第讲 偏导数与微分法 少课时 New

1、微积分微积分 2019年3月9日星期六 1 3.7 偏导数与微分法 微积分微积分 2019年3月9日星期六 2 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 微积分微积分 2019年3月9日星期六 3 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，若固定 定义 y=y0时，一元函数z=f(x,y0)在x=x0可导，即极限 Axyxfyxxfx?),(),(lim00000存在，则称A为z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于x的偏导数，记作： Axzxfzyxfyxyxyxxx?),(),(),(00000000),(一、偏导数 微积分微积分 2019年3月9日

2、星期六 4 类似可定义z=f(x,y)在P0(x0,y0)关于y的偏导数，即 ),(),(),(00000000),(yxyxyxyyyzyfzyxf?yyxfyyxfy?),(),(lim00000变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数 若函数 ),(yxf在点 ),(00yx处关于 ),(yxf在点 ),(00yx处可偏导. 微积分微积分 2019年3月9日星期六 5 定义 、内每一点的偏导数在区域若函数),(),(yxfDyxfzx?都存在，则称都存在，则称),(yxfy?z=f(x,y)在D上偏导数存在。记作 xzxfzyxfxx?、),(yzyfzyxfyy?、),(显然这里

3、的偏导数也是作为(偏导)函数来看的。 计算偏导数fx(x,y)，即把y看作一个常数，对x求导数。同样的，若求fy(x,y)，则把x看作常数对y求导数。 微积分 2019年3月9日星期六 6 下面讨论偏导数的计算方法 微积分微积分 2019年3月9日星期六 7 xyxfyxxfxzx?),(),(lim0可以看出: 定义 xz?时, 变量 y 是不变的, 实际上, 是对函数 ),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元 函数导数的定义进行的 . 微积分 2019年3月9日星期六 8 微积分 2019年3月9日星期六 9 xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(

4、sin0)(2?xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21?axxaaaaxxln1)(logln)(?xxeexx1)(ln)(?2211)(arctan11)(arcsinxxxx?2211)cot(11)(arccosxxxx?arc微积分 2019年3月9日星期六 10 ( )( ( ( )( )|( )( ( )( )uxfxf uxfxx?2( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ( )0)( )( )u xv xu xv xu xv xu x v xu x v xu xu x v

5、xu x v xv xv xv x?微积分微积分 2019年3月9日星期六 11 多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西. 求偏导数时,只要将 两 个自变量 中的某一个看成变量,其余的另一 个 自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 . 微积分微积分 2019年3月9日星期六 12 . )2 , 1 ( 3 22处的偏导数在点求yxyxz?)2, 1(22)2, 1()()3()(xxxyxyxxz?)2, 1(22)2, 1()()3()(yyyyxyxyz?8)32()2, 1(?yx7)23()2, 1(?yx 例 解 微积分微积分 2019年3月9日星

6、期六 13 由定义,此例也可用下列方式求解 8)46(dd12)2, 1(?xxxxxz7)31 (dd22)2, 1(?yyyyyz000d),(d0),(xxyxxyxfxz?但最好采用前一种方法. )2 , 1 ( 3 22处点yxyxz?微积分微积分 2019年3月9日星期六 14 . arctan 的偏导数求yxz ?xyxyxxz211 , 22yxy?yyxyxyz211 . 22yxx?将 y 看成常数 y1将 x 看成常数 2yx? 例 解 微积分微积分 2019年3月9日星期六 15 . )0( 的偏导数求?xxzy 1?yxyxz )( 1?aaxax ln xxyzy?

7、 ln)( aaaxx?将 y 看成常数时, 是对幂函数求导. 将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例 解 微积分微积分 2019年3月9日星期六 16 以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去. 进行的, 但其结论可直接推广到三 微积分微积分 2019年3月9日星期六 17 求 32zxyxeu?的偏导数。 解 32zxyxexu?32zxyxeyu?32zxyxezu?)1 (2y?xy2)3(2z? 例例 微积分微积分 2019年3月9日星期六 18 对多元函数来说,函数的偏导数 存在与否与函数的连续性无必然关系 . 这是多元函数与一元函数的 一个本质区别. 微积分微积

8、分 2019年3月9日星期六 19 警告各位！ 偏导数的符号 yx?,是一个整体记号, z?与 yx?,的商. 不能像一元函数那样将 yzxz?,看成是 微积分微积分 2019年3月9日星期六 20 二、 高阶偏导数 多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. 一般说来, 在区域 ? ? 内, 函数 z = f (x, y) 的偏导数 ,xz?yz?仍是变量 x , y 的多元函数, 如果偏导数 的二阶偏导数. 依此类推, 可定义多元函数的更高阶的导数. 仍可偏导, 则它们的偏导数就是原来函数 ,xz?yz?微积分微积分 2019年3月9日星期六 21 一般地, 若函数 f (x,y) 的 m1

9、 阶偏导数仍可偏 导,则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数. 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, 其 中, 关于不同变量的高阶导数, 称为混合偏导数. 微积分微积分 2019年3月9日星期六 22 的二阶偏导数：二元函数 ),( yxfz ?xz?xy ?xzx ?xzyyz?xy ?yzx ?yzy22xz?yxz?2xyz?222yz? 例 微积分微积分 2019年3月9日星期六 23 高阶偏导数还可使用下列记号 2112xxxxzffzx? ? ?2222yyyyzffzy? ? ?212xyxyzffzx y? ? ? ?221yxyxzffzy x? ? ? ? 二元函数的二

10、阶偏导数共 22 = 4 项 微积分微积分 2019年3月9日星期六 24 求 13323?xyxyyxz的二阶偏导数. 先求一阶偏导数： ,33322yyyxxz?,9223xxyyxyz?再求二阶偏导数： xz?yxyz?yx22xz?xzx)33(322yyyxx?26xy?22yz?yzy)92(23xxyyxy?xyx1823? 例 解 微积分微积分 2019年3月9日星期六 25 求 13323?xyxyyxz的二阶偏导数. xz?yxyz?yx 例 解 二阶混合偏导数： yxz?2)33(322yyyxy?19622?yyxxyz?2)92(23xxyyxx?19622?yyx

11、发现两个混合偏导数相等 一般性？ 微积分微积分 2019年3月9日星期六 26 ?xzyxxye22?yzyxex22?xzxxz22x?)2(2yxxyeyxeyxy2)42(22?yzyyz22y?)(22yxexyxex24yxeyxx2)22(3?x?)(22yxex 例 解 . 2的二阶偏导数求yxez ?2zx y? ?2zy x? ?x?yxxye22yxeyxx2)22(3?微积分微积分 2019年3月9日星期六 27 定理 若 ),(yxfz ?的二阶混合偏导数在 ),U(00yx内存在且在点 ),(00yx处连续, 废话! 求出偏导数才能判断连续性 , 这时一眼就可看出混合

12、偏导数是否相等了 , 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！ 则必有 002(,)|xyfx y? ?002(,)|. xyfy x? ?微积分微积分 2019年3月9日星期六 28 多元函数经复合运算后 , 一般仍 是多元函数, 但也可能成为一元函数 . 按前面关于多元函数的讨论方法 , 复 合函数求导法则的研究可从复合后成 为一元函数的情况开始 . 三、复合函数微分法 微积分 2019年3月9日星期六 29 一元复合函数 求导法则 微分法则 微积分微积分 2019年3月9日星期六 30 . dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求设

13、?tbatbtayxz2sin41)cos()sin(2222222?22cos2sin241 dd 22?ttbatz故tba4sin2122? 下面看另一种解法. 例 解一 微积分微积分 2019年3月9日星期六 31 . dd ,cos ,sin , 22tztbytaxyxz求设? 例 解二 tyyztxxztzdddddd?)sin(2cos 222tbyxtayx?tba4sin2122? 你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？ zxyt+ 微积分微积分 2019年3月9日星期六 32 zxyttyyztxxztzdddddd? . )( ),( ),( 均可导设tyytx

14、xyxfz?将例中的情形进行一般性的描述 (1).( ), ( )zf x ty t?微积分 2019年3月9日星期六 33 (2).( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx y?定理 设 和 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,v)可偏导,则复合函数 在 点(x,y)可偏导,且 ),(yxv?),(yxu?),(),(yxyxfz?xvvzxuuzxz?yvvzyuuzyz?z u v x y 微积分 2019年3月9日星期六 34 例. ,sinyxvxyuvezu?求 yzxz?,解法一: 将 u,v 带入 解出偏导数; 解法二: 用链导法:

15、xvvzxuuzxz?1cossin?veyveuu)cos()sin(yxyxyexy?yvvzyuuzyz?1cossin?vexveuu)cos()sin(yxyxxexy?zuvxyzuvxy微积分微积分 2019年3月9日星期六 35 设 xxzsin?, 求 . ddxz令 ,yxz ?,sin xy ?则 xyyzxzxzdddd?zxxy?1yyxxxxycosln?xxxxxxlncossinsin 例 解 微积分 2019年3月9日星期六 36 注意： ( )zf x?( )zf xxx?( ),fx( )zf xyy?0( ) ( )zf x g y?zx?( ) ( )

16、,fx g yzy?( ) ( )f x gy,dxy dx?都可以看作求导运算。 微积分微积分 2019年3月9日星期六 37 第3.8节 隐函数的微分法 微积分微积分 2019年3月9日星期六 38 定理 ，有连续偏导数，且设二元函数0),(),(00?yxFyxFy则由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在(x0,y0)的导数为 ),(),(00000yxFyxFdxdyyxxx?微积分微积分 2019年3月9日星期六 39 第3.9节 全微分 微积分微积分 2019年3月9日星期六 40 1. 的偏导数。在点求)2 , 1 (lnyxxyz?答案 。6132)2, 1()2,

17、 1(?yzxz2. 求偏导数 答案 本周练习： 3 ，求二阶偏导数。xyxyez ?答案 xyxyexyyxxyzyxzeyxyxz) 13()2(22222322?xyexyxyz)2(2322?2sinyyxyzxexxx?2231(1 ln )sincos2yyxzyyyyexxxxxxxx?1212lncosyyxzyxexxyxx?微积分微积分 2019年3月9日星期六 41 答案 22222222222322)()(2)(62yxxyyxyyxzyxxyxxz?2222222)()(2yxyxxyz?5 答案 ，求二阶偏导数。)ln(22yxxz?4 lnuxzzzevuxyvyxy?，求、。1lnxyzxyexyx?1lnxyzxxeyyy?答案 )()()(2xyfxyzxyf yxyxfxz?6 。、求，已知yzxzyxvyxuvu