《矩阵和行列式基础》ppt课件

1、行列式和矩阵行列式和矩阵线性代数来源于处置线性关系问题，它是代数学的一线性代数来源于处置线性关系问题，它是代数学的一个分支，构成于个分支，构成于2020世纪，但历史却非常长远，部分内世纪，但历史却非常长远，部分内容在东汉初年成书的容在东汉初年成书的 里已有雏形论述，不里已有雏形论述，不过直到过直到18191819世纪期间，随着研讨线性方程组和变量世纪期间，随着研讨线性方程组和变量线性变换问题的深化，才先后产生了行列式和矩阵的线性变换问题的深化，才先后产生了行列式和矩阵的概念，为处置线性问题提供了强有力的实际工具，并概念，为处置线性问题提供了强有力的实际工具，并推进了线性代数的开展。推进了线性代

2、数的开展。线性代数主要内容：行列式、矩阵、线性代数主要内容：行列式、矩阵、n n维向量、线性方程组、维向量、线性方程组、规范形与二次型，其中行列式与矩阵是其根本实际。规范形与二次型，其中行列式与矩阵是其根本实际。 行列式行列式历史上，最早运用行列式概念的是历史上，最早运用行列式概念的是17世纪德国数学家世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法那么，首先将行列式的用行列式解线性方程组的克莱姆法那么，首先将行列式的实际脱分开线性方程组的是数学家范德蒙，实际脱分开线性方程组的是数学家范德蒙，177

3、2年他对年他对行列式做出衔接的逻辑论述，法国数学家柯西于行列式做出衔接的逻辑论述，法国数学家柯西于1841年年首先创建了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词首先创建了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的运用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列的运用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式实际的构成与开展的过程中做出过艰苦奉献的还有拉式实际的构成与开展的过程中做出过艰苦奉献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。行列式概念行列式概念 问题：求解二元一次方程组问题：求解二元一次方程组(2) ,(1) ,22221211

4、212111bxaxabxaxa用消元法得 021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222111211122aaaabaabx1221221122211211aaaaaaaa二阶行列式二阶行列式D的计算可用对角线法协助记忆：的计算可用对角线法协助记忆：主对角线上元素的乘积主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。次对角线上元素的乘积。求解二元一次方程组求解二元一次方程组 用二阶行列式建立的克莱姆法那么：用二阶行列式建立的克莱姆法那么： 例例14)2()2(2411)3(2)4( 24)2()3(12)2(21243122421D行列式的性质行列式的

5、性质 性质性质2 对调行列式的恣意两行列，所得的行列对调行列式的恣意两行列，所得的行列式的绝对值不变，但符号相反。式的绝对值不变，但符号相反。 推论推论 假设行列式中有两行列元素完全一样，假设行列式中有两行列元素完全一样，那么行列式为零。那么行列式为零。性质性质3 某一行一切元素的公因子可提到行列式符号某一行一切元素的公因子可提到行列式符号的外面。的外面。推论推论 假设行列式中有两行元素对应成比例，那么假设行列式中有两行元素对应成比例，那么行列式为零行列式为零 。性质性质4 假设行列式某行的元素是两数之和，那么行假设行列式某行的元素是两数之和，那么行列式可拆成两个行列式的和。列式可拆成两个行列

6、式的和。 性质性质5 行列式某一行元素加上另一行对应元素的行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，那么行列式的值不变。倍，那么行列式的值不变。 行列式的计算行列式的计算 定理定理(行列式按行行列式按行(列列)展开定理展开定理) ： 行列式行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)各元素与各元素与其其 对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj推论推论 行列式某行行列式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素对应元素的代数余子式乘积之和等于的代

7、数余子式乘积之和等于0，即，即)(012211jiAaAaAaAankjkikjninjiji)(012211jiAaAaAaAankkjkinjnijiji211411101 1D求例5131391152 2求例D注：以元素中0最多的行或列展开克莱姆法那么克莱姆法那么 假设线性方程组假设线性方程组(1)的常数项不全为的常数项不全为0时，称时，称(1)为非齐次线性方程组；为非齐次线性方程组； 系数行列式系数行列式D0，那么方程组，那么方程组(1)有独一解。有独一解。 D=0,且且Dj不全为零，那么方程组不全为零，那么方程组1无解无解 D=0且且Dj0，那么方程组，那么方程组1)有无穷多组解有无

8、穷多组解）（1 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa）（1 000333232131323222121313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa假设线性方程组假设线性方程组(1)的常数项全为的常数项全为0时，称时，称(1)为齐次为齐次线性方程组，这时线性方程组，这时Dj0；假设系数行列式假设系数行列式D0，那么方程组，那么方程组(1)有独一的零解有独一的零解。假设假设D=0，方程组，方程组1) 能够有非零解能够有非零解的解例：求方程组 6373252321321321xxxxxxxxx的解例：求方程组 1038323

9、3213121xxxxxxx的解例：求方程组 00203321321321xxxxxxxxx矩阵矩阵 矩阵是线性代数的一个最根本的概念，也是数学的矩阵是线性代数的一个最根本的概念，也是数学的最根本的一个工具。它在二十世纪得到飞速开展，最根本的一个工具。它在二十世纪得到飞速开展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量运用的数学分支，如今矩阵比行列式在数学中占量运用的数学分支，如今矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在斯特在1850年首先运用的，但历史非常长远，可追年首

10、先运用的，但历史非常长远，可追溯到东汉初年公元一世纪成书的溯到东汉初年公元一世纪成书的，其方程章第一题的方程本质上就是一个矩阵，所用其方程章第一题的方程本质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。的解法就是矩阵的初等变换。 矩阵的运算是线性代数的根本内容。矩阵的运算是线性代数的根本内容。1849年英国数学家凯莱引见了可逆方阵年英国数学家凯莱引见了可逆方阵对乘法成群。凯莱对乘法成群。凯莱 毕业于剑桥三一毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯专长期协作作了大学院，他与西勒维斯专长期协作作了大量的开创性的任务创建了矩阵论；与维量的开创性的任务创建了矩阵论；与维尔斯特拉斯一同创建了代数型实际，奠尔斯特

11、拉斯一同创建了代数型实际，奠定了代数不变量的实际根底；他对几何定了代数不变量的实际根底；他对几何学的一致也有艰苦奉献，终身发表近千学的一致也有艰苦奉献，终身发表近千篇论文。篇论文。一、矩阵概念一、矩阵概念注注 矩阵和行列式不一样！矩阵和行列式不一样！ 矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！实矩阵实矩阵元素均为实数的矩阵。元素均为实数的矩阵。 复矩阵复矩阵元素中有复数的矩阵。元素中有复数的矩阵。 注注 我们只研讨实矩阵，如不特别声明，今后所提我们只研讨实矩阵，如不特别声明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。到的矩阵均为实矩阵。方阵方阵行数与列数都等于的矩阵称为行数与列

12、数都等于的矩阵称为n阶矩阵，阶矩阵，或强调称为或强调称为n阶方阵，常记为阶方阵，常记为 An0000000001000100015820 4 6 2 OE零矩阵单位矩阵列矩阵：行矩阵：二、矩阵运算二、矩阵运算 1.加法即对应元即对应元素相加素相加 定义3 实数kk0与矩阵A的数乘记作Ak或kA 运算规律 A+B=B+A (交换律) (A+B)+C=A+(B+C) 结合律 A+(-A)=O A+O=A k(A)=kA k(A+B)=kA+kB (k+)A=kA+A1011211223A例：求2.乘法乘法乘法不适宜交换律乘法不适宜消去律线性方程组记例：mnmnmmnnnnmnmnmmnnbxaxa

13、xabxaxaxabxaxaxaBAXbbbxxxaaaaaaaaa.,.22112222212111212111212121222211121122223108?32128)4( )32(BABABABBAABABA乘法不满足交换律矩阵的转置矩阵的转置TTTABABBA)(,011322,131142验证例：方阵行列式方阵行列式 定义6 方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA.|,4352,2231ABBA求例：56)7(*)8(43522231| BAAB 解：三、逆矩阵三、逆矩阵 定义7 对于n阶方阵A，假设存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，那么称矩阵

14、A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵。记作B=A-1EBAABBA1201,1201例：独一性：假设独一性：假设A可逆，那么可逆，那么A的逆阵是独一的。的逆阵是独一的。由于假设B,C都是A的逆阵，即 AB=BA=E,AC=CA=E,那么B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以逆矩阵是独一的 问题：存在性问题：存在性 方阵方阵A 满足什么条件时可逆？满足什么条件时可逆？ 如何求如何求 可逆时，怎样求逆矩阵？可逆时，怎样求逆矩阵？的逆矩阵例：求111012101A2111012101|A1, 2, 1, 1, 0, 1, 121102) 1(, 11101) 1(3332312322211321121111AAAAAAAAA111202111332313322212312111*AAAAAAAAAA2121211012121211*1