f分布t分布与卡方分布

1、1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它 们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当Xi、X2Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，x2的分布称i为自由度等于n的2分布，记作Z2(n),它的分布密度p(z)=z 0其他,n式中的,=0：u2e_udu，称为 Gamma数，且丨 1 =1,2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z相互独立，且 丫2(n) , Z2(m，那么 丫+Z2(n+m。证明:先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据 2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令y=x 2+x2+.+x2, Z=

2、xn.+xn 2+- +Xn m，Y+Z= X 2+X2+- +Xn + X2+1+x2+2+X2 +m，即可得到丫+Z2(n+m。2. t分布假设X与丫相互独立，且XN(0,1) , 丫2(n)，那么Z = X 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Zt ( n)，它的分布密度请注意:t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与这时，t分布的分P(z)=标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 假设X与丫相互独立，且 X2( n) , 丫2(m ,那么Z=x 丫的分布称为第一自由度等于n第二自由度等于 m的Fnm分

3、布，记作ZF ( n, m，它的分布密度p(z)=n_iz2z 0请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序(m nz) 22 20,n+ m ,其他。有关，当A当ZF ( n, m时，丄F ( m ,n)。Z4. t分布与F分布的关系假设 Xt( n)，那么 丫=W F(1,n) o证：Xt( n) , X的分布密度P( x)=止1n丿Y=X 2 的分布函数 Fy (y) =PY y=PX 2 0 时，FY(y) =P-yvxv y=；p(x)dx=2 oy p(x)dx,J l_i2 y2 _1 n，nn2卩Y=X 2的分布密度pY(y)= .12 丿 12 J (n 十 y

4、) 2与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同， 因此 Y=X2 F(1, n) o为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函 数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分 位数的概念如下:4. 常用分布的分位数1) 分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a分位数、上侧a分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F X，实数a满足0 a 1 时，a分位数是使PX入=1 - F入=a的数入,双侧a分位数是使PX 入 2=1 - F入 2=0.5 a 的数入 2。因为1- F入=a

5、, F入=1 - a ,所以上侧a分位数入就是1- a分位数X 1- a ；F入1=0.5 a , 1- F入2=0.5 a ,所以双侧a分位数入1就是0.5a分位数X 0.5 a ,双侧a分位数入2就是1- 0.5 a分位数X 1-0.5Oaa分位数记作U o.5 a ,2标准正态分布的a分位数记作ua , 0.51- 0.5 a分位数记作U 1- 0.5 a。PXU 1- 0.5 a = F 0,1 (u 1- 0.5 a )=1 -5 a。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当 a =0.5 时，Ua =0 ；当 a 0.5 时，Ua U 1- a =1 - F 0,1 (U 1- a )

6、= a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua =- U 1- ao例如， U 0.10 =- U 0.90 =-1.282 ,u0.05 =-u0.95 =-1.645 ,u0.01 =-u0.99 =-2.326 ,u0.025 =-u0.975 =-1.960 ,u0.005 =-u0.995 =-2.576 o又因为P|X|0 ,当 X2(n)时，PX 2 a (n)= a o例如，20.005 =0.21,20.025 =0.48,20.05 (4)=0.71 ,20.95 (4)=9.49 ,20.975 (4)=11.1 ,20.995 (4)=14.9。4) t分布的a分位

7、数记作t a (n) o当Xt (n)时，PX30时，在比拟简略的表中查不到t a (n),可用ua作为t a (n)的近似值。5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)。Fa (n , m)0，当 X F (n , m)时，PX=1-1a , P a ,X F 1-. (m, n)XF 1-： (m,n)又根据F分布的定义，丄F(n, m),P- Fa ( n, m) =XX因此 F a ( n, m=10F1(m , n )1Fi_： (m , n )当 x F(m n)时，PX F i- a (m n )=1 - a,a ,例如，F 0.95 (3,4)=6.59, F 0.975

8、(3,4)=9.98,F 0.99 (3,4)=16.7, F 0.95 (4,3)=9.12F 0.975 (4,3)=15.求分位数 F0.05 (7,5)， F0.95 (10,12), F 0.99 (4,3)=28.7,F 0.01 (3,4)=【课内练习】128.7F 0.025(3,4 5 6 7)=115.1F 0.05(3,4)=19.12习题答案：1.2.73， 21.0。2.-1.860， 1.782。3.丄， 3.37。4. 1.960 为上侧 0.025 分位数，-1.960 与 1.960488为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为 双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位 数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，丄与5.41为双侧0.1分位数，丄与9.01为双侧0.19.015.41分位数。8. 0.1。4.由u 0.975 =1.960写出有关的上侧分位数与双