含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总

1、含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希指导老师：张海摘要 本文主要介绍了含参量反常积分(含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分)的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词含参量无穷限反常积分含参量瑕积分一致收敛1引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定，其实两者之间是同中有异的 本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用2含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法2.1含参量无穷

2、限反常积分的定义设函数f (x, y)定义在无界区域 R =(x,y)|a zx乞b,c乞y :上，若对每一个固定的x a,b，反常积分f(x,y)dy(1)c都收敛，则它的值是 x在a,b上取值的函数，当这个函数为I (x)时，则有l(x) = Jc f (x, y)dy,xa,b,(2)c称(1)式为定义在a,b上的含参量x的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分2.2含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与l(x)对任给的正数；，总存在某一实数 Nc,使得当MN 时，对一切x a,b，都有ML f(x,y)dy I (x) *c:JM f(x,y)dy 0 J：M 0 純 A,

3、 A2 a M 时，使得 Wx wa,b时，有Jf(x,y)dy2,A f(x,y)dy :A2-be-bofA f (x, y)dy =A f(x,y)dy % f(x,y)dyA f(x, y)dy +Qf(x,y)dy 0,三M 0 ,当A(, A2 M时，有f f(x, y)dA1(充分性)因为一；0 ,总存在某一实数 M c，使得A, A2 M时,x a,b，都有J： f (x, y)dv 乞,当A?：时，有又因为:A1:c f(x, y)dy= f(x,y)dy+JA f (x, y)dy,其中 f (x, y)dy是含参量正常积分，故一致收敛c所以f (x, y)dy 在a, b

4、 *尤)上是致收敛的在a,b A,：)上是一致收敛的2.4含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.12.4.1含参量反常积分(1)在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于：的递增数列An(其中A =c)，函数项级数:二 AAn A f (x, y)dy =為 ujx)(4)n n门吕在a,b上一致收敛.证明(必要性)由(1)在a,b上一致收敛，故对任给0，必存在 Mc，使当HIA A M时，对一切x a,b，总有AL f(x,y)dy V .(5)又由 代一-(n-)，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当 m n N时，就有AnA M .由对一切x a, b，就

5、有Am +AUn(x) + il| + um(x), = ( f (x, y)dy+川 + f (x, y)dyAmAn,An +=A f ( x, y) d .这就证明了级数(4)在a,b上一致收敛.Aif(x,y)df(x, y)dyAi(充分性)用反证法假若(1)在a,b上不一致收敛，则存在某个正数；。，使得A2Af (Xi, y)dy 一 ；0由上述所得到的数列An是递增数列，且lim代-:.现在考察级数n :对于任何实数 M .c,存在相应的 A . A . M和x. a,b，使得A(A f(X,y)d心现取 Mj =max1,c，则存在 A A1 M1 及 x a,b，使得般的，取

6、 Mn=maxn,A2n(n_2)，则有 A?n A2nMn及 a,b，使得A2nA f(xn,y)dy_；0A2n 1An 1L f(x, y)dy由(6)式知存在正数；0，对任何正整数 N ,只要n N ,就有某个xn a,b，使得A2n*U2n(Xn) = Lf (Xn,y)dy 启A2n这与级数(4)在a, b上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分(1)在a,b上一致收敛2.5含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法定理2.5.12.5.1 (维尔斯特拉斯 M判别法)设有函数，使得f(x,y)兰 g(y),ax 兰b,c 兰 y+bobo若 g(y)dy收敛，则f (x, y)dy在a,

7、b上一致收敛.cc定理2.5.22.5.2(狄利克雷判别法)设(1)对一切实数N c，含参量正常积分Nc f (x, y)dy对参量x在a,b上一致有界，即存在正数 M ,对一切Nc及一切xa,b，都有ff(x,y)dy 兰M;(2)对每一个a,b，函数g(x, y)关于y是单调递减且当、-时，对参量x, g (x, y) 一致的收敛于0，则含参量反常积分40f(x, y)g(x, y)dyc在a,b上一致收敛定理2.5.32.5.3(阿贝尔判别法)设(1) c f (x, y)dy 在a,b上一致收敛;(2)对每一个xa,b，函数g(x, y)为y的单调函数，且对参量x, g(x, y)在a

8、,b上致有界，则含参量反常积分bof (x, y)g(x, y)dy在a,b上一致收敛2.6含参量无穷限反常积分的性质定理2.6.12.6.1 (连续性)设f (x, y)在a,b c, ：)上连续，若反常积分l(x) = c f(x, y)dy(7)在a,b上一致收敛，则I (x)在a,b上连续证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于：的数列An (Ac)，函数项级数I(X)二為：A f (x，y)dy =為 Un(x)(8)ndn4在a,b上一致收敛又由于f (x, y)在a,b cJ上连续，故每个 un(x)都在a,b上连 续.根据函数项级数的连续性定理，函数I (x)在a,b上连续.定

9、理2.6.22.6.2 (可微性)设 f (x, y)与fx(x, y)在区域a,b c, ：)上连续，若boboI (x) f (x, y)dy在a,b上收敛，fx(x, y)dy 在a, b上一致收敛，则 I (x)在a,bcc上可微，且I (x) = fx(x, y)dy(9)c证明 对任一递增且趋于的数列代( A, =c)，令AnXUn(x)=A f(x,y)dy则A十Un x = ；ifx(x,y)dyAnbo由fx x, y dy在a,b上一致收敛及定理1，可得函数项级数c、山(x)二為；A fx(x, y)dyn=1n=1 n在a,b上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，

10、即得迟力An+也I (x)=瓦 Un(x)=W Jfx(x, ydy=fx(x, y dyn#n# 愆c定理2.6.32.6.3 (可积性)设fx,y在a,b c：)上连续，若lxf x, y dy在LcAn 1bL dy f(x,ydxa,b上一致收敛，则I x在a,b上可积，且b: ：:badxc f x,ydy= c dy a f x, y dx证明 由定理2.6.1知道I x在a,b上连续，从而I x在a,b上可积.又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数8在a,b上一致收敛，且各项un x在 a,b上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有b: b: b An1al(x)dx

11、 =為 a Un(x)dx =為 adx f(x,y)dyn 4nJA1-bon这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作b:bI xdx 二 dy f x,y dxaca定理2.6.42.6.4设f x, y在a, ：) c, ：)上连续，若f (x, y Jdx关于y在任何闭区间c,d上一致收敛，f(x,ydy关于x在任何闭区间a,b上一致收敛;(2)积分-be -bej-be -bedxJf(x,y)dy与dyfa |f(x,y)dx中有一个收敛, 贝U-*2/ -*2/ -*2/! dx f(x, y dy = dy J f(x, y jdx3含参量瑕积分一致收敛

12、判别法3.1含参量瑕积分的定义设f x, y在区域a,b c,d)上有定义，若对x的某些值，y二d为函数f x, y的瑕点(以下的含参量瑕积分未加说明都同此)则称dI f(x,ydy(11)c为含参量x的瑕积分.3.2含参量瑕积分一致收敛定义对任给的正数:,总存在某正数、；：d -c，使得当0 ：:时，对一切a,b,都有(12)证明（必要性）由（11）在a,b上一致收敛,故对任给的 ； 0（、： ： d - c），存在0，（“刖与df(x，y)dy :dLf（x,y）dy则称含参量瑕积分（11）在a,b上一致收敛.3.3含参量瑕积分一致收敛性的判别法定理3.3.13.3.1 （柯西收敛准则）含

13、参量瑕积分dc f x, y dy在a,b 上一致收敛的充要条件是：对任给正数；，存在不依赖于x的.0，使得当0 ：:：-；时，对一切 a,b ,都有dIdf (x, y)dy使得 0 ：:时，有同时成立，则有f (x,y )dy = Jdf(x,y)dy Jdf (x,y )dyd兰 Lf(x,y)dy + Jdf (x, y)dy 0，存在6 :0(6 d c)，对于任意的n/i，且0龙口 d(n； *：)时，相应的函数项级数O0f(x, y)dy - 7 Un(x)n4在a,b上一致收敛证明(必要性)因为(11)在a,b上一致收敛，由定理 5知：对任给的；0,必存在0(、： ：d c)，

14、当0 ： 八卜时，对一切a,b，总有dL f(x,y)dy Q(15)成立令n = d -代，由A d(n ：)且A递增，则 n0(n-)且递减由数列极 限定义，对上述： 0，存在正整数 N，只要m n N时，就有0 ： m n获，于是Un(X)+Un + (X)+Um(X)|An 令Am +=L f(x, y)dy+ L f (x,y)dyAnAmAm +f (x,y)dy=f(Xy)dyw根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数(14)在a,b上一致收敛(充分性)用反证法，假设(11)在a,b上非一致收敛，则存在某一正数；0 .0，使得-、： 0($ .；：d c)，存在相应的 0 ：

15、：:和 Xa,b，有d 1f(X；y)dyK%现取二 min 1, d -c，则存在 0 ： 2 ”： i： r 及 x a,b，使得d鸟f (X1, y)dy 3S01一般的取、；n 二 min , n 二- n( n 一2)，则有 0 ： n 1 ： n ：及 x a,b，使得ndN丰f(x,y)dy“(16)令An =d - n，则An是递增数列，且有lim Ad .考察级数n h: A、Un(x)八f (x, y)dy(17)nTnW A1由(16)式知存在正数p .0，对任意正整数N，只要n N就有某个x a,b，使Un(x) = A f(Xn, y)dy 以0这与函数项级数(14)

16、在a,b上一致收敛的条件矛盾，故(1)在a,b上一致收敛.定理3.3.43.3.4 (狄利克雷判别法)若含参量瑕积分dC f(x, y)g(x, y)dy满足：d *(1)对一切cvdvd，含参量正常积分 J f (x, y)dy对参量x在a,b上一有界，即c存在正数M，对任何c : d及一切x a,b，有d “f f(x,y)兰Mc(2)对每一个x a,b，函数g(x, y)关于y单调且当目一d时，对参量x, g(x, y)致收敛于0 .则含参量瑕积分dc f (X, y)g(x, y)dy若含参量瑕积分dC f(X, y)g(x, y)dydc f(x,y)dy这与假设含参量瑕积分在a,b

17、上一致收敛.定理3.3.53.3.5 (阿贝尔判别法)满足：(1)含参量瑕积分在a,b上一致收敛;(2)对每一个a,b，函数g(x, y)为y的单调函数，且对参量x, g(x, y)在a,b上一致有界，则含参量瑕积分dc f (x, y)g(x, y)dy在a,b上一致收敛.d定理 3.3.63.3.6 设 f (x,y)在a,b c,d)上连续，对任何 x a,b, f (x, y)dy 收敛，且ddC f (b, y)dy发散，则f (x, y)dy在a,b)上不一致收敛.d证明用反证法.若.f (x, y)dy在a,b)上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的C；0，存在0(： ： dc)，

18、当0 ： * 0,取色=叹，当0 e时，即有x -sin xy dy、:y x因此，对于0 ： x : 1它是一致收敛的于是积分1 sinxy对于-X- (0,1) 一致收敛1 1例4.44.4证明含参量瑕积分In(xy)dy在,b(b 0)上一致收敛b证明由条件可知In(xy) = In x In yln bIn y0In (xy)dy收敛所以由魏尔斯特拉斯 M判别法知:0In (xy)dy1在,b(b1)上一致收敛x sin xyx sin xy ,x =dy-xb例4.54.5证明含参量瑕积分在0,d一致收敛.证明 由于收敛(当然，对于参量 x，它在0,d上一致收敛).函数g(x,y)二

19、ey，对每个0,d单调，且对任何0乞xzd,0乞y乞1 ,都有g(x,y)|，故由阿贝尔判别法知1_xy 10e dy.y在0,d上一致收敛.结束语本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义 ，性质及其一致收敛性判别定理 然后参照含参 量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理 最后结合典型例题说 明这些定理在实际解题中的运用 参考文献1 华东师范大学数学系编，数学分析M,北京高等教育出版社,2001.2 复旦大学数学系编，数学分析M,北京高等教育出版社，1985.3 钱吉林等主编，数学分析习题解精粹M,上海崇文书局，2003.4 吉米多维奇数学习题集M，北京人民教育出版社，1978.5 裴礼文，数学分析中典型问题与方法M，北京高等教育出版社，1993.6 Tom M. Apostol,Mathematical Analyses M, Beijing China Machine Press，2004.Unifor