哈工大材料力学(第七章 差分法)

1、第第7章章 弯曲弯曲作业：7-19，7-20b,d, 7-21a,c7-11 叠加法求解梁的位移叠加法求解梁的位移 第第7章章 弯曲弯曲叠加法的适用条件：叠加法的适用条件：1）小变形）小变形 2）弹性变形）弹性变形7-11 叠加法求解梁的位移叠加法求解梁的位移 在变形为小变形和弹性变形的条件下，内力是根据初始尺寸计算的，在变形为小变形和弹性变形的条件下，内力是根据初始尺寸计算的，因此内力与荷载之间，变形与荷载之间都是因此内力与荷载之间，变形与荷载之间都是线性关系。线性关系。所以所以 ，结构上同时，结构上同时作用几个荷载所产生的内力作用几个荷载所产生的内力、变形变形 ，等于每一个荷载单独作用产生

2、的内力，等于每一个荷载单独作用产生的内力、变形的代数和，这就是叠加原理。变形的代数和，这就是叠加原理。 第第7章章 弯曲弯曲7-11 叠加法求解梁的位移叠加法求解梁的位移 qABlFC/ 2l415384cqlvEI3248cFlvEI 4312538448cccqlFlvvvEIEIBlF/ 2lAqBlA例：叠加法求例：叠加法求vc解：将荷载分解为两组解：将荷载分解为两组第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形 当受弯构件是变截面梁或梁上荷载比较复当受弯构件是变截面梁或梁上荷载比较复杂时，用积分法计算梁的变形是相当困难的杂时，用积分法计算梁的变形是相当困难

3、的，而利用有限差分法计算则较为方便。而利用有限差分法计算则较为方便。 有限差分法是一种数值计算方法，把求解有限差分法是一种数值计算方法，把求解微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题。微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题。计算函数一阶和二阶导数的差分公式计算函数一阶和二阶导数的差分公式hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x 设一曲线如图，其方程为设一曲线如图，其方程为v=v（x），是一，是一连续函数，该曲线可以是梁的挠曲线，也可以连续函数，该曲线可以是梁的挠曲线，也可以是其它曲线，取横坐标是其它曲线，取横坐标为为xi-2 ， xi-1 ，xi，xi+1

4、 ， xi+2 的的各点，相邻各点的间距为各点，相邻各点的间距为h，均相等（也可不，均相等（也可不相等）。相等）。这些点的纵坐标为这些点的纵坐标为vi-2,vi-1,vi,vi+1,vi+2。在在i点将点将v=v(x)展开为泰勒级数展开为泰勒级数23232311() ()() ()() () ( )2!3!iiiiiiidvd vd vvvxxxxxxadxdxdx第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x式中式中2323() ,() ,() ,iiidvd vd vdxdxdx分别为各

5、阶导数在分别为各阶导数在x=xi处的数值。处的数值。在点在点i-1处处 x=xi-1=xi-h在点在点i+1处处 x=xi+1=xi+h将上两个坐标分别代入将上两个坐标分别代入(a)式式232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx在在i点将点将v=v(x)展开为泰勒级数展开为泰勒级数23232311() ()() ()() () ( )2!3!iiiiiiidvd vd vvvxxxxxxadxdxdx第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x

6、式中式中2323() ,() ,() ,iiidvd vd vdxdxdx分别为各阶导数在分别为各阶导数在x=xi处的数值。处的数值。在点在点i-1处处 x=xi-1=xi-h在点在点i+1处处 x=xi+1=xi+h将上两个坐标分别代入将上两个坐标分别代入(a)式式232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x232

7、312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx232312311()()() 2!3!iiiiidvd vd vvvhhhdxdxdx 如将如将h取得充分小式中含取得充分小式中含h3以及更高次的项以及更高次的项都可以略去，于是：都可以略去，于是：22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x11() ( )2iiivvdvbdxh 如将取得充分小

8、式中含以及更高次的项如将取得充分小式中含以及更高次的项都可以略去，于是：都可以略去，于是：22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx22121()()2!iiiidvd vvvhhdxdx联立上两式，解出：联立上两式，解出：211222() ( )iiiivvvd vcdxh 这就是函数这就是函数v=v(x)的一阶和二阶导数的差分公式。当的一阶和二阶导数的差分公式。当 v=v(x)为挠曲线方程时，为挠曲线方程时，上两式即为挠曲线的斜率和曲率的近似值。上两式即为挠曲线的斜率和曲率的近似值。第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1

9、iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x11() ( )2iiivvdvbdxh将将(c)式代入挠曲线近似微分方程式代入挠曲线近似微分方程22( )d vM xdxEI2112 ( )iiiiiMvvvhdEI得：得：211222() ( )iiiivvvd vcdxh 这就是函数这就是函数v=v(x)的一阶和二阶导数的差分公式。当的一阶和二阶导数的差分公式。当 v=v(x)为挠曲线方程时，为挠曲线方程时，上两式即为挠曲线的斜率和曲率的近似值。上两式即为挠曲线的斜率和曲率的近似值。上式称为差分方程，上式称为差分方程，Mi和和EIi是梁是梁在在x=xi（i点）点）处的弯矩和抗弯刚

10、度处的弯矩和抗弯刚度第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形hiv1iv2iv1iv2ivixvo1i2i2i1ihhhh( )vv x将将(c)式代入挠曲线近似微分方程式代入挠曲线近似微分方程22( )d vM xdxEI2112 ( )iiiiiMvvvhdEI得：得：在梁上选定某些点，按公式在梁上选定某些点，按公式(d)对每对每一点写出一个差分方程，一点写出一个差分方程，这样就得到一组代数方程，其未知量就是所选各点的挠度。这样就得到一组代数方程，其未知量就是所选各点的挠度。解这一组代数方程即可求出所选各点的挠度。解这一组代数方程即可求出所选各点的挠度。

11、上式称为差分方程，上式称为差分方程，Mi和和EIi是梁是梁在在x=xi（i点）点）处的弯矩和抗弯刚度。处的弯矩和抗弯刚度。第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形例例 求图示悬臂梁的变形求图示悬臂梁的变形解：解： 将梁分成三等份，步长将梁分成三等份，步长h=l/3。2112iiiiiMvvvhEI 差分方程差分方程，Mi和和EIi是梁在是梁在x=xi（i点）点）处的弯矩和抗弯刚度处的弯矩和抗弯刚度。xyF/3l/3l/3l/3l302111v2v3v1v012321, , , 0,33MFlMFl MFl M2）挠度）挠度v0=0，其余挠度，其余挠度v1 ，

12、v2 ， v3未知未知3）建立各点的差分方程：）建立各点的差分方程：0 点点 ：1 点点 ：2点点：21012( ) () 3lFlvvvEI201222() ()33lFlvvvEI21232() ()33lFlvvvEI4） 0点处的点处的v-1为虚拟点为虚拟点-1的挠度：的挠度：11011() =0 2vvdvvvdxh5） v0=0，解出：，解出：333123519, , 182754FlFlFlvvvEIEIEI 1 ）各等分点处的弯矩为：）各等分点处的弯矩为：第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形例例 求图示悬臂梁的变形求图示悬臂梁的变形解：解：

13、 将梁分成三等份，步长将梁分成三等份，步长h=l/3。2112iiiiiMvvvhEI 差分方程差分方程，Mi和和EIi是梁在是梁在x=xi（i点）点）处的弯矩和抗弯刚度处的弯矩和抗弯刚度。xyF/3l/3l/3l/3l302111v2v3v1v012321, , , 0,33MFlMFl MFl M2）挠度）挠度v0=0，其余挠度，其余挠度v1 ， v2 ， v3未知未知3）建立各点的差分方程：）建立各点的差分方程：4） 0点处的点处的v-1为虚拟点为虚拟点-1的挠度：的挠度：11011() =0 2vvdvvvdxh5） v0=0，解出：，解出：333123519, , 182754FlF

14、lFlvvvEIEIEI 1 ）各等分点处的弯矩为：）各等分点处的弯矩为：精确解：精确解：3330.333 3FlFlvEIEI 差分解：差分解：333190.352 54FlFlvEIEI 误差为：误差为： 5.7仅分三段仅分三段,h 越小精度越高越小精度越高第第7章章 弯曲弯曲7-12 有限差分法求解梁的变形有限差分法求解梁的变形1F52655060522F10010010015125200358540练习练习 阶梯轴如图，设阶梯轴如图，设E=200GPa,F1=1.2kN,F2=6.7kN。试用差分法求试用差分法求F1及及F2作用面的挠度，并确定挠曲线。作用面的挠度，并确定挠曲线。电算参

15、考题。可取电算参考题。可取h=0.025m。第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算一、组合变形一、组合变形 在复杂外载作用下，构件的变形可以看成几种在复杂外载作用下，构件的变形可以看成几种简单变形的组合，称为组合变形。简单变形的组合，称为组合变形。二、组合变形分类二、组合变形分类 斜弯曲，偏心拉压，弯扭组合。斜弯曲，偏心拉压，弯扭组合。三、组合变形的研究方法三、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 前提：线弹性，小变形前提：线弹性，小变形第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力

16、计算组合变形工程实例组合变形工程实例第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例偏心压缩偏心压缩拉弯组合变形拉弯组合变形第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例拉弯组合变形拉弯组合变形第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算组合变形工程实例组合变形工程实例yz第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算

17、8-1 斜弯曲斜弯曲FyzxyzxzyxlzFFyFzMyMcosyFFsinzFF()zyMF lx()yzMF lxyzyzMMzyII外力外力内力内力应力应力zy略去了剪力略去了剪力yFzF叠加法叠加法第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲应力分布规律应力分布规律第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲应力分布规律应力分布规律第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲中性轴中性轴()()coscoszyMF lxF lxM()()sinsinyzMF lxF lxMyzyzMMzy

18、II00sincos()0yzzyMII()MF lxF0z0y中性轴中性轴yz第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲中性轴中性轴00sincos0yzzIyI中性轴方程中性轴方程-直线方程直线方程 00tantanzyyzII 当当Iy=Iz 时时=FyF0z0y中性轴中性轴z（正方形，圆等截面（正方形，圆等截面不发生斜弯曲）不发生斜弯曲）zzyyctWMWMmaxmaxmax,max,一般情况下一般情况下最大拉压应力最大拉压应力第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲yvwf挠度挠度22fvw挠度挠度 f 与与F 不

19、在同一纵向对称面内。不在同一纵向对称面内。f 与中性轴垂直。与中性轴垂直。F第第8章章 复杂内力时杆件应力计算复杂内力时杆件应力计算8-1 斜弯曲斜弯曲作业：作业：81，2，4（点（点A处处轴向轴向线应变）线应变）结构欣赏结构欣赏 将集中里分散后作用于梁上，可减少梁的弯矩。将集中里分散后作用于梁上，可减少梁的弯矩。 斗拱斗拱 斗是斗形木垫块，拱是弓形的短木。拱架在斗上，向外挑出，拱端之上再安斗，这样逐层纵横交错叠加，形成上大下小的托架。 应县木塔应县木塔 应县木塔建于辽清宁二年（1056年），距今已有900多年的历史，是我国，也是世界上现存最古老、最高的木构建筑。全塔高6731米，底层直径30

20、27米，外观九层，可用空间只有五层，谓“明五暗四”。各明层外柱均立在下层外柱的梁架上，并向塔心收进半柱径，使塔的外观轮廓构成一条优美的逐层收分的曲线。整座塔比例适当，巍巍耸立，蔚为壮观。等强度梁等强度梁 /2lP/2lx1( )2M xPx设高度设高度h为常量，则为常量，则23( )Pxb xh( )b x( )( ) M xW xM2( )( )6 2 bhM xPxW x世界最高大桥法国米约大桥世界最高大桥法国米约大桥 米约高架桥的桥柱高达米约高架桥的桥柱高达343343米，是目前世界米，是目前世界上最高的桥梁。这座大桥位于法国首都巴黎通上最高的桥梁。这座大桥位于法国首都巴黎通往地中海地区

21、的公路上。往地中海地区的公路上。20042004年年1212月月9 9日，法日，法国塔恩河河谷的云雾从米约高架桥下穿过国塔恩河河谷的云雾从米约高架桥下穿过 大桥桥面离地270米，长2.46公里，而斜拉索最高点离地有343米，比埃菲尔铁塔还要高出23米，创下了桥面距地面最高的世界纪录。 这张摄于5月28日的照片显示了位于法国西南部的米约大桥。当天，世界上最高的桥梁米约大桥完成了合龙。 2004年12月14日，米约高架桥于当天举行落成仪式，法国空军飞行表演队在法国西南部米约市的米约高架桥上空进行飞行表演。 2004年12月14日，在法国西南部米约市的米约高架桥上，法国总统希拉克和米约高架桥设计者诺

22、诺尔曼尔曼福斯特福斯特（右）共同参加大桥落成仪式。号称世界上最高的米约高架桥于当天举行落成仪式。 12月月16日上午，坐落在法国南部塔恩河谷的米约大桥正式日上午，坐落在法国南部塔恩河谷的米约大桥正式通车，参与大桥建设的工程师阿贝尔观看大桥通车过程。通车，参与大桥建设的工程师阿贝尔观看大桥通车过程。 米约大桥因坐落在法国西南的米约市而得名，它是斜拉索式的长桥。尽管全长达公里，但只用个桥墩支撑，其中、号桥墩分别高达米和米，是世界上最高的两个桥墩。如果算上桥墩上方用于支撑斜拉索的桥塔，最高的一个桥墩则达到米，超过法国巴黎著名的埃菲尔铁塔米。 大桥总重万吨，其中仅钢结构桥面就重达万吨 。 如此庞然大物高耸于山川之间，如何保证它的如此庞然大物高耸于山川之间，如何保证它的稳定性稳定性？如何才能避免大桥在风力作用下像琴弦一？如何才能避免大桥在风力作用下像琴弦一样颤动摇晃