2013版高中全程复习方略配套课件：3.1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数

1、第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :1.1.了解任意角的概念了解任意角的概念. .2.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. .3.3.理解任意角三角函数理解任意角三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定义的定义. .1.1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定符号的确定. .2.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题主要以选择题、填空题的形式考查，

2、题目属于低档题. .1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_从一个位从一个位置置_到另一个位置所成的图形到另一个位置所成的图形. .(2)(2)分类：分类：_、_、_._.(3)(3)终边相同的角：终边相同的角：与角与角终边相同的角可构成集合终边相同的角可构成集合S=|=+_.S=|=+_.旋转旋转正角正角负角负角零角零角k k360360,kZ,kZ端点端点【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：角思考：角为锐角是角为锐角是角为第一象限角的什么条件？为第一象限角的什么条件？提示：提示：充分不必要条件充分不

3、必要条件. .因为锐角为大于因为锐角为大于0 0小于小于 的角，而第一的角，而第一象限角为象限角为(2k(2k，2k+ )(kZ).2k+ )(kZ).22(2)(2)若若是第二象限角，判断下列表述是否正确是第二象限角，判断下列表述是否正确.(.(在括号内填在括号内填“”或或“”)”)|=k|=k360360+45+45，kZ ( )kZ ( )|90|90180180 ( ) ( )|k|k360360+90+90k k360360+180+180，kZ ( )kZ ( )|=k|=k180180+135+135,kZ ( ),kZ ( )【解析】【解析】=k=k360360+45+45，k

4、ZkZ表示的是与表示的是与4545终边相同终边相同的角，是第一象限的角，故不正确的角，是第一象限的角，故不正确. .9090180180, ,不能表示所有第二象限的角，故不正确不能表示所有第二象限的角，故不正确. .正确正确. .=k=k180180+135+135表示的是当表示的是当k k为偶数时，与为偶数时，与135135终边相终边相同的角；当同的角；当k k为奇数时，与为奇数时，与315315终边相同的角，不能表示第二终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确象限的角，故不正确. .答案：答案：2.2.弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)(1)定义定义: :在以单位长为半径的圆中在以

5、单位长为半径的圆中,_,_的弧所对的圆心的弧所对的圆心角为角为1 1弧度的角弧度的角, ,它的单位符号是它的单位符号是_，读作，读作_._.单位长度单位长度radrad弧度弧度(2)(2)公式公式角角 的弧度数公式的弧度数公式=_（弧长用（弧长用l表示）表示）rl角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1=_rad=_rad180180弧长公式弧长公式弧长弧长l=_r 扇形面积公式扇形面积公式S=_S=_ =_=_1r2l21r21rad=(_) 1rad=(_) 【即时应用】【即时应用】(1)337(1)3373030的弧度数是的弧度数是_._.(2) (2) 的度数为的度数为_._.(3)(3

6、)扇形半径为扇形半径为4545，圆心角为，圆心角为120120，则弧长为，则弧长为_._.【解析】【解析】(1)337(1)3373030表示的弧度数为表示的弧度数为 (2) (2) 的度数为的度数为(3)(3)圆心角圆心角120120对应的弧度数为对应的弧度数为 故弧长故弧长l= = 45=30.45=30.答案：答案：(1) (1) (2)75(2)75(3)30(3)30512337.515.180851251801275 .23，231583.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义：设角定义：设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(x, y)P(x, y)，则，则sin=

7、_sin=_，cos=_cos=_，tan=_.tan=_.(2)(2)几何表示几何表示: :三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正正弦线的起点都在弦线的起点都在x x 轴上轴上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点正切线的起点都是都是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图中有向线段MPMP，OMOM，ATAT分别叫做角分别叫做角的的_，角，角的的_和角和角的的_. _. y yx xy(x0)x正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线yxOxxA(1,0)A(1,0)P PT TM MyxOP PT TA(1,0)A(1

8、,0)M MyOP PT TA(1,0)A(1,0)M MOyP PT TA(1,0)A(1,0)M M(3)(3)由三角函数的定义可得到以下关系由三角函数的定义可得到以下关系: :sinsin2 2+cos+cos2 2=1(=1(平方关系平方关系);); ( (商数关系商数关系).).sintancos 【即时应用】【即时应用】(1)(1)已知角已知角终边上的一点终边上的一点A(2,2)A(2,2)，则，则tan=_.tan=_.(2)(2)满足满足sin sin 的角的角的取值集合为的取值集合为_._.【解析】【解析】(1) (1) 12y2tan1;x2 (2)(2)作出正弦值等于作出

9、正弦值等于 的角的角的终边，正弦的终边，正弦值大于值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣弧的角的终边与单位圆的交点在劣弧P P1 1P P2 2上，所以所求角的范围为图中的阴影部上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，分，的取值集合为的取值集合为答案：答案：(1)1(1)1(2)(2)12125 |2k2k,kZ.66 5 |2k2k,kZ66 终边相同的角的表示终边相同的角的表示【方法点睛】【方法点睛】终边相同的角的表示及应用终边相同的角的表示及应用(1)(1)所有与所有与的终边相同的角都可表示为的终边相同的角都可表示为=+k=+k360360,kZ.,kZ.(2)(2)根据与根据与终边相同的角

10、的表达式终边相同的角的表达式, ,可以写出一定范围内的角可以写出一定范围内的角, ,也可以根据也可以根据的终边所在的象限的终边所在的象限, ,判断判断的倍数角所在的象限的倍数角所在的象限. .(3)(3)与与终边相同的角的表达式中一定是终边相同的角的表达式中一定是k k360360或或k k2 2，这，这一点要注意一点要注意. . 【例【例1 1】已知角】已知角是第一象限角，确定是第一象限角，确定22， 的终边所在的象的终边所在的象限位置限位置. .【解题指南】【解题指南】本例可由本例可由所在的象限写出角所在的象限写出角的范围，从而得的范围，从而得22、 的范围，再确定终边所在的位置的范围，再

11、确定终边所在的位置. .【规范解答】【规范解答】是第一象限角，是第一象限角，kk22k k2+ (kZ).2+ (kZ).(1)k(1)k4422k k4+(kZ),4+(kZ),即即2k2k22222k2k2+(kZ),2+(kZ),22的终边在第一象限或第二象限或的终边在第一象限或第二象限或y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上. .222(2)k(2)k k k+ (kZ),+ (kZ),当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,2n,2n 2n+ (nZ),2n+ (nZ), 的终边在第一象限的终边在第一象限. .当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时, ,(2n+1)(2n+1

12、) (2n+1)+ (nZ),(2n+1)+ (nZ),即即2n+2n+ 2n+ (nZ),2n+ (nZ), 的终边在第三象限的终边在第三象限. .综上，综上， 的终边在第一象限或第三象限的终边在第一象限或第三象限. .242422245422【反思【反思感悟】感悟】1.1.已知角已知角所在的象限，应熟练地确定所在的象限，应熟练地确定 所在所在的象限：的象限：2第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限区区域域2第一或第三象限第一或第三象限第二或第四象限第二或第四象限O4545225225xyO4545225225xyO135135315315xyO1351353153

13、15xy2.2.若若为第一象限角为第一象限角, ,则则0 0 , ,从而从而 是第一象限角是第一象限角, ,这种这种说法是片面的说法是片面的, ,是错误的是错误的. .必须用象限角的一般表示法必须用象限角的一般表示法, ,再用不再用不等式的性质及对整数等式的性质及对整数k k的奇、偶讨论后确定的奇、偶讨论后确定 或或22所在的象限所在的象限. .222【变式训练】【变式训练】若角若角与与的终边在一条直线上，则的终边在一条直线上，则与与的关的关系是系是_._.【解析】【解析】当当、的终边重合时，的终边重合时，=+k=+k2,kZ.2,kZ.当当、的终边互为反向延长线时，的终边互为反向延长线时，=

14、+k=+k2=+(2k+1),kZ.2=+(2k+1),kZ.答案：答案：=+k=+k22，kZkZ或或=+(2k+1),kZ=+(2k+1),kZ弧度制的应用弧度制的应用【方法点睛】【方法点睛】弧度制的应用弧度制的应用(1)(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：下可以应用弧长公式：l=r|=r|，扇形面积公式：，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便. .(2)(2)应用上述公式时应用上述公式时, ,要先把角统一为用弧度制表示要先

15、把角统一为用弧度制表示. .【提醒】【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一. . 211Srr |.22l【例【例2 2】已知扇形的圆心角是】已知扇形的圆心角是，半径为，半径为R R，弧长为，弧长为l. .(1)(1)若若=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧长求扇形的弧长l. .(2)(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少弧度时，为多少弧度时，这个扇形的面积最大？这个扇形的面积最大？(3)(3)若若R R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积，求扇形的弧所在的弓

16、形的面积. .3 ，【解题指南】【解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制可直接用弧长公式，但要注意用弧度制. .(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角的半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)利用利用S S弓弓=S=S扇扇-S-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)l=10=10= =(cm).(cm).(2)(2)由已知得：由已知得：l+2R=20,+2R=20,所以所以=10R-R=10R-

17、R2 2=-(R-5)=-(R-5)2 2+25+25，所以所以R=5R=5时，时，S S取得最大值取得最大值2525，此时，此时l=10=10，=2 rad.=2 rad.(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S S弓弓, ,由题知由题知l= =S S弓弓=S=S扇扇-S-S= =310311SR(202R)R22l2 cm3212122sin232322(3)(cm ).3【互动探究】【互动探究】将本例第将本例第(1)(1)小题中的小题中的R=10 cmR=10 cm改为扇形的改为扇形的AB= AB= cm,cm,再求弧长再求弧长l. .【解析】【解析】因为圆心角因为圆心角=60=60，所以

18、所以10 2AB10 2 cm,10 2R10 2 cm,10 2 cm .33l【反思【反思感悟】感悟】1.1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式 扇形面积公式扇形面积公式 有着必然的内在联系有着必然的内在联系. .2.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形所在的三角形. .n r180、l2n rS360【变式备选】【变式备选】扇形扇形OABOAB的面积是的面积是1 cm1 cm2 2，它的周长是，它的周长是4 cm4 cm，求圆，求圆心角的弧度数

19、和弦心角的弧度数和弦ABAB的长的长【解析】【解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r cmr cm，弧长为，弧长为l cm cm，圆心角的弧度数，圆心角的弧度数为为，则有，则有 解得解得 由由 得得2 2，|AB|AB|2sin1(cm).2sin1(cm).弦长弦长ABAB为为2sin1 cm.2sin1 cm.2r4,1r12 llr12，lrl三角函数的定义三角函数的定义【方法点睛】【方法点睛】1.1.三角函数定义的理解三角函数定义的理解在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(x, y)P(x, y)是角是角终边上任意一点，且终边上任意一点，且|PO|PO|r r，则，则yxy

20、sincostan.rrx ； ；2.2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的距到原点的距离离r r，然后利用三角函数的定义求解，然后利用三角函数的定义求解. .(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题解相关的问题. .若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角若直线的倾斜角为特殊角，也可直

21、接写出角的三角函数值的三角函数值. . 【例【例3 3】(2012(2012西安模拟西安模拟) )已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(-4m,3m)P(-4m,3m)(m0),(m0),则则2sin+cos2sin+cos的值是的值是( )( )(A)1(A)1或或-1 (B) -1 (B) 或或- -(C)1(C)1或或- (D)-1- (D)-1或或【解题指南】【解题指南】先求出先求出r,r,再根据三角函数定义求出再根据三角函数定义求出sinsin、cos,cos,其中由于不知其中由于不知m m的正负的正负, ,因此需分类讨论因此需分类讨论. .25252525【规范解答】【规范解答】

22、选选B.B.由题意知由题意知,x=-4m,y=3m,x=-4m,y=3m,当当m0m0时时, , 则则当当m0m0时时, , 故故2sin+cos2sin+cos的值为的值为 或或22r( 4m)(3m)5 m . 34r5m,sin,cos,55 6422sincos.555 34r5m,sin,cos,55 6422sincos,555 252.5【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角若是角的终边落到一条直线上，一般要分类讨论的终边落到一条直线上，一般要分类讨论. .2.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系任意

23、角的三角函数与锐角三角函数的关系. .(1)(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”r”同为正值同为正值. . (2)(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的, ,它也适合锐它也适合锐角三角函数的定义角三角函数的定义. .(3)(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义实质：由锐角三

24、角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程是由特殊到一般的认识和研究过程. .【变式训练】【变式训练】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P( P( ，m)(m0)m)(m0)，且，且sin= sin= 试判断角试判断角所在的象限，并求所在的象限，并求coscos和和tantan的的值值【解析】【解析】由题意，得由题意，得m0, m0, 故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角当当 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为( )( )，当当 时，时， 点点P P的坐标为的坐标为32m,422m2r3m ,m43m，m5 ，m5r2 2，35，x36y515costanr

25、4x32 23 ，m5 r2 2，(35)，x36y515costan.r4x32 23 ，【变式备选】【变式备选】已知角已知角的终边过点的终边过点(a,2a)(a0)(a,2a)(a0)，求，求的三角的三角函数值函数值. .【解析】【解析】因为角因为角的终边过点的终边过点(a(a，2a)(a0)2a)(a0)，所以，所以，x=a,y=2a,x=a,y=2a,当当a a0 0时时, , 当当a a0 0时，时，r5 a，y2a2a2 5sinr55 a5a ；xa5costan2;r55a ；y2a2a2 5sinr55 a5a ；xa5costan2.r55a ；【易错误区】【易错误区】忽略

26、三角函数值的符号致误忽略三角函数值的符号致误【典例】【典例】(2011(2011重庆高考重庆高考) )若若 且且(， ) )，则，则tan=_.tan=_.【解题指南】【解题指南】根据角所在的范围，先求出根据角所在的范围，先求出sinsin的值，再根据的值，再根据商数关系求出正切值商数关系求出正切值. .【规范解答】【规范解答】因为因为 所以所以所以所以答案：答案：3cos5 ，3233()cos25 ，24sin1 cos5 ，sin4tan.cos3 43【阅卷人点拨】【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议得

27、到以下误区警示和备考建议: :误误区区警警示示求解本题时，常会出现以下两种失误：求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)(1)易忽视题目中已知条件易忽视题目中已知条件的范围，求得的范围，求得sinsin的两的两个值而致错个值而致错. .(2)(2)虽注意到虽注意到的范围，但判断错的范围，但判断错sinsin的符号而导致的符号而导致tantan的值错误的值错误. . 备备考考建建议议用用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1求值时要注意以下两点求值时要注意以下两点: :(1)(1)题目中若没有限定角题目中若没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符号应有两种情况，不可漏掉的符号应有两种情况，不可漏掉. .(2)(2)若已给出若已给出的范围，