复数讲义(绝对经典).

1、复数、复数的概念1. 虚数单位i:(1) 它的平方等于-1，即r ；(2) 实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立.(3) i与一1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程 x2 = -1的一个根，方程x2 = -1的另一个根是-i .(4) i的周期性：i4n1=i, f 1,U ,i4n=1.实数a(b =0)2. 数系的扩充：复数a bi纯虚数bi(a =0)虚数 a+bi(b0)J i,非纯虚数a bi(a =0)3. 复数的定义：形如a - bi(a , b R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做 复数集，用字母C表示4.

2、 复数的代数形式：通常用字母z表示，即z=a bi(a ,b R)，把复数表示成a bi的形式，叫做复数的代数形式.5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a bi(a ,b R)，当且仅当b =0时，复数a bi(a ,b R)是实数a ；当b = 0时，复数z =a bi叫做虚数；当a=0且b0时，z =bi叫做纯虚数；当且仅当 a=b = 0时，z就是实数0一左是实数血已正实数巳实数*、竺土负实数X广=0纯虚数bi非纯虚数的虚数6. 复数集与其它数集之间的关系：N荷Z Q荷R C7. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如

3、果a , a ,b, d ,c , d R，那么 a bi=c di= a =c , b=d、复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：复数z=a bi(a ,b .二R)与有序实数对 a , b是对应关系.建立对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z =a-.-bi(a ,bw R)可用点Z a , b表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0,0，它所确定的复数是z =0 0i = 0表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z = a+bi一对J 复平面内的点 Z

4、(a ,b)这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四那么运算1. 复数z!与z2的和的定义：Z 7 二 a bi 厂c di = a c 厂b d i2. 复数z!与z2的差的定义：z, -z = a bi _c di = a_cj亠jb_di3. 复数的加法运算满足交换律：乙，z2 =z2 乙4. 复数的加法运算满足结合律:(z, z2) zz, (z2 z3)5. 乘法运算规那么：设z, =a bi , z2 =c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z,z2 = a bi c di = acbd j亠ibc ad i其实

5、就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚局部别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6. 乘法运算律：(1) Zi Z2Z3 二 Z1Z2 Z3(2) (乙 Z2) Z3 -乙(Z2 Z3)(3) Zi Z2 Z3 = Zi Z2 Zi Z37. 复数除法定义：满足c di x y a bi的复数x yi ( x、y R)叫复数a - bi除以复数c - di的商，记为:(a bi)卩c di或者a bic di& 除法运算规那么:设复数 a bi a、b 三 R，除以 c di c , d 二 R ，其商为 x yi x、三 R ,即(a bi) -

6、c di =x yi / x yi c di 二 cxdy |亠dx cy i cxdy |亠dx cy i = a n biac +bdX 22由复数相等定义可知，解这个方程组，得c dbe ad y =c d2于是有：小Wd罂 利用c di c-di上/于是将冷的分母有理化得:原式 a bi (a bi)( c - di) ac bi (-di)(bc-ad)i原x22c+di (c+di)(cdi)c +d(ac+bd)+(bcad)i ac+bd bcad .ac bd be -ad .-心W di厂产点评：是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，

7、而复数c - di与复数c -di，相当于我们初中学习的.2的对偶式 . 2，它们之积为1是有理数，而 c di c -d-c2 d2是正实数所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.9.共轭复数:当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数./1-二例题精讲1.复数的概念【例1】 .匸 =2 bi(i为虚数单位)，那么实数a, b的值分别为()U+i丿A. 2，5 B . -3，1 C . -1 . 1 D . 2，-2【答案】D【例2】计算：i0! + i1! + i2!+w+i100!= ( i表示虚数单位)【答案】9

8、5 2i【解析】I i4 =1，而 4|k! ( k H4),故 i! + i1! +i2! + | + i100! =i +i +(_1)+(_1)+1 X97 =95 + 2i【例3】、i22设 z =(2t 5t -3) (t 2t 2)i , t R，那么以下命题中一定正确的选项是(z的对应点Z在第四象限z是虚数A. z的对应点Z在第一象限BC. z不是纯虚数D【答案】D【解析】t2 -2t - 2 =(t J)2 1 =0 .【例4】 在以下命题中，正确命题的个数为()两个复数不能比拟大小;假设(x2 -1) (x2 3x 2)i是纯虚数，那么实数 x=V ; z是虚数的一个充要条件

9、是z - z- R ; 假设a ,b是两个相等的实数，那么(a-b)，(a b)i是纯虚数; z- R的一个充要条件是 z = z .z =1的充要条件是-1 z =_ .zA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】 复数为实数时，可以比拟大小，错；x =-1时，(X2 -1) (X2 3x 2)i =0，错；z为实数时,也有z z R，错；a =b =0时，(a -b) (a - b)i =0，错；正确.2. 复数的几何意义【例5】 复数z = m2- m.二R , i为虚数单位在复平面上对应的点不可能位于W2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】由乙=

10、归 = m _2i1 -2-丿伽_勺_2m 1i在复平面对应点如果在第一象限，那么1+2i1+2i12i5fm -4 .0i，而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.m 1 ：0【例6】 假设. 3 n, 5 n ,复数cosv - sin n - sin v - cosvi在复平面内所对应的点在04丿A.第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当r 3 n, 5 n时，cost si nr : 0 , si nv-cosv .0 .匕4丿【例7】 如果复数z满足z订| -|z_i =2，那么z i 1的最小值是A.

11、 1B. .2C. 2D. 5【答案】A【解析】 设复数z在复平面的对应点为 Z，因为z i|半i =2 ,所以点Z的集合是y轴上以乙0,1、Z20,-1为端点的线段.z i 1表示线段Z1Z2上的点到点-1,-1的距离此距离的最小值为点乙0, -1到点-1, -1的距离，其距离为1 .【例8】满足|z =1及3Z - 2的复数z的集合是A.1 Vi，-i2 2.1i ,1-1i2 2 2 2【答案】C.2 2i，丄i2 2【解析】复数z表示的点在单位圆与直线x =丄上z22表示z到点卜2，0,与点E ,0J的距离相等，故轨迹为直线x二1 ,2应选D.【例9】 复数(x2) +yi(x , y

12、e R)的模为 貝，那么1的最大值为 x【答案】3【解析】T x -2 yi = 3 , (x_2)2 y2=3，故(x ,y)在以C(2 , 0)为圆心，3为半径的圆上,y表示圆上的点(x, y)与原点连线的斜率.x如图，由平面几何知识，易知 y的最大值为.3 .x【例10】复数z满足条件：2z V = Z i ,那么z对应的点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】A【解析】A;设 z =xyi，那么有(2x 1) 2yi|x (y-1)i，二(2x1)2(2y)2=x2(y -1)2,化简得：lx ?- y -=5，故为圆.I 3丿I 3丿9【点评】Z -Zo的几何意义为点

13、z到点Zo的距离；z -zo =r(r 0)中z所对应的点为以复数 z。所对应的点为圆心，半径为 r的圆上的点.2【例 11】复数 z-,Z2 满足Z-Z2= 0 ,乙Z2= z- - Z2，证明：2 ： 0 .z2【解析】设复数Z1 , Z2在复平面上对应的点为Z1 , Z2，由 Z1 Z2 二 Z1 -Z2 知，以 0Z1 , OZ2 为邻边的平行四边形为矩形, 0Z1 _OZ2，故可设Z 二ki(k R,Z22k 0)，所以工二 k2i2 - -k2 : 0 .Z2也可设 乙=a bi, Z2 = c di，那么由向量(a , b)与向量(c, d)垂直知ac bd = 0 ,乙a bi

14、Z2c di(ac bd) (be -ad )ic2 dZ1 2=3d,0，故 Z二Z2 辽2丿【例12】复数N ,z2满足z = V7+1 ,乙| =7 -1，且Z1-创=4，求亘与Z1 +Z2的值.Z2【答案】_i ； 4.3【解析】设复数z, , Z2在复平面上对应的点为 Z1 , Z2，由于(7 1)2 C 7-1)42 , 故乙| Iz/ 二乙-z：,故以oz1 , oz2为邻边的平行四边形是矩形，从而oz1丄o，那么彳二土空匕二土空7：；Z27-13zi - Z2 R -Z2 =4 .【例 13】 Zi , Z2 C ,Zi= Z2=1 , ZZ2= . 3，求ZiZ2.II【解析

15、】设复数Zi ,Z2 ,ZiZ2在复平面上对应的点为Zi ,Z2,Z3 ,由Zi二Z2=1知，以OZi , OZ2为邻边的平行四边形是菱形，记 0所对应的顶点为P，由Z Z2 =厢知，.PZi0 =i20 可由余弦定理得到，故.ZiOZ2 =60，从而 ZZ2 =i.【例i4】复数z满足z 2 +T3i2 3i =4，求d = z的最大值与最小值.【答案】【解析】3823又 iw x w 3，故当 x=i,y=0 时，dmin -i ;当x=8 ,y533时，有dmax32 21dd_ 1max, min 32设 z =x yi，那么(x, y)满足方程(x-2)2 -14d = x2y2 =

16、 x2 41 _(x _2)2=3. 复数的四那么运算 m R，假设m mi6 = -64i，贝m 等于A.-2B._ 2 【答案】B【解析】(m mi)6 = m6 (2i)3 =-8im6 = -64i 二 m6【例16】计算：(22i)12(-2 3i)100(T3i)9(1 2.3i)100 .【答案】-511【解析】原式=12 122 (1 i)厂100.(i -2,3)_2U仝)2 29 -i(i -2.3)100【例i5】C . - 2=8= m =212 62 (2i). 100 29严)9)2 2二291 = 511 .【例17】复数乙=cos -i , z2 =sin i，

17、那么|zi Z2的最大值为A. 3B . 2C . _6D . 32 2【答案】A【解析】Zi z2| |(cos J -i)(sin J i) =(cossin)1) (cos)-sin )i - . (costsin F ：1) (cos - sinr)= Jcos2 日 sin2 日 +2 = &sin2 2日 +2 , 故当sin2日=1时，zi Z2有最大值 +2 =号.【例18】对任意一个非零复数z，定义集合 M z =w | w = zn , n 三 N.1(1) 设z是方程x - =0的一个根，试用列举法表示集合Mz 假设在Mz中任取两个数，求其和x为零的概率P ;(2) 假设

18、集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由.【答案】(1) 1 ; (2) .3 2 2【解析】(1 )T z是方程x20的根,Mz =i , i2(说明：只需写出一个正确答案)由一元二次方程求根公式得二(5 i) (1 i)2X2二(5 i) (1 i)2二 z =i 或 z - -i，不管 z =i 或 z- -i,于是丿C43取才于i，那么八寺弓及231 J 3是 M z 二 z, z , z或取 zi .2 2【例19】解关于x的方程x2 -5x (x -2)i =0 .【答案】X1 =3 -i, x2 =2 .【解析】错解：由复数相等的定义得x _5x 6刃=X二2

19、或X二3= x=2 . 収一2=0(x=2分析：3 bi =c di= a =c，且b=d成立的前提条件是a ,b , c, d R，但此题并未告诉x是否为实数.法一：原方程变形为 x2 -(5 -i)x 6 -2i =0 ,丄=(5 i)2 -4(6 -2i)二-2i =(1 -i)2 .二原方程的解为为=3i , x2 =2 .法二：设 X =a bi(a , b .二R)，那么有(a bi)2 _5(a bi) 6 (a bi _2)i =0 ,=.(a2 _b2 5a b 6) (2ab -5b a 2)i =0= _5b 6，心或“2b = 1 b 二 02ab_5b+a_2=0由得

20、：a =5b 2，代入中解得:2b +1故方程的根为 =3 -i , x2 =2 .【例20】z=x2i. x21 ,Z2=(x2a)i，对于任意x三R，均有引 屁成立，试求实数a的取值范围.【答案】a -1,1 .I 2【解析】/z|z2，二x4x21(x2a)2, (1 -2a)x2 (-a2) .0 对R 恒成立.1当1 -2a =0，即a二时，不等式恒成立;2当 1 -2a =0 时,1 -2a 01 0 且- 2- -)2 =(二山)2 - 4 上=4-4k =0 2)2,解得k - _1 假设二，为虚数，那么丄=44k：0且芒，：共轭卜 f -(一 F - _(二：時)2 4一 -

21、_4 4k =(2.2)2，解得 k =3 综上，k - -1或k =3 【例23】用数学归纳法证明：(cost - isin卅=cos(nv) isin( nv), n二N .并证明(cost is in=cosv - isi n v，从而(cost isin v)=cos( n ) _isi n( n ).【解析】n=1时，结论显然成立；假设对 n = k 时，有结论成立，即(cost isin v)k = cos(kv) isin( kv),那么对 n = k +1, (cosO +isin 日)k_1 = (cos8 +isin 0)(cos8 + isin 8)k由归纳假设知，上式=

22、(cosv isin d)cos(kp isin( kp=(cos vcosk v -sin vsin k v)亠 icos vs in (kv)亠 sin vcoskv= cos(k 1) v isin( k 1)v,从而知对n =k 1，命题成立.综上知，对任意 n N .，有(cos v isin 卅=cos(nv) isin( nv), n 三 N .易直接推导知：(cos： -isin r)(cos r isi n R =(cos(-r) isi n( -RXcosv is in v) =cosO isi nO =1 故有(cos v isin =cos v - isin t1 .(

23、cos v is in r)=(cos v - is in 卅 =(cos(-v)亠 is in( -v)= cos(-nt)亠isin( -nv) =cos(nv) -isin( nv).【例 24】假设 cos很亠isin 用是方程xn aixn J a2Xn，Ti| - anxa0 ( a1 ,a2,l),an R )的解,求证：a1 si n 二，a2 si n2:|l| ans inn: =0 .【解析】 将解代入原方程得：(cos:亠isin :-)na1 (co 亠isin ： 川 务 =0 ,将此式两边同除以(cos二1 isin二)n，那么有：1 adcosx isin t)

24、 a2(cost isin |l| a/cosx 亠isin、；)=0 ,即 1 acos ri isin、；J a2(cos2、 isin 2、) |l丨 an(cosn、 isin n= 0 ,(1 a1cos、a2cos2：山 ancos n： )i(a1Si n* 亠 a2Si n2：1丨丨 an si n n )=0,由复数相等的定义得a1Si n _：: 1-a2 si n2 a.s inn=0 .【例25】【答案】【解析】【例26】【答案】【解析】【例27】【解析】设x、 y为实数，且亠+丄=丄，贝U x+y=1 _i 1 _2i 1 3i4. x y 5如 xy5由知，(1 i

25、) (1 2i)(1 3i),1 _i 1 _2i 1 _3i2510即(5x 2y _5)(5x 4y _15)i =0 ,5x 2y-5=0x 1故y，解得，故x y =4 |5x 4y -15 = 0y =5是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹.z -1丄1,0为圆心，1为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0).2 2法一：设 z=x yi ( x , y R ),2那么上 UL = gjy ；yi是纯虚数， z -1 x -1 yi (x -1)2 y故 x2 y2 x =0(y =0),即z的对应点的轨迹是以1,0为圆心，1为半径的圆，并去掉点(0 , 0)和点(1,0).弦丿2

26、法二：是纯虚数， z 0 ( z=0且 z = 1 ) z 1z 1z -1 =0 , z(z -1) z(z 一1)=0，得到 2 z2 = z - z ,z -1z -1设 x yi ( x, y R )，贝U x2 yx ( y = 0 ) z的对应点的轨迹以1,0为圆心，-为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0).吃丿2设复数z满足z =2，求z2 -z+4的最值.由题意， z =z，z = 4，贝V z2 -z+4 = z2 - z+ zz = z(z 1 +z) 设 z =a bi( -2 w a 2 , -2 b 0二 z2 =z； z 为纯虚数二 z2 ：0= z=0(z

27、= 0)；对任意复数有Z =Z ； z 士 Z2=乙士 z2；乙Z2=乙Z2,特别地有Z2=z2 ；二；=zz .zz2Izl Iz2，ziZ2ZiZ1 . 2 _;z =z z.Z2Z2W 乙 一 Z2 W z2z2 .以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明.【例29】虚数为1的一个立方根,即满足-=1，且，对应的点在第二象限，证明 ：.? ：.?2，并求2的值.X=1 或 X - - _22由题意知.- -i ,2 2证明与计算略;【答案】0; 一1 Vi2 2【解析】法一：32x 一1 =(x _1)(xx 1) =0，解得:由题意知 .3 =1，故有-12亠心亠1 = 0=

28、2亠心亠1 =0 .又实系数方程虚根成对出现，故x2 x 0的两根为 ,.由韦达定理有31 2 =1 二CO Q丄丄丄23CO Q Q【点评】利用.=_13i的性质:2 2i.2 2C03n =1，时3n =豹,3n卡=豹2(nW Z),1 +灼+灼2 =0可以快速计算些相关的复数的幕的问题.【例30】假设 a。 a - a -2 a a22n =0 ( n N ., a。，$ , a? ,11, a?n R，- -1 3 i),2 2求证：ao 83 比 J|)=ai a4 a? 山二a? 比-a? 10【解析】232na0 a aa3a2n = (a +a3tc3 +a6(o6 十 |)

29、+(ai +a4G? +a?国？十|)+但2国2 +a曲5 +a88 十|)= (a乜3a |l) (ai a4a HO (a?asa? |厂2 =0设 A =aoa3a6111, B =aia4 a711 丨，C =a2asa?111，那么有 a b c,即 A B -2 Ti【例31】【答案】 2 cj(a +1)3 =43=1 a +11当 a 1 =，即 a =0 时，a +1对任意一个非零复数z，定义集合3 2wu取得最小值1 2nM z =w | w = z , n 二 N (1 )设二是方程x2的一个根，试用列举法表示集合x(2)设复数Mz，求证：M . MMz (1) M42V

30、242!i)，-云CD，-云(1 i) ,(2)；(1)；是方程x 1 *2的根,x(2)略(1 i)或g汙心,2(1 i)时，G2 二i，二晋二_2 1 、- 12 d U-i),2 2厂丄二二，丄(1 D，一 (17，-1 -1 -1 -1 . 2 2当 (1 -i)时，；2 =i , M 十迈(1 i)，-乜(1T)，-辽(1 i)，辽(1T)2 2 2 2 2- M；，彳(1 i),-子(17 ,-子(1 i)冷(1-i)；(2)心 eM z，二存在 m N，使得.-z2m .于是对任意 n N , ,2nl .z(2mJ)(2nJ).由于(2m _1)(2n _1)是正奇数，-,2n

31、J Mz M M【例33】复数Zo =1 _mi(m .0) , z = x亠yi和w = xi，其中x , y, x , y 均为实数，i为虚数单位， 且对于任意复数 z，有w=z0z， w=2z .(1) 试求m的值，并分别写出x和y用x ,y表示的关系式；(2) 将(x, y)作为点P的坐标，(x , y )作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点 Q .当点P在直线y=x 1上移动时，试求点P经该变换后得到的点 Q的轨迹方程；(3) 是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？假设存在，试求 出所有这些直线；

32、假设不存在，那么说明理由.【答案】(1) x =x .3y ；( 2)y=(2_ .3)x_2 3 2 ;卜丄握y(3 )这样的直线存在，其方程为y = x或y - - . 3x3【解析】(1 )由题设，w = Zo Z = Zo| Z =2 Z，二 Zo =2 ,于是由1 m2 =4，且m0 ,得m=3 ,因此由 x y i = (1 - . 3i) (x yi) = x . 3y (, 3x - y)i，得关系式 x _ x _ 3y .y = 3x _ y(2)设点P(x ,y)在直线y=x 1上，那么其经变换后的点 Q(x , y)满足x =(1？)x,jy=(T3-1)x-1 消去x，得y =(2 一 3)x -2.32，故点Q的轨迹方程为 y = (2 - . 3)x -