平方差公式与完全平方公式知识点总结

1、乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2 2 x xyxyy z x22xyy2z2 连用公式变化， xyxyx2y2 x2y2x2y2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：位置变化，xyyxx2y2符号变化，xyxyx2y2 x2y2指数变化，x2y2x2y2xxyy4系数变化，2ab2ab4a2b2换式变化，xyzmxyzm22xy2zm222x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 增项变化， xyzxyz22xy z2 xyxyz 逆用公式变化， xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz完全平方公式活用:把公式本身适当

2、变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：2 2 21. a b 2ab a2 b22. a b 2ab a2 b2 3. a b 2 a b 2 2 a2 b2224. a b a b 4ab灵活运用这些公式，综合运用知识的能力。往往可以处理一些特殊的计算问题例 1 已知 ab 2 ，ab 1，求a2b2的值。例2已知 ab 8 ，ab2，求 (ab)2的值。解：T (a b)：2 a22abb2(ab)2a2 2abb2 (a b)22(a b)24ab2(a b)24ab=(a b)T a b8， ab2(a22b)2824256例 3

3、 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26三、学习乘法公式应注意的问题(一) 、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例 1 计算 (-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“ -5”相同，“2x2”符号相反，因而“ -5” 是公式(a+b)(a-b)二a2-b2中的a,而“ 2x2”则是公式中的b.例 2 计算 (-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2二a2+2ab+b2时，“ -a2”就是公式中的a, “4b”就是公式中的b;若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公 式中的a,而“ a2”就是公式中的b

4、.(解略)(二) 、注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、 “5”两项同号，“ y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技 巧使原式变形为符合平方差公式的形式.例 5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1). 分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项( 2-1), 则可运用公式,使问题化繁为简.(三) 、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2二a2+2ab+b2，可推广得到： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可叙述为： 多项式的平方，

5、 等于各项的平方和， 加上每两项乘积 的 2 倍例 6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3) =4x2+y2+9+4xy-12x-6y(四) 、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.例 10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算， 但逆 用完全平方公式，则运算更为简便.四、怎样熟练运用公式：熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计 算，此时要根据公式

6、特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、 位置变化 女口( 3x+5y) (5y 3x)交换3x和5y的位置后即 可用平方差公式计算了.2、符号变化 女口 ( 2m 7n) (2m 7n)变为一(2m+7n) (2m 7n)后就可用平方差公式求解了 (思考：不变或不这样变，可以吗)3、数字变化 如98X 102992, 912等分别变为(1002) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.4、 系数变化 女口(4m+S (2m 2)变为 2 (2m+1 ) (2m )2444后即可用平方差公式进行计算了.(四)、注意公式的灵活运用

7、有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以 使计算更简便.如计算(a2+1) 2 (a2 1) 2，若分别展开后再相乘， 则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1.对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意 逆向(从右到左)运用.如计算(1 2) (1 4) (1 4)( 1 234占)(1 十)，若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，910而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公 式，则可巧解本题.即原式=(1 2 ) ( 1+三)(1 3 )

8、( 1+1 ) X X1 + ) ( 1+-1)22331010=1 X X X X X x 二丄 x 二耳.2233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变 式，乘法公式的变式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab, a2+b2= (a b) 2+2ab 等.用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.如已知 m+ n=7，mn二一18,求 m2+n2, m2 mn+ n2 的值.面对这样的问题就可用上述变式来解，即 m2+n2二(m+n) 2 2mn=7 2X( 18) =49+36=85, m2 mn+ n2= (m+n) 2 3mn=72 3X

9、( 18) =103.下列各题，难不倒你吧！1、若 a+- =5,求(1) a2+2 , (2) (a - ) 2 的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1) +1的末位数字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2.6 )五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a+ b)(a b)=a2 b2, (a b)=a2 2ab + b2,(a b)(a2 士 ab+ b2)=a3 b3.第一层次一一正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用.例1计算(2x y)(2xy).第二层次一一逆用，即将这些公式反过

10、来进行逆向使用.例2计算第三层次一一活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复 使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式.例 3 化简：(2+ 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)+ 1.分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增 添一个因式“ 2- 1 ”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)+ 1=(22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)+ 仁 216.第四层次变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式 的一些恒等变形式，如 a2+ b2=(

11、a + b)2 2ab, a3+ b3=(a + b)3 3ab(a + b)等，则求解十分简单、明快.例 5 已知 a+ b=9, ab=14,求 2a2 + 2b2 的值.解： v a+ b=9, ab=14,. 2a2 + 2b2=2(a + b)2 2ab=2(92 2 14)=106,第五层次综合后用：将(a + b)2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a2 2ab + b2 综合,可得(a+ b)2 + (a b)2=2(a2 + b2)； (a+ b)2 (a b)2=4ab;合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.例 6 计算：(2x + y z+ 5)(2x y

12、+z+ 5).1 1解：原式=4【(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)24(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x + 5)2 (y z)2=4x2 + 20x + 25 y2 + 2yz z2乘法公式的使用技巧： 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免 负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1)2 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排 列顺序，可以使公式的特征更加明显.例2、运用乘法公式计算：/ 八，111a2(1)导韋)(-4b -3 )；(2) (x-1/2)(x2+1/4)(

13、x+1/2) 逆用公式将幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b),逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时 常会收到事半功倍的效果。例3、计算：(1) (x/2+5)2-(x/2-5)2 ;(2) (a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+12)2 合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.计算：8x - 4x -24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的X的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为2 4x 丫，则可利用乘法公式。4三.先分项，再用公式例 3.计算：2x 3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，X的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘 法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2分解成4与2的和, 将6分解成4与