求二面角平面角地方法

1、寻找二面角的平面角的方法面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们 并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.1.1二面角的相关概念新教材在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究教材如下给出了二面角的平面角的概念：图1面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点 0 ,分别在两个半平面内作射线AO l,BO l，则AOB为二面角丨的平面角2.二面角的求解方法

2、对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所

3、求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展 平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角文档一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在60的二面角 -a-的两个面内，分别有 A和B两点已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB 10，试求：(1) 直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2) 直线AB与平面 所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根

4、据题意，在平面内作AD a ；在平面 内作BEBC、AC.可以证明CD a,则由二面角的平面角的定义，可知-a -的平面角以下求解略.團1例1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-C1 的大小为例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足 AE:EB=CF : FA=CP : BP=1 : 2.如图 2(2)，将 AEF 折起到M1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接 A1B、A1P.(I )与(H )略；(川)求二面角B-A1P-F的余弦值tan /COC 1 =2分析与略解：在例1中，图形的

5、对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性若取BP的中点Q，连接EQ,则在正三角形 ABC中，很容易证得 BEQPEQ也EFEF，那么在图 2(2)中，有 A1Q=A 1F作FM丄A1P于M，连接 QH、QF，则易得厶A1QP ZA1FP ,QMP ZFMP，所以/PMQ= /PMF=90 o，/QMF为二面角 B-A 1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展设正2 57三角形的边长为 3，依次可求得 A1P= 5 , QM=FM=，在 QMF中，由余弦定理得 cos ZQMF=582011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD中，AB

6、CD是边长为1的菱形,且ZDAB=60, PA PD 2 ,pb=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点(1)证明：AD 平面DEF;(2)求二面角P-AD-B 的余弦值.ASBS解：(2)由(1 )知 PGB为二面角P AD B的平面角,在 Rt PGA中，PG221 27(2)2-；在 RtBGA 中，BG212G)2在 PGB 中，cosPG2 BG2 PB2PGB2PG BG例 2 在如图3 所示的三棱锥P-ABC 中,AB=AC=PB=PC=2,BC=2 . 2 ,PA= . 2 .求二面角P-BC-A的大小.解：作BC中点D ,连接 PD,AD.因 PB=PC=AB=AC ,知P

7、D BC,AD BC,又有面PBC与面ABC共棱可得/ PDA为二面角 P-BC-A的平面角而AB=2,BC= 2 2，易知AD=PD= 、2，在 RT? PAD 中,2 2 2PD AD PA cos PDA2PD AD所以二面角P-BC-A的大小为60 .二、根据三垂线定理找出二面角的平面角此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角1 ，过面内一点P作PA丄于A ,作AB丄I于B,连接PB,由三垂线定理得PB丄I，则/ PBA为二面角1 的平面角，故称此法为三垂线法例2 如图，在平面内有一条直线AC与平面 成30 , AC与棱BD成45 ,求平面 与平面 的二面角的大小.分析：找二面角的平

8、面角，可过 A作AF BD ； AE 平面 ，连结FE .由三垂 线定理可证BD EF ,则 AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”“证明EF BD”例3（2006年陕西试题）如图4，平面丄平面 ，在直线I上的射影为Ai,点B在I的射影为Bi，已知AB=2（I ）略；（H ）二面角Ai AB Bi的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB,不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却

9、是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性作AiE丄ABi于ABi于E,则可证 AiE丄平面 ABiB.过E作EF丄AB交AB于F,连接 AiF,则得 AiF丄AB ,ZAiFE就是所求二面角的平面角依次可求得ABi=B iB= ： 2, AiB= 一 3 , AiE= - , AiF= 3，则在 RtKiEF 中, 2 2Sin /AiFE=AAiE3例2.（2009山东卷理）如图，在直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD ,AB=4, BC=CD=2,AA i =2, E、Ei、F 分别是棱 AD、AA i、AB 的中点。（1）证明：直线EE/平面

10、FCCi ;（2）求二面角B-FC i -C的余弦值。证（i ）略解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点，所以 BF=BC=CF, BCF 为 正三角形 取CF的中点O,则OB丄CF,又因为直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中,CCi丄平面ABCD,所以CCi丄BO,所以BCF 为正三角形中，OB 、3,在 Rt CCiF 中，OPF ZCCiF,vOPCCiOFCiFOP在 Rt OPFBiAFOB丄平面 CCiF,过O在平面CCiF内作OP丄CiF,垂足为P连接BP,则ZOPB为二面角 B-FC i -C的一个平面角，在厶cos OPBOPBP22.14+

11、 所以二面角B-FC ! -C的余弦值为练习2 （2008天津）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是矩形.已知 AB 3, AD 2, PA 2, PD 2.2, PAB 60(I)证明AD 平面PAB ;D（n）求异面直线 PC与AD所成的角的大小;（川）求二面角P BD A的大小.分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD丄平面PAB后，容易发现平面PAB丄平面ABCD ,点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面 ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 P BDM39A的大

12、小为arcta n 41图5D1的大小.例3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，为面中心，求二面角A解：在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中 B1D1 A1C1，且 AG B1D1 , B1 D1面 A1B1C1D1，故 B1D1 AC1 , B1D1 A1C1又 A1C1, AG 面 AC 1A1，可知 B1D1 AC1A1过D1作D1M AC1于M，连接O1M则由三垂线(逆)定理可知D1MO1为二面角。1 AC1 D1的平面角.不妨令AA1 2 , 于是，有 D1M, OO1 2 , O1M 6 ,可得33O1M 1cos D1MO11D1M 2所以二面角。1 AC1 D1的大小

13、为60三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为-CD-内的一点，PA 于A点，PB 于B点，如果APB n，试PA求二面角 -CD-的平面角分析： PBPA CDPB CDCD平面PAB 因此只要把平面PAB与平面的交线画出来即可.证明 AEB为 -CD- 的平面角，AEB 180 n （如图 2）注意：这种类型的题，如果过A作AECD ,垂足为E ,连结EB ,我们还必须证明EB CD ,及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC -Aibici中，平面ABi与平面AC1构成的二面角的平面角为30，平面ABi

14、与平面BC1构成的二面角为70 试求平面ACi与平面BC1构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得 DEF，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两 两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别 为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.例4空间的点P到二面角丨 的面 、 及棱I的距离分别2和39为4、3、，求二面角丨的大小.3分析与略解：如图 5，分别作PA丄 于A , PB丄 于B，则易知丨丄平面PAB，设IQ平面PAB=C，连接PC,贝U I丄PC.分别在 Rt AC、Rt BC 中，PC=2.393,PA=4 ,PB=3，则 AC=U

15、,3因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角I的大小为 .分别在 PAB、MBC中，由余弦定理得A1B1AB2=AC 2+BC 2-2 AC BCcos =PA 2+PB 2-2 PA PBcos（1则可解得cos = -,=120 0，二面角丨的大小为120 0.2例5 如图7,在正三棱柱 ABC A1B1C1中，截面AiEC 侧面ACi ,若AAiAB-求平面 A（EC与平面ABiG所成二面角（锐角）的大小解：设A1C AC1 G .因为面 A1C1G与面AC1重合，由题意面 A1C1G 面A1EC，而A1为面A1EC与面A B1C1相交于棱上一点且 A1 面A1C1

16、G，所以面A1C1G为所求二面角的一垂面，GA1C1为所求二面角的平面角在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA） A1B1，可知GA1C1 45故所求二面角的大小为 45四、平移平面法（无棱的一种）例5如图，正方体ABCD - ABGD1中，e为AA1的中点，H为CC1上的点，且CH :12 .设正方体的棱长为a，求平面D1EH与底面A1B1C1D1构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D1，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面 角的平面

17、角有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM AA与DQ相交于m点，过M点作MN CP，与相交于n点.可证平面面角.A图8EMN/平面ABGD1 .这样，求平面D1 EH与平面ABQP的二面角的平面角就转化 为求平面D1EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN为这两个平面的交线，过点M 作MF EN , F为垂足，连结D1F，可证D1F EN .则D1FM为本题要寻找的二例6 （本题关键在利用平移棱的垂线进行解题）在正三棱柱ABC A1B1C1中，D是AC的中AB1 BC1,求二面角D BC1 C的大小.解:作AE BC于E且交BD于F,则

18、AE平面BBiGC，连接BiE,CiB，并记它们的交点为 0连接OF，由OE BEOBiBi Ci|A，知 OF/BiA.由ABiBCi 知 OF BCi,OEBC1，而 BB1ECBCi90BEO ,RT? BBiE RT? BCCi ,因此BBBCBEBECC12Bi B故有BBiBC BEBC22BiE2BiB2BE2号(BC)23bc24可得EOFEBi A 45故二面角DBCi C的大小为45 .Ci例7 在棱长为1的正方体 ABCD AiBiCiDi中,BC的中点，试求面 BiED与平面ABBiAi所成二面角的大小.解:取 AiDi 中点 F,连 FD,FB;取AD中点K连接A?K

19、,BK,A?B.显然,DE?BF为平行四边形因为A?K/FD,KB/DE,知平面 A?KB 平面 DEB?F。取A?B中点O,连接OK,OA,E是Bi由 A水=BK,A ?A=BA 知,OK A?B,OA A?B故/AOK为二面角的平面角.22 i 2OA2 OB2 ,OK22BK2OB2可得cos AOK丄3故平面BiED与平面ABBiAi所成二面角的大小为arccos五、找垂面，作垂线例6如图，正方体ABCD -AiBiCiDi中，M为棱AD的中点，求平面BGCB和平面BCiM所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BCi-C的一个面BiC垂直，与另一个平面MBCl相交，过M点

20、作MP BC，垂足为P，过P作PN BC，交BC1于N点，连结MN，由三垂线定理可 证MN BC1，则MNP为二面角M -BCi-C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找 -a- 所构成的二面角的平面角，可找平面，且b ,1，过b上任何一点A作AB I，垂足为B，过B作BC ，垂足为C，连结AC ,可证六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1 .三线合一例7如图，空间四边形 ABCD中，AB AD 3, BC CDBD 2 , AC

21、5 .试求A-BD-C二面角的余弦值.ACB为-a-的平面角.分析：如图1, AB AD , BC CD,则厶ABD和厶BDC为等腰三角形.过A作AEBD,垂足为E ,连结BDCE.根据三线合一，且E为BD中点，可证CE BD,则AEC为二面角A-BD-C的平面角.2 .全等三角形例8如图，已知空间四边形 ABCD , AB BC 6, AD DC 48 , AC 6 .试求a-bd-c的余弦值.分析：过A作AE BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件， AED和CED全等，可证CE BD ,则AEC为二面角A-BD-C的平面角3 .二面角的棱蜕化成一点例9如图，四棱锥A-BCED中，DB和

22、EC与面ABC垂直， ABC为正三角形.(1 )若BC EC BD时，求面ADE与面ABC的夹角；(2)若BC EC 2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC 与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：(1)交线为一点；(2) 一条交线；(3)三条交线互相平行. 文档在图1中，两条交线BC与DE互相平行,所以肯定有过 A且平行于DE的一条交线.DE于N，过A作AF BC可过A作AM / DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN于F .可证AN AM , AF AM ,则NAF为面ADE与面ABC的夹

23、角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与 平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤 动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问 题就会迎刃而解.七、面积法（不作二面角求法）1 CO BD s.CO S cbd如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为 ，则在Rt山08中，cos2西，在某些情CQ -C10 BD S CBD2BD=CE=AA 1,

24、则A1B1C1B/A1DE,可求得 A1B= 一 2 , A1C1= - 5 , B1C1= . 2,所以等腰厶A1B1C1的面积为,又正AABC4的面积为.设所求二面角的大小为，则 cos55例4. （2008北京理）如图，在三棱锥 P ABC中，AC BC 2 , ACB 90o,AP BP AB, PC AC .(I)求证：PC AB;（n）求二面角 B AP C的大小; 文档分析：本题要求二面角 B AP C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面 对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：（I）证略(n) Q AC BC , AP BP , APCBPC .又

25、 PC AC , PC BC .又 ACB 90，即 AC BC，且 AC I PC C ,BC 平面PAC .取AP中点E .连结BE, CE .Q AB BP , BE AP.Q EC是BE在平面PAC内的射影,CE AP.1AE ?CE 1、2?、21,221 AE?EB 1 丘？V6 V32 2设二面角B AP C的大小为，则cos1 仝、333arccos一3CECi.面角B AP C的大小为图13念CE是AABE在平面 ACP内的射影,于是可求得：AB BP AP . AC2 CB2 2 2 , BEAB2 AE2 . 6 , AE EC2 则虑到三角形ABiE在平面AiBiCiD

26、i上的射影是三角形 AiBiCi,从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值为cos匸一）3例iO求正四面体任意两个面所成二面角的大小解：如图i3，正四面体S-ABC,由正四面体的对称性，不妨求侧面与底面所成二面角的大小易知S ABCS SABS SABS SBC而S的射影为 ABC的中心，所以S AOBS BOC S COASS BOCS ABCi于是有cosSS SBCS SAB S SBC S SCA 3i故正四面体任意两面所成二面角的大小为arccos- 3例ii如图i4,在正方体ABCD AiBiCi Di中,E为CC?中点，F在iBB?上，且BF=

27、BB?,求平面A?EF在底面ABCD所成二面角的余弦值3解：如图i4所示，在正方体ABCD AiBiCiDi中，图i4Ai EF在底面ABCD内的射影为 ACB .由射影面积公式知cosSS ABCS A1EF4故所求二面角的余弦53值为61 5353八、将无棱二面角转化为有棱二面角直接作出无棱二面角的棱， 将无棱二面角转化为有棱二面角，按有棱二面角来处理，作棱有两种常用的方法: 作交线，由交点得棱； 作平行线，即为棱 例3 （ 2008湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD= 60 ,E是CD的中点,PA丄底面 ABCD , PA= 2.（I）证明：平

28、面 PBE丄平面PAB;（H）求平面 PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整 （延长AD、BE相交于点F,连结PF.）（I）证略（H）延长 AD、BE相交于点F,连结PF.过点A作AH丄PB于H，由（I）知平面PBE丄平面PAB,所以AH丄平面PBE.在 RtKBF 中，因为/ BAF = 60 ,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt APAF中，取PF的中点G,连接AG.再在完整图形中的 PF上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。则AG丄PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得,PF丄HG.所以ZAGH是平面PAD

29、和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰Rt APAF中,在 Rt AB 中,侧面AH dPBAPgAB 2一 AP2AB25所以，在 RtAAHG 中，sin AGH2,55AHAG2,555105故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcs in5练习3已知斜三棱柱 ABC AiBiCi的棱长都是a，侧棱与底面成600的角,BCCiBi 丄底面 ABC。(1)求证：ACi 丄 BC ;（2）求平面ABiCi与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过 A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为45。）如图11中只现出两个局部半平面的一个公共点P,图中

30、没有给出二面角的棱此时，若在二面角的两个半平面内各存在一条直线且相互平行 ，则过P分别作这两条直线的垂线PQ和PR,则/QPR就是二面角的平面角PAB与平面PCD所成二面角的余弦值.例9如图12,P-ABCD为正四棱锥，边长为 a，求平面解：如图，过P点作I/AB,则I 面PAB.故在 P-ABCD 中有 I / AB,I /CD .所以，丨 面PCD,知面PCD 面PAB I.作AB中点 E,CD中点F.连接 PE,PF.易知 PEAB,PEPF CD,PF I,可知/EPF为所求二面角的平面角由条件PE=PF= a,EF a，得到2I，又图12cos EPF PE2 PF2 EF22PE

31、PF故平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 -6九、向量法可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。若二面角I 两个半平面的法向量分别为n仆啓且知道二面角 I 为锐角（钝角），则cosnj n2(cosnin2归）,其中mg为二面角I的平面角.定理1设二面角I 为,B I；AE I于 E, BF I于 F ,则，有图19文给出另一结论:定理2 如图19，空间任一条直线 L,A,B是直线L上的两个点,M是空间

32、任一点,MNL于N,则NM图20AM ABAM2 ABAB利用上述两结论我们可以利用空间坐标向量计算二面角，避免产生二面角的平面角与其法向量夹角的误判，同时又避免了对垂足M,N坐标的判断例14 5如图20,已知正方形 ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直，AB . 2, AF 1 ,M是线段EF中点，求二面角 A-DF-B的大小.解：如图建立空间直角坐标系C xyz，则 A(、2,、2,0),B(0八 2,0),D(2,0,0),F(2 2,1).作AM DF于M,BN DF的延长线于N,则MA与NB所成的角的大小与二面角 A-DF-B的大小相等MA DA DMDA 咤 DF (0昌 f)33

33、DFNB MADB DNDB DF厂逅 2DB DF ( .2,可，-)33DFcosMANBNB故二面角A-DF-B的大小为60 .例12如图15,在矩形ABCD外存在一点P,使PA 面 ABCD，PA=PB=1,BC=2. 求二面角 B-PC-D 的大小.解:由题意建立如图空间直角坐标系则 A(0,0,0)P(0,0,1)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)，设 面PAC 的法n1 (x1, y1, z1),面 PCD 的法向量 n2(X2, y2,Z2)则有由n1 PBn1 PCn1(1,0,1)n2 PD 0n2 PC 0(0,1,2)向图15得cosn1 n2n1n2注意到B-PC-D,105为钝角，故B-PC-D的大小为V10arccos5例4：2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面 ABCD, AD/BC/FE ，ABAD，