D111对弧长的曲线积分PPT学习教案

1、会计学1D111对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分AB弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共18页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为

2、积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共18页kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共18页szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 为常数)szyxfd),()3

3、( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共18页tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共18页xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kk

4、ts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共18页),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共18页,dLsx其中 L 是抛物线2xy

5、与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共18页,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共18页,d)(222szyx其中为螺

6、旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共18页,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共18页d d s,d)(222szyxI其中为球面22

7、yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共18页1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)Lszyxfd),(),(为常数szyxgLd),

8、(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共18页 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共18页1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共18页xyo2. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seICyxd22