全国高中数学竞赛课件(免费)

1、高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1. 平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、 平移、旋转。圆的幕和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2代数周期函数，带绝对值的

2、函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程 *3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组， 高斯函数x，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理 *，孙子

3、定理*。4. 组合问题 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇 数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数 个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。2、代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配

4、方、待定系数法；对称式和轮换对 称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。3、方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值 的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。4、函数二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。5、几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系； 面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质

5、；相似形的概念和性质； 圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。6、逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。三、高中数学竞赛基础知识第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素X在集合A中，称X属于A，记为A，否则称X不属于A,记作X-A。例如，通常用N,Z，Q, B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空

6、集，用-来表示。集合分有限集和无限集两种。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法，如1，2， 3;描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，xx0分别表示有理数集和正实数集。鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴。定义2子集：对于两个集合 A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合 B中的元素， 则A叫做B的子集，记为 A B，例如N Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称 A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属 于A，贝y A叫B的真子集。 籟丛妈羥为贍债蛏练淨。定义3

7、交集，A B二xx A且x B.定义4并集，A B二xx A或x B.定义5补集，若A I,则G A二xx I,且x- A称为A在I中的补集。定义6差集，A B=xxA,且x老B。定义7集合xa ： x ： b, R,a : b记作开区间(a, b)，集合xa Ex 兰b,x R,a cb记作闭区间a,b， R记作(一,垃).定理1集合的性质：对任意集合 A，B，C,有：(1)A (B C) =(A B) (A C);(2)A (B C)=(A B) (A C)；(3) C1 A GBd B);(4)C1 A GB=G(A B).【证明】这里仅证(1)、( 3)，其余由读者自己完成。(1 )若

8、A (B C)，则A，且B或C，所以(A B)或(A C)， 即 x (A B) (A C)；反之，x (A B) (A C)，则 x(A B)或x(AC)，即 x A且 x B 或 x C，即 x A且 x (B C)，即 x A(B C).(3)若 C1 A C1 B，则 x C1 A或 x C1 B，所以 A 或B，所以x； (AB)，又x I，所以x G (A B)，即GA G B G (A B)，反之也有C1 (A B) C1 A C1 B.定理2 加法原理：做一件事有 n类办法，第一类办法中有 m 种不同的方法，第二类办法 中有m2种不同的方法，第n类办法中有mn种不同的方法，那么

9、完成这件事一共有 N =m1 m2亠.亠mn种不同的方法。 預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。定理3乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同 的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有 N=m1 m2i，mn种不 同的方法。 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。二、方法与例题1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例 1 设 M =aa = x2 y2,x, y 乏 Z，求证：(1) 2k _r M ,(k Z);(2) 4k 一2 M,(k Z);(3) 若 p .二 M ,q 二 M ，贝U pq 二 M .2 2证明(1)因为 k,k -r Z，且 2k-1

10、二 k -(k-1)，所以 2k -V M.(2)假设 4k 一 2 M (k Z)，则存在 x, y Z，使 4k - 2 = x2 - y2,由于 x - y 和 x y 有相同的奇偶性，所以 x2 - y2 = (x - y)(x y)是奇数或4的倍数，不可能等于 4k-2 , 假设不成立，所以4k - 2 .-一 M .(3 )设 p =x2 _y2,q =a2 _b2,x, y,a,b Z，贝H pq = (x2 _ y2)(a2 _b2)2 2 2 2 2 2 2 2 2=a a y b -x b -ya (xa _ yb) _(xb _ ya) M(因为 xa - ya Z, x

11、b - ya Z )。2利用子集的定义证明集合相等，先证A B，再证B A，则A=B。例2设A, B是两个集合，又设集合 M满足A M=B M=A B, A B M =A B，求集合 M (用 A, B 表示)。【解】先证(A B)M，若x (A B)，因为A M = A B，所以x A M,x M , 所以(A B) - M ;再证 M = (A B)，若 xM，则 x ABM = AB.1)若 x A，贝Ux A M = A B ； 2)若 x B，则 xBM = AB。所以 M - (AB).综上，M = A B.3 分类讨论思想的应用。例 3 A =xx2 3x + 2 =0, B =

12、xx2 ax + a -1 = 0, C = xx2 - mx + 2 = 0，若A B 二 A,A C 二C，求 a,m.【解】依题设， A =1,2，再由x2 -ax a -0解得x =a -1或x =1 ,因为A B二A，所以B A,所以a-1A，所以a-1=1或2,所以a=2或3。因为 A C = C，所以 C 匚 A，若 C -.,则- m2 - 8 ： 0，即一2 2 m ： 2、2 , 若C .,则1 C或2 C，解得m = 3.综上所述，a = 2 或 a = 3 ； m = 3 或-2 2 ： m ： 2 2。4 计数原理的应用。例 4 集合 A, B, C 是 1=1 ,

13、2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0的子集，（1）若 A B = l , 求有序集合对（A, B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB, B A, A B,l中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合 对有310个。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有 210 =1024个，非空真子集有

14、 1022个。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。5.配对方法。例5给定集合I二1,2,3，n的k个子集：A1, a2- , a,，满足任何两个子集的交集非k的值。坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚。2nJ对，每一对不能同在k个子集中出现，否则，若空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 这k个子集中，因此，k乞2n；其次，每一对中必有一个在这有一对子集未出现，设为C1A与A,并设A 入=：，则A, 乂 C1 A，从而可以在k个子集中再添加C1 A，与已知矛盾，所以 k _2n。综上，k =2n_J。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。6 竞赛常用方法与例问题。

15、定理4 容斥原理；用 A表示集合A的元素个数，则 AUB =|A+|B - AB,aUbUc|=|A+|B + C AB A “C B“C + A“ B“C，需要 xy 此结论可以 推广到n个集合的情况，即 ann-Z A 仃4A n a n 乓nU AA-+(-1)nn Ai=1i =1i羽1笙述应i=1定义8集合的划分：若 A An =I，且AAj=Q（1空i,j乞n,i = j），则这些子集的全集叫I的一个n-划分。定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6抽屉原理：将mn 1个元素放入n（n 1）个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m T个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个

16、元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄。例6求1, 2, 3, ,100中不能被2, 3, 5整除的数的个数。【解】记I =1,2,3,，10% A=x1兰x00,且x能被2整除（记为2x）,B =x1 x 100,3x, C =x1 兰x 兰100,5x，由容斥原理,AUBUC = A+|B +C aCb bPIC CnA + AGBnC =罟十罟十晋-罟-器# J0 =74，所以不能被2，3，5整除的数有I - AUbUc =26个。例7 S是集合1 , 2,，2004的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个兀素？綾镝鯛駕櫬

17、鹕踪韦辚糴。【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组，分成 6组，其中一组只有一个数，若 S含有 这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组， 与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。 又因为2004=182X11+2，所以S 一共至多含有182X5+2=912个元素，另一方面，当S=r|r =11k +t,t =1,2,4,7,10,r “004, N时，恰有 S = 912，且 s满足题目条件,所以最少含有912个元素。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦 例8 求所有自然数n(n X2)，使得存在实数a1 ,a2,an满足:【

18、解】当n =2时,a1 =0,a2 =2,a3ai F仁 i ： j 二1,2,，葺2.a1 = 0,a2 = 1 ；当 n = 3 时，a1 = 0,a2 = 1, a3 = 3 ;当 n = 4 时,=5, a4 = 1。下证当n_ 5时，不存在a1 , a2 / ,an满足条件。n(n 1):an，则 an 二所以必存在某两个下标i ： j，使得an -1 = an - a2，即 a? -1，所以ai-aj-an -1，所以 an -1=an1玄1 =anj 或ann(n -1)n(n 1).,an.=an -1 或 an, a2 = 1。10 / 93若 an _n(n1)-an -

19、1，考虑 an - 2，有 an 2 - and 或 an - 2 = an a2 , 即 a2 = 2，设 a*q = a* -2，则 a*/ -an = aan4，导致矛盾，故只有 a：二 2.考虑 an -3，有 an -3 = an或 an -3 二 an - a3，即 a3 = 3，设 an - 3 二 an，则an 4 an=2 =a2 - a0,推出矛盾，设a3 =3，贝y an - an = 1 二 a3 - a2,又推出矛盾,所以an =a2,n =4故当n 一 5时，不存在满足条件的实数。若 an /nJ%2 ，考虑 an -2，有 an -2 f 或 an -2 *3，即

20、玄3 = 2 ,这时玄3 - a? = a? - ai ,推出矛盾，故an=an - 2。考虑 an - 3，有an - 3 = an_2 或 an -3=an - a3，即 a3 =3，于是 a3 - a = an - an，矛盾。因此 an_2 =an - 3，所以 an i -an 2 = 1二a2 - ai，这又矛盾，所以只有an工二a2，所以n = 4。故当n - 5时，不 存在满足条件的实数。 猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。例9 设A=1 , 2, 3, 4, 5, 6, B=7 , 8, 9,n，在A中取三个数，B中取两个 数组成五个元素的集合 Ai , i =1,2，,20, Ai n

21、Aj 2, j 0时，f(x)的图象开口向上，在区间(-a, X。上随自变量x增大 函数值减小(简称递减)，在X。,-a)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a0时，方程f(x)=0即ax +bx+c=0和不等式 ax +bx+c0及ax+bx+c0时，方程有两个不等实根，设 X1,X2(X1X2),不等式和不等式的解集分别是 x|XX2和 X|X1XX2，二次函数f(x)图象与X轴有两个不同的交点，f(x)还可写成 f(x)=a(x-x”(x-x2).釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。b2) 当厶=0时，方程有两个相等的实根X1=X2=X0=，不等式和不等式的解集分别是2abX| - 和空集一，f(

22、x)的图象与X轴有唯一公共点。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。3) 当厶0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和-.f(x)图象与x轴无公 共点。当a0,当x=X0时，f(x)取最小值f(x)=4ac - b24a,若a0)，当x m, n时，f(x)在m, n上的最小值为f(x)；当X0n时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。谚辞調担鈧谄动禪泻類。定义1能判断真假的语句叫命题，如“35 ”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。注1“p或q”复

23、合命题只有当p, q同为假命题时为假，否则为真命题；“ p且q”复合命题只有当p, q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“ p”恰好一真一假。熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。定义2原命题：若p则q( p为条件，q为结论);逆命题：若q则p；否命题：若非p则q； 逆否命题：若非 q贝y非po鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真，则记为p= q否则记作pq.在命题若p则q”中， 如果已知p= q,则p是q的充分条件；如果 q= p，则称p是q的必要条件

24、；如果 p= q但 q不=p,则称p是q的充分非必要条件；如果 p不= q但p= q，则p称为q的必要非充 分条件；若 p= q且q= p，贝U p是q的充要条件。 纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。二、方法与例题1待定系数法。2例1 设方程x -x + 1=0的两根是a,3,求满足f(a )= 3 ,f(B )= a ,f(1)=1的二次函数f(x).颖刍 莖峽饽亿顿裊赔泷。【解】设 f(x)=ax2+bx+c(a = 0),则由已知 f( a )= 3 ,f(3 )= a 相减并整理得(a - 3) ( a +3 ) a+b+1=0 ,因为方程x2-x+1=0中 = 0,所以 a - 3，所以(a +

25、 3 )a+b+1=0.又a + 3 =1,所以a+b+仁0.又因为 f(1)=a+ b+c=1 ,所以c-1=1，所以c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.2再由 f( a )= 3 得 a a -(a+1) a +2= 3 ,所以 a a -a a +2= a + 3 =1，所以 a a -a a +仁0.即 a( a 2- a +1)+1-a=0,即 1-a=0,所以a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2.方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c满足-4 f(1) -1, -1 f(2) 5,求f(3)的取值范围。濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。【解】因为-

26、4 f(1)=a-c -1,所以 1 -f(1)=c-a 4.又-1 f(2)=4 a-c4,3 333所以-1 w f(3) w 20.3禾U用二次函数的性质。例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c R, a+0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x)=x也无实根。銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。【证明】若a0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)= f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x R,f(x)-x0即f(x)x，从而f(f(x)f(x)o挤貼綬电麥结鈺贖哓类。所以f(f(x)x,所以方程f(f(x)=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题是

27、否正确。4利用二次函数表达式解题。2 1例4 设二次函数f(x)=ax +bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根X1, x2满足0X1X2，赔荊紳谘侖驟a辽輩袜錈。(I) 当 x (0, X时，求证：xf(x)X1 ；(n)设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0 -.2【证明】因为Xi, X2是方程f(x)-x=o的两根，所以f(X)-X=a(X-Xi)(x-X2), 即 f(x)=a(x-Xi)(x-X2)+x.(I) 当 x (0, Xi)时，x-xi 0, x-X20，所以 f(x)x.1其次 f(x)-xi=(x-xi)a(x-x2)+1= a(x-xi)x-x2+0，所以

28、 f(x)xi.塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。a综上，xf(x)i，求证：方程的正根比 i小，负根比-i大。裊 樣祕廬廂颤谚鍘芈蔺。【证明】方程化为 2a2x2+2ax+i-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+i-a2,2 2 2f(i)=(a+i) 0, f(-i)=(a-i) 0, f(0)=i-a 0,所以f(x)在区间(-i,0)和(0, i)上各有一根。即方程的正根比i小，负根比-i大。6定义在区间上的二次函数的最值。【解】当x取何值时，函数y=42x x 5(x2 i)2取最小值？求出这个最小值。/ 2,令 ru,则 0uwi。22 X2 i22( i )丄i9 i9y=5u -

29、u+i=5 u -一 ! + 3 , i0 丿 2020iig且当u=i_0即x=_3时，时云例7设变量x满足x2+bxw -x( b-i)，并且x2+bx的最小值是 【解】由 X2+ bx -x(b-i)，得 0 X -(b+i).-，求b的值。2b2i )-(b+1)，即 b-2 时,2x +bx在0, -(b+1)上是减函数,所以x+bx的最小值为3 综上，b=-.21 3b+1,b+仁-,b=-.2 215 / 937元二次不等式问题的解法。已知不等式组 2 , 2x x +a ax +2a 10的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为xi=a,

30、 X2=1-a, 若a 0，则Xix2.的解集为ax1-2a.因为1-2a 1-a，所以a0,i )当 0a 时，X1X2,的解集为 ax1-a.2因为0ax1-a 时，a1-a，由得 x1-2a,2所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)w 3,所以1a2,并且当1aw 2时，不等式组恰有两个整数解0, 1。综上，a的取值范围是1a 0对一切实数x,y,z都成立，问A, B, C应满足怎样的条件？(要求写出充分必要条件，而且 限定用只涉及 A, B, C的等式或不等式表示条件)仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驚。【解】充要条件为 A, B, C 0 且 A2+b2+C2w 2(AB+BC +

31、CA).先证必要性，可改写为A(x-y)2-( B-A-C)(y-z)(x-y)+ C(y-z)2 0若A=0，则由对一切x,y,z R成立，则只有B=C，再由知B=C=0,若A=0，则因为 恒成立，所以 A0 , =(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2 0 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC 0，即 A2+B2+C2 0, C 0,所以必要性成立。再证充分性，若 A 0, B 0, C 0 且 A2+b2+C2w 2(AB+BC+CA),1) 若a=0，则由B2+C2w 2BC得(B-C)20，则由知0,所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9 常用结论。定理 1 若 a, b

32、 R, |a|-|b|w |a+b| |a|+|b|.【证明】因为-|a|w a |a|,-|b|w b |b|,所以-(|a|+|b|)w a+b0，则-m x 2ab;若 x,y R+,则 x+y 2 xy.(证略)注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章函数一、基础知识定义1映射，对于任意两个集合A, B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素 x,在B中都有唯个元素与之对应，则称f: At B为一个映射。瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。定义2单射，若f: Atb是一个映射且对任意 x, y A, x = y,都有f(x) = f(y)则称之为单射。 鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類

33、。定义3 满射，若f: AtB是映射且对任意 y B，都有一个x A使得f(x)=y，则称f: AtB 是A到B上的满射。 栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。定义4 一一映射，若f: At B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B到A由相反的对应法则 f1构成的映射，记作 f1： AtB。辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。 定义5函数，映射f: AtB中，若A, B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x A, y B,且f(x)=y (即x对应B中的y),则y叫做x的象，x叫y的原象。集 合f(x)|x A叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义

34、的未知数的取值范围，如函数y=3 x-1的定义域为x 0,x R.峴扬爛滾澗辐滠兴渙藺。定义6 反函数，若函数f: AtB (通常记作y=f(x)是一一映射，则它的逆映射f1： AtB叫原函数的反函数，通常写作ynfx).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x, y互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数1 1y=的反函数是 y=1- (X式0).詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。1 -xx定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函数。定义7函数的性质。(1 )单

35、调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的 X1, X2I 并且 X1 X2,总有 f(X1)f(X2)，则称f(x)在区间I上是增(减)函数，区间 I称为单调增(减)区间。(2) 奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的 x D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的 x D，都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶 函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。(3) 周期性：对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)

36、为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小 的正数T0,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。定义8 如果实数ab,则数集x|axb, x R叫做开区间，记作(a,b),集合x|a x b,x R记作闭区间a,b，集合x|axw b记作半开半闭区间(a,b，集合x|a xa记作开区间(a, +),集合x|x0); (1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；(3)向下平移b 个单位得到y=f(x)-b的图象；(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；(5)与函数y=-f(-x) 的图象关于原点成中心对

37、称；(6)与函数y=f1(x)的图象关于直线y=x对称；(7)与函数y=-f(x) 的图象关于 x轴对称。陽簍埡鮭罷規呜旧岿錟。定理3复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：1冋增异减 。例如y, u=2-x在(2 xg,2)上是减函数，1y= 在(0, +m)上是减函数，1所以 y=在(-g ,2)上是增函数。u2-x沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题1 数形结合法。1例1求方程|x-1|= 的正根的个数.x1【解】分别画出y=|x-1|和y= 的图象，由图象可知两者有唯x一交点，所以方程有一个正根。例 2

38、求函数 f(x)= ： x4 -3x2 -6x - 13 -.Jx4 -x2 1 的最 大值。222I2222【解】f(x)=*；(x -2) +(x3) ：(x -1) +(x0)，记点 P(x, x-2), A (3, 2), B ( 0,钡風縣緱虜荣产涛團蔺。1) ,贝U f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|FA|-|PA| |AB|32(2 -1)2二,10,当且仅当P为AB延长线与抛物线 y=x2的交点时等号成立。所以 f(x)max= 10.2.函数性质的应用。例 3 设 x, y R 且满足+1997(x-1)1，求 x+y.Jy _1)3 +1997(y _1) =1【

39、解】设f(t)=t3+1997t,先证f(t)在(4, + R)上递增。事实上，若a0，所以 f(t)递增。懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。 由题设 f(x-1)=-1= f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例4 奇函数f(x)在定义域(-1, 1)内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0,求a的取值范围。謾 饱兗争詣繚鮐癞别濾。【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。 又f(x)在定义域(-1，1)上递减，所以-11-aa2-ii，解得0a1。例5 设f(x)是定义在(-a, + R)上以2为周期

40、的函数，对k乙 用lk表示区间(2k-1,2k+1, 已知当x Io时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。【解】设x |心则2k-10，则由得 *0,设 f(t)=t( t24+1),则 f(t)在(0, + a)上是增函数。又 f(m)= f(-n)，4所以m=-n,所以3x-1+2x-3=0，所以x=.麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。54ii)若m0。同理有 m+ n=0,x=，但与m-1=-.2 221 11当x=- 时，y取最小值-，所以函数值域是-,+ a)。2 224. 换元法。例 8 求函数 y=( .1 x + 1 _ X +2)(1 - x2 +1),x

41、 0,1的值域。【解】令,1 x + - x =u，因为 x 0,1，所以 2 u2=2+2 i1 - X2 4,所以 2 u0，解得 一 w y 1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，1所以函数值域为,7。76关于反函数。例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-8，+ g)上递增，求证： y=f-1(X)在(-g，+ g )上也是增函数。風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。【证明】设 X1 x2与假设矛盾，所以 丫2。灭暧骇諗鋅猎輛觏馊藹。即 y=f-1(x)在(-g，+ g)递增。例11设函数f(x)=计4x十1，解方程：f(x)=f-1(x).3x + 22 1【

42、解】首先f(x)定义域为(-g, ) U , +g)；其次，设X1, X2是定义域内变量，且3 42 4x2 +1X1X20,铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。4x115(x2 - )3为2 (3x2 2)(3x1 2)2 1所以耳乂)在(-g,)上递增，同理f(x)在-,+ g)上递增。3 4在方程 f(x)=f1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y,则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x 0,所以 x,y1 、卜 ,+g).攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。4若 x = y,设 xy,贝卩 f(x)=yy也可得出矛盾。所以 x=y.即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-仁0,即

43、(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为 x 0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+10,所以 x=1.第四章几个初等函数的性质一、基础知识X1 指数函数及其性质：形如y=a (a0, a= 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R,值域为(0, + g),当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点(0,1)。趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。2 分数指数幕:an=Ma,an = am ,a,a39 / 933.对数函数及其性质:形如y=logax(a0, a=1)的函数叫做对数函数，其定义域为(0, +g)值域为R,图象过定点(1, 0)。当0a1时，y=logax为增函数。 夹覡闾辁駁档驀迁锬減。4. 对数的性质(M0, N0)；x1) a =M ：二 x=logaM(a0, a-1);2) loga(MN)= loga M+ logaN;/ M、_ |n3) loga () = loga M- logaN; 4) loga M =nloga M ;,N5) logalM =丄 loga M ; 6) aloga M=M; 7) logab=也 b (a,b,c0, a, c=1).视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝。 nlog。a