清华大学微积分高等数学课件第21讲简单常微分方程一ppt课件

1、作业作业 P227 习题习题 8.1 1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题习题 8.2 1(2)(4)(6). 第二十一讲第二十一讲 简单常微分方程简单常微分方程(一一)一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需求寻求函数学及工程技术提出大量需求寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据详细问系不能直接写出来，而要根据详细问题的条件和某些物理定律，首先得到题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知

2、函数的导数的关一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程系式，即微分方程，然后由微分方程和某些知条件把未知函数求出来。和某些知条件把未知函数求出来。一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念.,.,1求求小小球球的的运运动动规规律律松松手手使使小小球球摆摆动动小小球球拉拉开开一一个个小小角角度度将将线线的的长长度度等等于于线线的的另另一一端端系系在在墙墙上上系系在在线线的的一一端端的的小小球球一一个个质质量量为为例例lmo重力重力切向分力切向分力 解解).(tv设设小小球球线线速速度度为为 sin:1mgF 切切向向分分力力vF 2:阻阻力力根据牛顿第二定律根据牛顿第二

3、定律,得到得到 sinmgvdtdvm tddltv )(留意到留意到从而有从而有0sin22 lgdtdmdtd所所以以有有时时当当,sin,1 022 lgdtdmdtd,)(00 tt10 tdtd微分方程微分方程初始条件初始条件定解条件定解条件定解问题定解问题 定义定义1: 含有未知函数的导数的方程含有未知函数的导数的方程 称为微分方程称为微分方程. 未知函数是一元函数未知函数是一元函数,含有未知函数的导数含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数未知函数是多元函数,含有未知函数的含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程偏导数的微分方程

4、称为偏微分方程.022 lgdtdmdtd例如例如阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形式式n)1(0),( nndxyddxdyyxF例如例如022 lgdtdmdtd二阶二阶 未知函数的导数的最高阶数称为未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.定义定义2: ( 微分方程的阶微分方程的阶 )般般形形式式阶阶线线性性常常微微分分方方程程的的一一n 1110)()(nnnndxydxadxydxa)()()(1xfyxadxdyxann 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为线性微分方程方程称为线性微分方程.定义定义3: ( 线性与非线性

5、线性与非线性)不不是是线线性性方方程程的的称称为为是是一一阶阶非非线线性性微微分分方方程程例例如如ydxdy2 非非线线性性微微分分方方程程任任意意常常数数的的解解个个独独立立的的的的包包含含阶阶常常微微分分方方程程nn)1(),(1nCCxfy .)1()(,)1()(的的一一个个解解是是微微分分方方程程则则称称函函数数使使方方程程成成为为恒恒等等式式后后代代入入方方程程如如果果把把函函数数xyyxyy 定义定义4: ( 微分方程的解微分方程的解)称为微分方程的通解称为微分方程的通解. 微分方程的通解：微分方程的通解：Akudtdu 一阶微分方程一阶微分方程例如例如:是是一一个个解解函函数数

6、ktekAtu )(单单参参数数函函数数族族对对于于任任意意常常数数,CktekAtu C)(是是微微分分方方程程的的通通解解)(ACkeACkekudtduktkt 微分方程的特解：微分方程的特解： 一个常微分方程的满足定解条件一个常微分方程的满足定解条件的解称为微分方程的特解的解称为微分方程的特解通解有时也写成隐式方式通解有时也写成隐式方式0,),(,21 nCCCxyx 称为微分方程的通积分称为微分方程的通积分 1)0(:uAkudtdu一一阶阶微微分分方方程程定定解解问问题题例例如如ktekAtu C)(通通解解1C)0( kAukA1C ktekAkAtu )(1)(特特解解 111

7、100000),(nxxnnxxxxnnydxydydxdyyydxyddxdyyxF阶阶微微分分方方程程的的定定解解问问题题n有有n n个个定解条件定解条件 定义定义5: ( 积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族).),(0)()(方方程程的的一一条条积积分分曲曲线线它它的的图图形形称称为为该该常常微微分分隐隐式式解解或或是是一一元元函函数数都都是是一一个个常常微微分分方方程程的的每每一一个个解解 yx,Fxfy积分曲线族积分曲线族.),(称称为为积积分分曲曲线线族族平平面面上上的的一一族族曲曲线线，对对应应于于通通解解xyCxfy 二、二、 一阶常微分方程的一阶常微分方程的 初等积分

8、法初等积分法 所谓初等解法所谓初等解法, ,就是用不定积分的方法求就是用不定积分的方法求解常微分方程解常微分方程. . 初等解法只适用于假设干非常简单的一阶初等解法只适用于假设干非常简单的一阶常微分方程常微分方程, ,以及某些特殊类型的二阶常以及某些特殊类型的二阶常微分方程微分方程. .(一一) 变量可分别型变量可分别型(三三) 一阶线性方程一阶线性方程)()(ygxfdxdy dyygdxxf)()( 或或)()(xqyxpdxdy (二二) 可化为可分别变量可化为可分别变量(五五) 全微分方程全微分方程0),(),( dyyxNdxyxM(四四) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程

9、(六六) 积分因子积分因子解解方方程程例例 1dxdyyxy2231)2( dxxfdyyg)()( 两边积分两边积分 dxxfdyyg)()(通解通解分别变量分别变量xydxdy2)1( )()(yxfdxdy 这两个方程的共同特点这两个方程的共同特点是变量可分别型是变量可分别型( (一一) ) 分别变量法分别变量法dxxdyy21 (1) (1) 解解 dxxdyy2112lnCxy xydxdy2 两边积分两边积分分别变量分别变量1212CxCxeeey 21,0 xCeeyy 时时当当21,0 xCeeyy 时时当当即即则则有有记记,C1Ce )0(2 CCeyx!0 也也是是方方程程

10、的的解解注注意意： y( (分别变量时分别变量时, ,这个解被丢掉了这个解被丢掉了!)!)也也可可以以等等于于零零故故C于是得到方程于是得到方程通解通解)(2RCCeyx xydxdy2 2231xdxydyy Cxy 3112212(2) 解解分别变量分别变量两端积分两端积分, 得得Cxy 3112通解通解dxdyyxy2231 !1,12也也是是方方程程的的解解即即注注意意： yy奇特解奇特解(二二) 可化为可分别变量可化为可分别变量xyxydxdytan 2 例例yxyxdxdy 3例例这两个方程的共同特点是什麽这两个方程的共同特点是什麽 ?)(xygdxdy 可化为可化为齐次型方程齐次

11、型方程xyxydxdy 11求解方法求解方法xyu 令令xuugdxdu )(dxduxudxdy 代代入入得得到到这是什麽这是什麽方程？方程？可分别变可分别变量方程！量方程！)(xygdxdy 齐齐次次型型方方程程xuy 即即:2的的解解例例xyu 令令uudxduxutan 分别变量分别变量xdxduu cot两端积分两端积分1|ln|sin|lnCxu 代代入入得得到到则则,dxduxudxdy xyxydxdytan 取指数并且脱去绝对值取指数并且脱去绝对值)0(sin1 CCxxeuC由此又得到由此又得到)0()arcsin( CCxxy0,0: Cy所所以以可可以以有有也也是是原原

12、方方程程的的一一个个解解注注意意通解通解)R()arcsin( CCxxyyxyxdxdy 3例例解解,xyu 令令uuxuu 11则则,xuuyuxy uuuxu 1212即即dxxduuuu12112 凑凑微微分分dxxuuuud121) 12(2122 两端积分两端积分12lnln) 12ln(21Cxuu 得得2212xCuu 通解通解Cxxyy 222的的通通解解。求求例例)cos( 4yxy 解解,uyx 令令1uy uucos1 则则dxudu cos1 dxuducos1 dxudu2sin22Cxyx 2cot通通解解)1()()()()(1)1(1)(xfyxayxayxa

13、ynnnn 阶线性微分方程阶线性微分方程n)2(0)()()(1)1(1)( yxayxayxaynnnn非非齐齐次次齐齐次次(三三) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程线线性性方方程程的的性性质质一一)(则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合的的解解是是线线性性齐齐次次方方程程与与如如果果,)2()()(21xyxy.,)2(21为为任任意意常常数数其其中中的的解解都都是是方方程程CC)()(2211xyCxyCy 性质性质1：必必有有零零解解。线线性性齐齐次次方方程程)2(性质性质2：。为为任任意意常常数数的的解解亦亦是是则则的的解解是是线线性性齐齐次次方方程程若若)(2)(,)2()(C

14、xCyyxyy 性质性质3：.)2()()(,)1()(),(2121的解的解是齐次方程是齐次方程则则的解的解是非齐次方程是非齐次方程如果如果xyxyxyxy .)1()()(,)2()()1()(*的的解解是是非非齐齐次次方方程程则则的的一一个个解解是是齐齐次次方方程程的的一一个个解解，是是非非齐齐次次方方程程如如果果xyxyxyxy 性质性质4：性质性质5：0)()()( xcyxbdxdyxa0)( yxpdxdy)()(xqyxpdxdy (1) 如何解齐次方程？如何解齐次方程？非齐次非齐次齐次齐次可分别型！可分别型！0)( yxpdxdy规范方式：规范方式：什麽类型？什麽类型？一阶线

15、性微分方程一阶线性微分方程分别变量分别变量dxxpydy)( dxxpcey)(是是p(x)一个原函数一个原函数不是不定积分！不是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得留意：留意：齐次通解的构造：齐次通解的构造：)(,0)()(11xCyyyxpyxy 则则通通解解零零解解一一个个非非的的是是设设)1()()(xqyxpdxdy (2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)的解具有方式的解具有方式)()(1xyxCy 将这个解代入将这个解代入(1) , 经计算得到经计算得到)2(0)( yxpdxdy齐齐次次方方程程的的对对应应于于 ) 1()()2(1)(xCyCe

16、ydxxp 的的通通解解为为）的的解解，（是是 2)(1xy0)()()()( )(11 xyxCxpxyxC)( )()()(11xyxCxyxC )()()()(1xqxyxCxp 化简得到化简得到)()()(1xqxyxC dxxpexqxC)()()(即即积分积分CexqxCdxxp )()()(从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)的通解的通解)()()( dxexqCeydxxpdxxp非齐次通解非齐次通解)(000)()( xxdxxpdxxpdxexqCeyxxxx或或非齐次通解的构造：非齐次通解的构造：的的通通解解为为则则的的一一个个解解是是通通解解的的是是设设)1(,)1()()()(,)2(0)(xqyxpyxyyxpyy )()(xyyxy 000)(yCyxy 得得给给特解特解)(000)(0)( xxdxxpdxxpdxexqyeyxxxx非齐次特解非齐次特解的的通通解解。求求例例)1(15 yy解解的的一一个个解解易易知知)2(0 yy.)1(1)(的的一一个个解解是是观观察察出出 xy1)()1( xCexy的的通通解解,)(1xexy .)2(xCey 的的通通解解dyeyydxxdyy26 例例这是线性方程吗？这是线