分块矩阵及其应用(20210316042718)

1、分块矩阵及其应用徐健,数学讣算机科学学院摘 要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广.一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵 的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也 更广泛.本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方 程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstra

2、ct In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content In general, matrix elements are numbers However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks The introduction of the block matrix makes it more

3、 convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems So the application of the block matrix is much wider This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solvinglinear equations, calculating inverse matrix, proving theorem

4、related to the rank of matrix , etcKeywords Block matrix； Determinant； System of equations； Rank of a matrix1引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复 杂髙阶矩阵，我们希望能将问题简化.考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部 分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把ZZ7X/7矩 阵分割为如下形式的矩阵：人4/特别地，对于单位矩阵分块：直0 00 0 皿丿显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于

5、数字，而是一个整体，这里的月a a 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题，我们可以考虑用分块矩阵的思路 来解决.2分块矩阵矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的 秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同 样用到这些概念.定义级行列式电1饪 电匕等于所有取自不同行不同列的个元 素的乘积仏生人捡；的代数和，这一定义又可写成:定义.向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩定义级方阵称为

6、可逆的，如果有级方阵3,使得AB = BA=E （这 里是级单位矩阵），那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1.定义对分块矩阵施行下列三种初等变换：（1）互换分块矩阵的某两行（列）；（2）用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）；（3）用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上，分别称上述三种初等行（列）变换为分块矩阵的初等行（列）变换.定义彳对m阶单位矩阵作2x2分块，即；，然后对其作相Xn /应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵.分块矩阵具有以下形式：（I 0（1）分块初等对换阵:;（2）分块初等倍乘阵71，|人。（3）分块初等倍加阵f , It I其中P,Q分别

7、是加阶和阶可逆方阵，且R、已 严，s已戎为非零阵.矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义“矩阵加法：设A =方=（勺丿L是两个同型矩阵，则矩阵C =（勺）广（ +纭）丁称为A和B的和，记为C = A + B.元素全为零的矩阵 称为零矩阵，记为,，可简单记为0,对于拒阵4、B,有：（1）A + 0 = A（2）A + （-力）=0（3）A- B = A + （-5）（4）（力 + 方）+ Q =力 + （方 + C）定义“矩阵数乘:称为矩阵力=(玉，)切与数k的数定义4矩阵乘法：设A = (a B = (bjp是两个不同型矩阵，那么矩阵C = AB =称为

8、矩阵A与B的乘积，其中:勺=%扎+ *扎+气扎=2=2 a a：扎在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等. 特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1)+ C) = AB + AC(2)(B + C)A = BA+ CA(3)(AB)D = A(BD)量乘积，记为有以下性质:(1)1A = A；(2)k(JA) = gA ；(3)k(A + B) = kA + kB ；(4)(k + 1)A = kA + 1A；(5)k(M + 方)=M + kB.分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A、B是m x n矩阵，若对它们有相同的划分，也就有: 人+%比+兀

9、、 加法：A + B =： J： 1+21. A Astst + + B Bstst 乘法：C = AB,其中：n nC = A. + A + + A B = A B kakan nU U1111 ljlj 1212 2j2jinin njnjkjkj*1CD)乘对应分块矩阵：，0(AB(c占0)Dfp(A可JPA毋丿D)1CE0(ABD、尻PBD ,AB 、I 尸巧八Q D) C + PA D + PB)数乘：kA =.帆J J总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质： 定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1)互换矩阵的

10、行与丿行的位置；(2)用数域P中的非零数c乘E的/行；(3)把矩阵E的丿行的k倍加到i行.定义将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵 称为分块初等矩阵：(1)对调两块同阶的块所在的行或列；(2)某一块乘以同阶的满秩方阵；(3)某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).j B如：我们对分块矩阵进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法 ：(1)列向量分法，即A = (ap，色)，其中0为4的列向量.A（2）行向量分法，即A=其

11、中0.为A的行向量.（3）分两块，即A =（4,4）,其中4,4分别为A的各若干列作成或B A =1 ,其中坊，艮分别为A的若干行作成.12丿C C、（4）分四块，即月=12 .我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于 是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.常见的矩阵块我们把髙等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1,其余元素为0的“阶方阵.（2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的川阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的”阶方阵.(4)对称矩阵：满足矩阵A的转置和A相等.(5)若尔丹（Jordan）块：形如0 00、10JV

12、, t)= 00 * 2为畀阶方阵.由于故A为可逆方阵.b cad、又易知：B _ CfD =匕- Cdb 一 caTld)=| 梓CATD = anb cadn = (ab cd)n.C、D都是阶矩阵，证明当AC = CA时，A可逆时，有彳 B 一 CAD = AB - ACD = AB -CD.注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的* = ab cd 其矩阵块限制条件有所加强.所以本例告诉我们, c b在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述:(1)标准型：1 =A D1C BA D、

13、(E -刊、(A03 E ； C B - CD)证明：若A可逆,故血=AB CD B务虫+兔恥+乱心=勺电曲 + a22x2 + + a2nxn = b2 ;円內+备也+备卩=2(2)矩阵型：令A = al 、 x-2XUXJ2方程组可以表述为：Ax = B；（3）列向量型：令则方程组又可以表述为:+ x2a2 + .- + xan = B ；（4）行向量型：x.a + .a： + + x a = Bf.1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方 程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理 应用，使得问题解决更加便捷、明了.

14、例：（齐次线性方程组）求解方程组x. + 2Xr + 2x、+ x, = 0 2x + xz 一 2xz 一 2x、= 0X _ X： 心3 _ 3x, = 0解：对系数矩阵施行行变换，并将结果用分块矩阵表示：10 -2 -I A221、221、34A =21-2-20-3-6-40 12Q=1-1-4-30-3-6-4O4/0 000斤=2,基础解系含4-2 = 2个.而方程又满足： C、/ 00 02,O相应的可以取:有通解:P = k/3 + k2p2 ,其中 0=234_ 30例9 :(非齐次线性方程组)求解方程组：込 + 2xz 一 3xj + 2比=1X _ X： 3*3 + X

15、_ 3 AT. = 22“ 一 3齐 + 4AT3 一 5乂1 + 2x. = 79A; 一 9A + 6旺 一 16A + 2厲=25解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r(J) = 3,而r(7) = 4 ,故r(7)丰巩力).从而方程组无解.A -b 事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵154进行行列变匕0丿换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例：证明：阶方阵A的秩为n-l,则raWXl首先证明此例需要利用的一个引理：引理：A =(备鳥，B = (b九,厂=rt肋=0,则r(方) n -r证明：对矩阵3进行列向量的分块，万=(坊，鸟.巧)，曲=0则有：AB

16、2 = 0,巧是血=0的解.而4T = 0基础解系有/7 -r个解.故：r(B) 1.31001而:AJf p| E = 0.利用引理得：rankkA） 可逆.再令Dx = %由DD_ = E ,即: 2丿f A B、E 0、B Aj10 E,可得：AD. + BD? = EBD、+ ADZ = 0ADZ + BD = 0BD：+ AD、= E将第一行和第二行相加、相减，得：J： +D3 = (A + 方尸解之得： = -+ 万尸 +(A- 5)-1, A = - (A + 方尸- (A- 5)122=（i广同Fl，则：这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆: A B0,即证B、C都可逆.C 巧丿

17、E -AC1 10 )类似地：D, = D“D = 2所以:f A B、-11A +方尸+ （A-方尸（A +方尸一（力一万尸、小A)_ 2SA +方尸-U-万尸 （A +方尸+（A-万尸）例X已知分块形矩阵:耕可逆，其中为块，C为心块,求证：B与C都可逆，并求於巴备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有 两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法值得 注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造：1 0 1、例10 :求矩阵月=210的逆矩阵.、一3 2 一5 丿解：构造矩阵:101100、50110、0、21001001-2

18、-210D =Z(Aa =-32-5001-02-23014几6100000100000010000010000r 10110O01-2-2100027-211000000100001 001000 .10110(T01-2-2100027-2110-1000010000001000 0 - v 丿 -1 -I 2 丿I 22 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换 同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有 时比较简单.矩阵秩基本不等式矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系.现把

19、高等代数书中有关矩阵秩最基本的不 等式总结如下：(1)矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A、B均为mxn矩阵，贝U:rA + B) rC4) + r(B).(2)矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A是mxn矩阵，3是zs矩阵，则：rAB) A,y .-101_ 2000012000011000 rank(A) + rank(B)再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例“：(薛尔弗斯特不等式)设A = (a .), B =，证明:rankAB) rankA) + rankB n证明：由分块矩阵的乘积n + rankAB) rankA) + rank(B)得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过

20、程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：A 0、(1)矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造方丿；3“(A 0、(2)矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造o万丿或者庄B, 具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例：(Frobenius不等式)设4、B、C是任意3个矩阵，乘积A3C有意义，证明：r(ABC) r(A) + r(BC) - r(5)证明：设3是n x m矩阵，r(5) = r那么存在朴阶可逆阵P, m阶可逆阵Q,使0、-AB)0丿 io把P、。适当分块：P = (3A 5), Q =,由上式有:B =(财,S)E 0VArr、o o)r= =MNMN B)En(A AB)；rank(A

21、) = rankCrank(B) = rank(B(BJ J=rank rankAB).冷丿ffl： -打(A0、 -B0 _AB 0 Ek巧.0 En0丿(A0、0-AB、rank=rankAo 故:r(ABC) = rAMNC) r(仙)+ rNC) 一 r rAMN) + rMNC) - r(5)=HAB) + r(BC) 一 .得证.矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到，以下例题是对 矩阵秩不等式的推广及其应用：例、设A为mxk矩阵，B为kxn矩阵，则证明：m&C4)+rank (B) -k rank (AB) rankAB)；再证左边的不等式注意到

22、下列事实:于是:rankA) + rankB) = rank(A + B BB)V 0 -AB)证：构造分块矩阵。川由Frobenius不等式:r(A) + r(A3).+ rank(5) rank 万J AB) HE J = TAB) * k /从而：rank(A) + rankB) k rankAB).这里也是用到构造矩阵的方法.例6 ：设“阶矩阵A、8可交换，证明:rankA + rank (A) + rank(B) rank(AB)解：利用分块初等变换，有:B B)因为AB = BA9所以:(E0 、A + BB、A + BB、4 一 B) BB, rankA + 万)+ rankAB

23、).即：rank(A + rankA) + rank(B) rankAB.得证.例：设A是阶方阵，且r(A) = r(A2),证明：对任意自然数匚有H#) = r 由：rU) = r(A2)所以,r(才)=r(A2 A) r(才).A0TB)故:r(A2) = r(Az).用构造法，设2工0,令：H-B2E-B2E -ABQ 2两边取行列式得:再对-BA两边取行列式得:H= En-A($ A.En - BA .由此可推得：rU3） = r（才），巩才）=巩才），.故：对任意自然数有：rAk） = r（A）.综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项 式的降阶定理

24、，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例6：（特征多项式的降阶定理）设A是ZZ7X/2矩阵，B是nxzz?矩阵.证明：AB的特征多项式/（几）与BA的特征多项式血，（久）有如F的关系：才=灼（兄）. 证：先要把上式改写为：/1匹故:右陆一场卜召鸥一纲|A5.： -BA = An _ AB 上述等式是假设了 2丰0,但是两边均为几的/? +刃次多项式，有无穷多个 值使它们成立（2H0）,从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester）公式.以下例题是定理的应用.例6：设A为mx”矩阵，B为nxm矩阵，证明：A3与34有相同的非零 特征值.证：由定理：才pl巧一场| =几” pl -個|.设 pL -AB = 2a-（2 _ 人）（兄 一 /Q （几-），其中人人心工0,即人8有$个非零特征值：人,人,，人，由上面两式,那么有：|25n _ 场| = （2 - 人）（兄一九）（几-2jAn_s即证34也只有s个非零特征值：人，九，人.例：设A、3分别是zz7 x n和刀xzz?矩阵，证明：trAB = trBA解：由