致收敛的判别与 MATLAB 软件结合研究，并得到预期的结果，利用 MATLAB 的编程代码语言成功地将 MATLAB 数学软件与函数序列一致收敛性结合起来，实现了信息技术在数学分析中的有效融合，并得到实验验证，让数学研究在计算机领域2上向前迈了一步，这对今后的数学与信息技术的融合

11、有一定的帮助。2 函数序列一致收敛的相关概念2.1 函数序列的定义若有一个无穷序列它的每一项都是函数，且它们有公共的123,nffff定义域，则称这个序列为定义在同一数集上的函数序列，记为或E 1nnf，序列中的每一个函数都叫做一个项。,1,2.nf n 2.2 函数序列收敛的定义以代入可得到实数序列如果0 xE123,nffff10200(),(),(),.nf xfxfx此函数序列收敛，则称在点处收敛。当函数序列123,nffff0 x在数集上每一点都收敛时，就称其在数集上收敛。它123,nffffDED的分析语言表达如下：对有000,= (),xDN N xN，,nN 00()().nf

12、xf x研究发现，在对函数序列取逐点极限的过程中，函数的连续性、可微性和可积性都不能保证，也不能通过应用逐项求导或逐项求积分再取极限的方法来求极限的导数和微分。对于函数序列，讨论它在哪些点上的收敛性是远远不够的，因此，需要通过增加一些条件，即对数集上的收敛性提出更高的要求，研究函数D序列与极限函数所具有的解析性质才能达到上述目的。2.3 函数序列一致收敛的定义设D是一个非空实数集， 1nnf是一个函数序列，它的每一项nf都在D上有定义，又设f是定义在D上的一个函数，如果对任意给定的0，存在相应的正整数N（仅与有关） ，使得当nN时，对任意xD都有，则( )( )nfxf x称函数序列 1nnf

13、在集合D上一致收敛于函数f.记作它的分析语言表述如下：( )nfx( )(),f x nxD 对有0,= ( ),N NN ,nNxD ( )( ).nfxf x33 函数序列一致收敛的判别函数序列的一致收敛比它的逐点收敛要强很多，它将逐点收敛推广到整体收敛，这样可以使用函数序列极限函数的解析性质来得出函数对应的连续性、可微性以及可积性等相关性质。对于函数序列的一致收敛性，它的判别方法主要有以下六种：3.1 柯西准则3.1.1 定理概述函数序列在它的非空数集上满足一致收敛的充要条件，即对任给的，总0存在正整数，使得当时，对一切的，都有用分N, n mNxD( )( ).nmfxfx析语言表述如

14、下:对有0,( ),NNN ,n mNxD ( )( ).nmfxfx柯西一致收敛准则的优越性体现在许多地方，在数学分析中有出现收敛和一致收敛的概念之中，或在极限函数未知的情况下，只要根据函数序列本身的特性一般都可以探究出对应的柯西的收敛准则或柯西一致收敛准则。在函数序列表达式比较简单的题目或函数序列极限不存在的情况下，就能用柯西一致收敛准则去判别。3.1.2 应用举例例 1 证明：若对有且 收敛，*,0,nnNaxD ，1( )( )nnnfxfxa1nna则函数序列在区间上一致收敛。( )nfx分析：本题要求证明函数序列的一致收敛性，由题意知，给定的函数序列是一个抽象的序列，即极限函数值是

15、很难求解出来的，因此考虑从柯西的一致收敛准则入手。利用不等式的性质以及数列的收敛性质，证明函数序列的一致收敛性。证：由有*0,n mNxD ，111( )( )( )( )( )( )nmnnmmnmfxfxfxfxfxfxaa4又因为故有。1nna收敛，*10,nmNNn mN aa 则*0,NNn mNxD 有：11( )( )=nmnmnmfxfxaaaa所以函数序列在区间上一致收敛。( )nfx3.2 余项准则3.2.1 定理概述设是定义在非空数集D上的一个函数序列，是定义在D上的一个函 1nnff数，则在上一致收敛于的充要条件是。nfxDflimsup( )( )0nnx Dfxf

16、x余项准则是判定函数序列一致收敛的一个充要条件，使用余项准则的必要条件是极限函数序列的表达式已知且极限值存在。3.2.2 应用举例例 2 讨论的一致收敛性。222( ),0,1n xnfxn xex分析：本题可以由题目给定的函数序列求出其极限函数的表达式，根据余项准则的条件知，满足其上确界的极限为 0，则可判定函数序列一致收敛，本题中所求函数序列与它的极限值之差的上确界极限值趋于正无穷，故函数序列在区间上不一致收敛。解：由题意得：函数序列的极限函数222( )lim( )lim0.0,1 ,n xnnf xf xn xex于是，函数序列的余项。222( )( )n xnfxf xn xe由求导

17、验证知余项值在上只有唯一的极大值点222n xn xe0,101,2xn因此为闭区间内的最大值点，则0 x122sup( )( ),2nnfxf xe 根据一致收敛的余项准则知，该函数序列在上不一致收敛。0,15对于上述例子 2 而言，若用柯西一致收敛准则证明，明显不方便，而且计算较繁琐，在计算过程中容易因项的数目太多造成列举耗时且书写不方便，而使用余项准则却能很快的判断出它在区间上是否一致收敛。3.3 狄尼(Dini)定理3.3.1 定理概述设函数序列在有界闭区间上单调且收敛于，若与( )nfx, a b( )f x( )f x都在上连续，则在上一致收敛于。( ) ( =1,2,)nfxn,

18、 a b, a b( )nfx( )f x使用狄尼定理判定一致收敛时，应注意函数序列和极限函数本身所要满足的基本条件，首先要求函数序列在闭区间内具有单调性，这里的单调性是针对序列提出来的，所以必须满足连续条件。其次函数序列要收敛于极n( ) ( =1,2,)nfxn限函数，再者极限函数的连续性也要保证，则可作为判定函数序列一致收敛的充分非必要条件。注：狄尼定理是奥斯古德定理中的一个子定理，若要通过狄尼定理研究函数序列的一致收敛性，溯其本源可至奥斯古德定理中研究，详见参考文献9。3.3.2 应用举例例 3 判断函数序列在上的一致收敛性，并求出它的极限( )(1)nnxfxn0,1函数。分析：本题

19、可以有多种解法，笔者给出的是用狄尼定理证明的方法。由使用条件可知，只需证明函数序列的单调性，求出极限函数，以及二者在闭区间上的连续性，就可证明函数序列的一致收敛性。证：对，当时，0,1x n 111( )(1)(1)0.nnnxxfxnnnn所以 在上单调递增。 ( )(1)nnxfxn0,1x又因为，所以收敛于极限函数，lim(1)lim(1)nxnxxnnxxenn( )nfxxe且与在上连续。( )(1)nnxfxnxe0,1x6故由狄尼定理知，在一致收敛于，就是所求的极( )(1)nnxfxn0,1xxexe限函数。由本题可知，在函数序列一致收敛的判别法中，只要收敛于连续函数( )nf

20、x，在闭区间上都一致收敛于, 所以对于判别函数序列在有界( )f x( )nfx, a b( )f x区间上的一致收敛性之作用不可小觑。3.4 海涅定理推广的一致收敛判别3.4.1 定理概述函数序列的在任意有界区间上存在任意两个数列与当( )nfxI nx .ny时, 有则函数序列在区间lim()0nnnxy,mNlim()()0.mnmnnfxfy( )nfx上一致收敛于。I( )f x本定理是在出现两组数列和函数序列之间关系的情况下使用的。其本质是函数序列等度连续与一致收敛及一致连续之间的关系，当出现一致连续时，可以由其推出函数序列的一致收敛性，函数序列的一致连续性为收敛和一致收敛搭建了桥

21、梁。3.4.2 应用举例例 41 设定义在上的函数序列如下：0,1( )nfx1, ,0;( )0,nqxp qNqpnxpfx或其他.试问：在上是否收敛？是否一致收敛？( )nfx0,1分析：本题的函数序列在论证是否收敛时有多种解法，笔者运用定义法证明，若函数序列与极限函数的值相等，则函数序列在闭区间上收敛。在证明是否一致收敛时，可以选取两个符合条件的数列，判断其对应的函数序列是否满足7进而证明是否一致收敛。lim()()0mnmnnfxfy解：若为无理数，则。0,1x( )00 ()nfxn 若为有理数，则于是有。0,1x, ,qxp qNp,np ( )11()nfxn 当或时，也有。0

22、 x 1x ( )1nfx 所以在上收敛，其极限函数为狄利克雷函数。即：( )nfx0,11,0,1( )0,1xD xx上的有理数,0,上的无理数.下面讨论的一致收敛性。( )nfx取为上的趋于 0 的有理数数列，为上的趋于 0 的无理数数 nx0,1 ny0,1列，则。但不满足海涅定理推广的一lim()0nnnxy()()1 010mnmnfxfy 致收敛判别。综上所述，在上收敛，但不一致收敛。( )nfx0,13.5 利普希兹（lipschitz）条件的一致收敛判别3.5.1 定理概述函数序列在上有意义，且满足利普希兹条件，( ),1nfx n , a b1）对有 其中是和无关的常数项；

23、, , , ,n x xa b( )()nnfxfxM xxMn2）若对有。 , xa blim( )( )nnfxf x则在上一致收敛于。( )nfx , a b( )f x使用利普希兹（lipschitz）条件时，应注意满足的条件有两个，且需要寻找函数序列的两个子列使它们满足条件。83.5.2 应用举例例 5 证明函数序列在上的一致收敛性。( )sinnxfxn 1,1分析：本题满足利普希兹条件的第二个条件，所以只要分析出第一个条件也满足，就可以证明函数序列的一致收敛性。于是在函数序列中寻找两个函数子列，利用三角函数的和差化积公式以及三角函数的取值范围证明条件成立即可。证：对有, 1,1,

24、x x ，( )()sinsin2cossin2 1222nnxxxxxxxxfxfxxxnnnnn 且有，所以函数序列在上一致收敛于。lim( )limsin0nnnxfxn( )sinnxfxn 1,103.6 逐项连续序列的一致收敛判别3.6.1 定理概述假设函数序列在任意闭区间上每一项都连续, 且在闭区间上也( )nfxIfI连续, 则函数序列在闭区间上一致收敛于的充要条件是:对于中任何( )nfxIfI以为极限的数列, 都有。0 x nx0lim()()nnf xf x运用本定理需要满足的条件是：函数序列及其极限函数在闭区间内连续且存在以为极限的数列，满足函数序列的极限值收敛。0 x

25、 nx3.6.2 应用举例例 6 讨论函数序列在上的一致收敛性，其中( )(1) ,.nnfxnxxnN1，。0,1分析：通过对函数序列解析式的分析得知函数序列的每一项在区间内都连续，所以只要满足其对应数列是收敛的，就可以证明函数序列的一致收敛性。解：由题意知，是一个连续函数序列，且其极限函数，( )nfx( )0f x 9则有在上逐点收敛于。( )nfx1x，( )f x又已知对于中任何以为极限的数列都有：1，0 x nx。0lim()lim(10()nnnnnfxnxxf x）所以函数序列在上一致收敛于。( )(1) ,.nnfxnxxnN1，( )f x通过以上五种传统的判别方法，可以解

26、决大部分的函数序列一致收敛的判别。但是，传统的判定方法多且每种类型的题目可能会有多种不同的解题方法，有些简单有些复杂。若是碰到较为繁琐的函数序列，则要先进行化简，这之间的步骤也是十分复杂不便的。为了解决找不到最合适的解题方法或是传统判别会因计算复杂带来的出错或不便，文章提出用计算机编程解决函数序列一致收敛问题的判别。笔者使用MATLAB 编程软件，根据函数序列的几何意义，编写函数序列在任意区间上的一致收敛问题的判别方法的代码，并以例子的形式展示运行结果，文章也给出了解题必要的编程依据和步骤，最后再进行运用说明。这给判定函数序列是否一致收敛带来了极大的便利，证实了数学在信息技术上的有效运用和融合

27、，为数学在计算机软件上的行走又向前迈近了一步。4 MATLAB 在函数序列一致收敛上的应用4.1 MATLAB 在函数序列一致收敛上的应用举例以( )nnfxx为例，使用 MATLAB 软件讨论它在( )0f x 处的一致收敛性。编程如下：x=0:0.05:0.8plot(0,0.8,0.3,0.3,black-,LineWidth,2)%for epsilon=0.3hold on plot(0,0.8,-0.3,-0.3,black-,LineWidth,2)plot(0,0.8,0,0,black,LineWidth,3)%convergence to function 010for n

28、=1:20 f_n=x.n %series of functions plot(x,f_n) hold on endhold off 图 4-1结果运行如图 4-1，从图中可以看出，当取，时，误差0.300,0.8x 带为虚线部分即 ，函数序列一致收敛于（实线部分）( )0.3( )0.3f xf x 和 ，因此，存在，当时，即第 6 个函数开始进入误差带，( )0f x =5N6nN此时以后的。( )0nfx 一致收敛于4.2 MATLAB 在函数序列一致收敛上的编程步骤应用 MATLAB 编程分析函数序列的一致收敛性可以比一般的判定方法更直观地看出函数序列的收敛区间以及是否一致收敛，操作简

29、单，观察性强。下面简单介绍用 MATLAB 编程分析函数序列的一致收敛性的步骤：1）由于编程的需要，要先给出判定是否一致收敛的区间，区间的选取一般都包含极限函数值和误差带；2）在上述取定区间的基础上，用计算机语言输入一个大于 0 以及要判定其11是否一致收敛的函数；( )f x3）画出误差带 以及是否一致收敛的函数，以便于判( )( )f xf x和( )f x断是否满足；( )( )nfxf x4）运用 for 循环语言，画出在上述区间的函数序列；( )nfx5）编写编程代码的结尾部分，使编程代码完整可运行。查看图像，观察图像上的函数序列与误差带之间的关系，得出函数序列在第几条曲线开始完全进

30、入误差带内，即为中的第几条曲线开始大于，函数序列此时也就满足一( )nfxnN致收敛的条件。注：如果想观察同一个区间上的不同函数序列，可以运用 subplot 语言画出四幅图进行同时比较。4.3 MATLAB 在函数序列一致收敛上的几个例子了解完函数序列的收敛和一致收敛的定义及其编程代码使用的判定方法，根据以下几个简单的例子说明一下它们的运用，并用 MATLAB 编程画出对应的一致收敛的图像，使结论更具有说服力。例 7 考虑函数序列2( )(1) ,1,2,nnfxn xxn是否收敛，并求出它的收敛区间和极限函数。 （如图 4-2）编程如下：x=-1:0.05:1%步骤（1）给定一致收敛的区间

31、y1=plot(-1,1,0.2,0.2,red-,LineWidth,2)%步骤（2）for epsilon=0.3hold on y2=plot(-1,1,-0.2,-0.2,red-,LineWidth,2)%步骤（3）给定误差带y3=plot(-1,1,0,0,y,LineWidth,3)% convergence to function 0for p=1:4 %用 subplot 语言画四幅图 a=input(a=);b=input(b=);12for n=a:b %步骤（4）for 循环画出函数序列f_n=n.*abs(x).*(1-x.2).n %给出函数序列的表达式subplo

32、t(2,2,p)plot(x,y1,r-,x,y2,r-,x,y3,y-,x,f_n,k)hold onendendhold off% 步骤（5）结束并观察图像。图 4-2例 8 讨论函数序列22( ),1,2,1nxfxnn x在(,) 上是否一致收敛。（如图 4-3）编程如下：x=-20:0.5:20%步骤（1）给出一致收敛区间y1=plot(-20,20,0.1,0.1,black-,LineWidth,2)% 步骤（2）for epsilon=0.1hold on y2=plot(-20,20,-0.1,-0.1,black-,LineWidth,2) %步骤（3）给定误差带y3=pl

33、ot(-20,20,0,0,y,LineWidth,3)%convergence to function 0for n=1:20 %步骤（4）for 循环画函数序列f_n=x./(1+n.2.*x.2)%series of functions %给出函数序列的表达式13 plot(x,f_n) hold onendhold off%步骤（5）结束并观察图像。图 4-35 总 结由于函数项级数的收敛问题可以转化为部分和函数序列收敛问题进行解决，故文章就不考虑函数项级数的收敛问题。总的来说，文章通过对函数序列一致收敛的背景和数学史的研究，总结了在研究函数序列发展过程遇到的一些问题，如函数序列的可积性、可微性和连续性不能保证，如何才能具有这一系列的性质呢？引入函数序列的一致收敛性的概念。但又出现了新的问题：如何判定函数序列是一致收敛的？在我们所熟知的数学分析的书本或材料都描述过函数序列一致收敛的概念以及函数序列一致收敛的判别方法，例如柯西准则、余项准则、狄尼定理。然而，在对函数序列是否一致收敛做出判别时，使用已经存在的这些方法有一定的困难度，有些还根本无法判别函数序列在其区间内是否一致收敛，于是文章对其进行细