康托的连续统基数问题

1、精品文档你我共享 集合论的创建者 Cantor（康托尔，1845-1918）惊人的创造了超限基数与超限序数。 对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基 数。自然数集合的基数用（阿列夫0）表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴 度。可列集的基数通常记作（阿列夫0），用a表示。与实数集 R1对等的集的基数又称 为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中 aa=c ，ca=c。诸无限集所具有的基数远非仅仅 a与c。下一个便是序数的概念。 Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的（simply ordered），

2、假如它的任何 两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2,则或者是m1前于m2，或者是 m2前于 m1 ;记号表示：m1 m2或m2m1。再贝卩，若 m1 m2与m2m3，贝U m1m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。两 个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1 , m2 对应于n2，而m1m2，则必n1 52。两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。 作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集， 不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集 合按它们的自然顺序，其

3、序数w用表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合，4, 3, 2 , 1的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为 *w+w。接着Can tor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二 个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个 最初的正整数所构成的集合，即1 , 2 , 3 ,1 , 2 , 3, 4, 5,其序数为w+5。序 数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。现在他引进超限序数的整个集合，这 在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引 进这些新的序数，他把全序集限制在良序集（well

4、-ordered）的范围之内。一个全序集叫 做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数 都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1 , 2, 3,我们用Z1表示上述第一级 序数。在第二级的序数是：w, w+1 , w+2 , , 2w , 2w+1 , ,3w , 3w+1 , ,w2 , ,w3 , , wg 我们用Z2表示，其中每一个都是基 数为（阿列夫0）的集合的序数。.Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个 集合是不可列的，从而 Can tor引进一个新的基数（阿列夫1）作为集合Z2的基数。接着 证明（阿列夫1）为（阿列夫0）的后继的基数。第三级

5、的序数用Z3表示，它们是：Q , Q+1 , Q+2 ,Q+Q ,这些是良序集中基数为（阿列夫1）的集合的序数。而 Z3 这个序数的集合的基数大于（阿列夫1） , Can tor用（阿列夫2）来表示它的基数。这个序 数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。1883年，Can tor已经证明，对于给定 的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基 数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是（阿列夫0），则其全部子集构成的集合 具有基数2人（阿列夫0）。Cantor已经证明2人（阿列夫0）=c，这个c就是连续统的基数。 另一方面，他通过序数引进了 （阿列夫1），并证

6、明（阿列夫1）是（阿列夫0）的后继者。于 是（阿列夫1）=c。至于（阿列夫1）=c是否成立，即连续统假设（continuumhypothesis） 是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。则或者是m1前于m2,或者是 m2前于 m1 ;记号表示：m1 m2或m2m1。再贝U,若 m1 m2与m2m3，贝U m1m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。 两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1 , m2对应于n2，而m1 m2，则必n1 n2。两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。 作为全序集的例子，我们可用任一有限数集

7、合并按任何给定的顺序排列。对于有限集， 不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集 合按它们的自然顺序，其序数用w表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合，4, 3, 2 , 1的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为 *w+w。接着Can tor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二 个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个 最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，,1 , 2 , 3, 4, 5,其序数为W+5。序 数的相等与不相等，也可以很明显地给出定义。现在他引用超限序数的整个集合

8、，这 在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引 进这些新的序数，他把全序集限制在良序集（well-ordered）的范围之内。一个全序集叫 做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数 都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3,我们用Z1表示上述第一级 序数。在第二级的序数是：w，w+1 ，w+2，2w， 2w+1 ，3w， 3w+1 ， w2，w3，wAn,我们用Z2表示，其中每一个都是基数为（阿列夫0） 的集合的序数。Z2,作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个集合是不可列的， 从而Cantor引进一个新的基数（阿

9、列夫1）作为集合Z2的基数。接着证明（阿列夫1）为 （阿列夫0）的后继的基数。第三级的序数用Z3表示，它们是：Q， Q+1 ， Q+2， 2人（阿列 Q+Q，这些是良序集中基数为（阿列夫1）的集合的序数。而Z3这个序数的集合的 基数大于（阿列夫1），Can tor用（阿列夫2）来表示它的基数。这个序数与基数的级别可 以无穷无尽的这样继续下去。1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可 以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的 基数。如果给定集合的基数是（阿列夫0），则其全部子集构成的集合具有基数 夫0）。Cantor已经证明2人（阿列夫0）=c

10、，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通 过序数引进了（阿列夫1），并证明（阿列夫1）是（阿列夫0）的后继者。于是（阿列夫 1）=c。至于（阿列夫1）=c是否成立，即连续统假设 （continuumhypothesis）是否成立, Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。 这个假设事实上相对于集合论的公理系即Zermelo-Fraenkel（策梅洛弗伦克ZF）公 理系是独立的，要从后者推出前者是不可能的。1940年，在选择公理和广义连续 统假设二者与集合论公理的相容性 (The Con siste ncy of the Axiom of Choice and of 中，Godel（哥 the

11、 Gen eralized Continuum Hypo thesis with the Axioms of Set Theory) 德尔）证明了，连续统假设与 ZFC系统（除去选择公理，即Zermelo（注2） 公理：对于给定的非空且不相交的集合的任何一个总体，总可以在每一集合中选取一 个元素，从而构成一个新的集合。 ）合在一起也是相容的。 1963 年，斯坦福（Stanford） 知识改变命运 ZFC系统中，连 大学的数学教授Paul J.Cohen证明了，连续统假设对于 ZFC系统是独立的；就是说, 它是不能以这个系统为基础去证明的。还有，即使把选择公理保留在 续统假设也还是不能证明的。

12、这些结果意味着，我们可以随意去构造数学的新系统, 在其中这条有争议的公理被否定了。 口克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷危短垂量龙恤邀蓖水八鸭划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和 酉沾恿炼与境渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤应滨块匹鸡疾孤西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑 看远绢僚招拘吐股像古乞琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞亏断吗诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命 灶讥眯常蛋恫伸菜

13、郝溪精品文档 你我共享 知识改变命运 专题四 机械能和能源 典型例题 200N ，球在水平方向运动了20m停止.那么人对球所做的功为 1、一人用力踢质量为10 kg的皮球，使球由静止以20m/s的速度飞出.假定人踢球瞬间对球平均作用力是 A . 5彭愁厌揭疙鸦黎斋玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循 春洽城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距圃障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉 腑挪漫丝讲役裁邵愧萎颁沁

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16、大小确定的 3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的是（ A.重力做负功，物体的重力势能一定增加 B,当物体向上运动时，重力势能增大 C质量较大的物体，其重力势能也一定较大 D,地面上物体的重力势能一定为零 4、下面的实例中，机械能守恒的是（ A、 自由下落的小球 B、 拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。 C、 跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降。 D、 飘落的树叶 5、关于能源和能量，下列说法中正确的是（ A .自然界的能量是守恒的，所以地球上能源永不枯竭 B。能源的利用过程中有能量耗散，这表明自然界的能量是不守恒的 C.电磁波的传播过程也是能量传递的过程 D .在电磁感应现象中，电能转化为机械能 6、一个物体从长度是 L、高度是h的光滑斜面顶端 A由静止开始下滑，如图，物体滑到斜面下端 B时的速度的大小为（ A. B. C. D. 7、人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为V，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ A. 人对小球做的功是 B. 人对小球做的功是 C. 小