华科机械工程测试信息信号分析课件专题2-小波分析

1、MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 机械工程测试机械工程测试信息信息信号分析信号分析 机械科学与工程学院机械科学与工程学院 机械电子信息工程系机械电子信息工程系Dr. Shiyuan LiuPage 2Wavelet Analysis小波分析小波分析Dr. Shiyuan LiuPage 3本周讨论内容本周讨论内容 小波相关历史回顾 连续小波变换 (Continuous Wavelet Transform) 离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform) 小波包变换 (Wave

2、let Packet Transform) 应用 (Applications)Dr. Shiyuan LiuPage 4回顾回顾1 1：FourierFourier变换变换 Jean B. Joseph Fourier(1768-1830)两大贡献：2222( )( ),( )( )( ),( )iftiftiftiftX fx t ex t edtx tX feX f edf00.51-1-0.8-0.6-0.4-0.60.810510152025050100150TimeMagnitudeMagnitudeFrequency (Hz)00.51-1-0.8-0.6-0.

3、4-0.60.810510152025050100150TimeMagnitudeMagnitudeFrequency (Hz)不足：对整个信号进行分析，不能说明频率随时间变化的关系。“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”Dr. Shiyuan LiuPage 5回顾回顾2 2：短时：短时FourierFourier变换变换 Dennis Gabor(1900-1979)于1946年采用滑动窗口观察信号，计算局部时间段内的FT变换，得局部频率

4、。2,STFT ( ,),( )()iftxfffx hx t ht edt14t f 12t f or?不足不足：高频信号持续时间短，而低频长。希望对于高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。特点特点: (1) 时频分辨率固定，取决于窗函数的时宽和带宽 (2) 窗函数的时宽t 和带宽f 满足不确定性原理Dr. Shiyuan LiuPage 6不确定性原理不确定性原理(Heisenberg Uncertainty Principle)Cohen, L. Time-frequency distributions-a review. Proceedings of the IEEE Vol.

5、 77(7): 941 981, Jul 1989. 时间和频率的分辨率不能同时无限高。鱼和熊掌不可兼得。选鱼还是熊掌呢？现象:电子位置与动量不能同时准确的测量/ 2pq 结论：模型： , p qpqqpi Dr. Shiyuan LiuPage 7回顾回顾3 3：小波变换：小波变换Dr. Shiyuan LiuPage 8基本数学概念基本数学概念向量空间和函数空间向量空间和函数空间复共轭复共轭n向量空间向量空间n函数空间函数空间l基基l向量正交向量正交l线性表示线性表示3, ,i j k ,0,1i ji ji ii i a,b,cVaib jck2Ll函数正交函数正交1212( ),( )

6、( ),( )0( ),( )( ),( )1 1,2iiiif tf tf tft dtf tf tf tft dti( )1 0sin() 1,2,;0cos() 1,2,;0u ttTn tntTn tntT l正交基函数正交基函数01212( )coscos2 +sinsin2 0tTf taatatbtbtl函数分解函数分解*()abiabiabi( )( ) exp(z)=exp(z)f zf z如nDr. Shiyuan LiuPage 9小波的基本思想：函数的平移与伸缩小波的基本思想：函数的平移与伸缩tbttt)(t21 ),(aat2 ),(aattbtb移位收缩扩展收缩 +

7、 平平移扩展 + 平平移2 ),(aabt21 ),(aabt)(bt 大尺度看全局小尺度看细节尺度因子a移位因子bDr. Shiyuan LiuPage 10连续小波变换连续小波变换(CWT)(CWT) 连续小波变换(CWT)( ),()()(),(WT;21ttxdtabttxababax 基本小波函数的平移与伸缩)(|)(21;abtatba 基本小波函数)(tx(t)bt)(|21abtaDr. Shiyuan LiuPage 11基本小波函数基本小波函数221/2( )()t batdtadt 满足允许条件2|( )|d 20( )0( )0t dttt Haar小波其它, 015

8、. 0, 15 . 00, 1)(ttt Mexican Hat小波222)1 (32)(tettt Morlet小波22/4200)(1)(tjtjeeet 几种基本小波常用于地震波信号处理常用于教学常用于信号瞬态成份识别u基本小波条件 波形能量为1u能量不变性能量不变性2( )1tdtDr. Shiyuan LiuPage 12小波函数及其频谱小波函数及其频谱ttt)(t21 ),(aat2 ),(aat收缩扩展)(21 ),(aaa2 ),(aaaFT扩展收缩41Constant fftConstantffffDr. Shiyuan LiuPage 13CWTCWT的性质的性质叠加性质

9、若 的CWT是 ,那么 的CWT是时移不变性 若 的CWT是 ,那么 的CWT是尺度伸缩共变性 若 的CWT是 ,则 的CWT是Moyal原理 若 的CWT是 ,则 特别地,当 则有12WT ( , )WT ( , )WT ( , )zxya bka bka b),(baWTx)(tx)(tx( ), ( )x ty tWT ( , ),WT ( , )xya ba b12( )( )y(t)z tk x tkWT ( ,)xa b)(tx),(baWTx( )()y txt),(1),(baWTbaWTxy( ), ( )x ty tWT ( , ),WT ( , )xya ba b20(

10、)WT ( , ),WT ( , )( ), ( ) ,xya ba bCx ty tCd其中( )( )x ty t22201( , )( )xaWT a bdadbCx tdtc Dr. Shiyuan LiuPage 14CWTCWT的物理解释的物理解释Constantffx(t)WTx(a, b)Bandpass Filter)(*,tbatf02f04f0 f = a f0 带通滤波器解释 信号x(t)通过中心分析频率为f的带通滤波器 滤波器的带宽f与中心分析频率f有关，两者之比为常数Dr. Shiyuan LiuPage 15CWTCWT的分辨率的分辨率 时间分辨率由伸缩小波函数的

11、时宽t 所决定 频率分辨率由伸缩小波函数的带宽f 所决定 时间分辨率和频率分辨率都随中心分析频率f而变化 对于高频信号，用窄时窗（宽带宽），则时域分辨率高 对于低频信号，用宽时窗（窄带宽），则频率分辨率高 分析频带按指数划分 (如二进划分) ，每一带宽对应一个尺度 (级)tftfConstantff41Constant ffttaatbtaatb2 ,2afafafaf2 ,2Dr. Shiyuan LiuPage 16CWTCWT与与STFTSTFT的比较的比较tf02f04f0tf02f04f0tftfdethxftfjx2)()(),(STFTdtabttxabax)()(),(WT21

12、tftfDr. Shiyuan LiuPage 17CWTCWT的数学解释的数学解释 CWT是原信号与一系列基函数的内积 基函数是由基本小波经平移 (因子b) 和伸缩 (因子a) 得到的系列函数 CWT表明了原信号与某个特定基函数的“相似”程度dtabttxattxbabax)()()( ),(),(WT21;)(|)(21;abtatba 原信号的重构（连续小波逆变换） 重构需要基本小波满足允许条件 原信号也可看成是按基函数的展开 (展开系数就是CWT)2;)(),(WT1)(adadbtbaCtxbax dC| )(|2Dr. Shiyuan LiuPage 18小波变换示意小波变换示意D

13、r. Shiyuan LiuPage 19CWTCWT实现过程和结果实现过程和结果1.取一个小波与信号的最前面部分比较;2.计算小波系数C,C代表小波和这段数据的相关性， 即C越大,两者越相似;3.移动小波,重复步骤1和2,一直遍历整个数据;4.对小波进行缩放,重复步骤1到3;5.在所有小波尺度下,重复上述步骤.Dr. Shiyuan LiuPage 20离散小波变换离散小波变换(DWT)(DWT) 基本小波函数的离散平移与伸缩/2,000( )()jjj ktaa tkb000001,0, ,jjaaabk jZbka b 1/2;( ) |()a btbtaa 小波“级”：j 小波级大，则

14、尺度小在在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算，其计算量相当大，将产生量相当大，将产生惊人的数据量惊人的数据量，而且有，而且有许多数据是无用许多数据是无用的。的。如果如果缩放因子和平移参数都选择为缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数且为整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算， 就会使分析就会使分析的的数据量大大减少数据量大大减少。Dr. Shiyuan LiuPage 21离散小波变换离散小波变换(DWT)(DWT) （二进）离散小波变换(DWT)/2,00( )

15、, ( )2( )(2) a =2,1jjjkj kdx ttx ttk dtb 原信号的重构（二进离散小波逆变换）ZjZkkjjktdtx)()(,这实际上是对CWT的离散化，并不是真正意义上的离散变换Dr. Shiyuan LiuPage 22DWTDWT要求要求 能提供足够信息分析信号和重构信号； 高的计算效率； 容易实现； 能在不同频带内以不同的分辨率分析信号； 能将信号分解成粗糙部分和细节部分。Dr. Shiyuan LiuPage 23基本尺度函数基本尺度函数)2(2)(2/,kttjjkj)2(2)(2/,kttjjkj 基本尺度函数)(t 基本小波函数)(t平移+伸缩 两尺度方

16、程( )2(2)( )2(2)kk Zkk Zthtktgtk hk 和gk称为两尺度序列，且均与j无关， 只与尺度函数和小波函数相关 hk 和gk都是由有限个数组成的序列 如果小波函数簇全正交，则hk 和gk满足*1) 1(kkkhg尺度函数构建小波函数Dr. Shiyuan LiuPage 24DWTDWT的快速算法（的快速算法（S. Mallat 1989S. Mallat 1989）111(2 )21(2 )2jjkll Zjjkll Zcch mkdcg mk 递推分解与重构公式（金字塔算法）c0c1d1c2d2cNdN只对 cj 进行继续分解，分解过程是递推的。 对于数字信号的分解

17、，可以直接将其定义为c0，则分解过程是完全离散化的，而且分解过程的计算只需要知道两尺度序列，甚至不涉及尺度函数和小波函数的具体形式。1(2 )(2 )jjjklll Zl Zcc h kld g kl 快速分解 快速重构jkcjcjkdjdDr. Shiyuan LiuPage 25DWTDWT快速算法的物理意义快速算法的物理意义ZkfkikZkfkikegfGehfH22)()( 递推分解公式的频域表示（共轭滤波器）00.8100.51|H(f)|G(f)|c0c1d1H2G2c2d2H2G2cNdNH2G2 待分析信号通过H(f)和G(f)分别进行低通和高通滤波 滤波的结

18、果是得到一组低频分量和一组高频分量 每次获得的低频分量和高频分量的长度都是原信号长度的一半 可以看作是滤波后进行了“隔点采样”Dr. Shiyuan LiuPage 26DWTDWT的分解结果的分解结果c0c1d1d2c2c3d3 Step 1OriginalStep 2Step 3Step NApproximation: Detail:二进频带划分二进频带划分级时123210 ., , , ,Naaaaa将高频成份不断剥离，可得低频部分常用于降噪Dr. Shiyuan LiuPage 27尺度函数与小波函数的关系尺度函数与小波函数的关系SW1V1W0V0V2V1V0W0W1V0W1W0210

19、12112001 jjjjjVVVVVVWWWjjVWWLL粗分辨率细分辨率正交补空间尺度函数空间的嵌套性/2,000( )()jjj ktaa tkb000001,0, ,jjaaabk jZbka b 1/2;( ) |()a btbtaa注意j前面的正负号Dr. Shiyuan LiuPage 28DWTDWT的快速算法降噪实例过程的快速算法降噪实例过程第2次变换第3次变换生成信号定义滤波器db(2)参数信号滤波隔点采样第1次变换512采样点注意注意H H0 0和和H H1 1不变不变Dr. Shiyuan LiuPage 29小波包变换小波包变换ZlklmlmkZlklmlmkgddh

20、dd212222121ZkmkmZkmkmktgtktht)2()()2()(122)()()()(10tttt 基本尺度函数 基本小波函数 小波包 快速分解与重构递推算法lkZlmllkZlmlmkgdhdd21222改进Mallat算法以提高高频区域的分辨率111(2 )21(2 )2jjkll Zjjkll Zcch mkdcg mkMallat算法1(2 )(2 )jjjklll Zl Zcc h kld g kl生成小波包基Dr. Shiyuan LiuPage 30小波包变换的物理解释小波包变换的物理解释d1d2d3d6d5d4d7d12d10d8d14d13d11d9d15 St

21、ep 1OriginalStep 2Step 3Step NApproximation: Detail:Linearly divided frequency bandsDr. Shiyuan LiuPage 31小波包小波包基实例基实例3 3级级HaarHaar小波包基小波包基Dr. Shiyuan LiuPage 32小波（包）分析的工程应用小波（包）分析的工程应用 应用基础 具有频带分离功能 可以在缓变信号中检测出突变信号 可以在高频噪声中检测出全局缓变信号 小波变换用时级图表示，可以得到二进划分频带内的局部能量 小波包变换用时级图表示，可以得到线性划分频带内的局部能量 部分工程应用 钢丝

22、绳断丝检测 切削颤振识别 齿轮故障检测 铣刀破损监测 发动机故障振动监测分析高频的好处，提取信号特征有个性：有棱有角。无个性：泯然众人矣Dr. Shiyuan LiuPage 33基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(1)(1)齿轮故障PinionBroken ToothDr. Shiyuan LiuPage 34基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(2)(2)Abnormal去除啮合频率分量后振动信号的时域同步平均Dr. Shiyuan LiuPage 35基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(3)(3)D4小波分解的时级均方图Abnormal

23、Dr. Shiyuan LiuPage 36基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(4)(4)去除啮合频率分量后振动信号的时域同步平均Dr. Shiyuan LiuPage 37基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(5)(5)D4小波分解的时级均方图AbnormalDr. Shiyuan LiuPage 38基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(6)(6)调谐小波分解的时级均方图AbnormalDr. Shiyuan LiuPage 39基于小波分析的齿轮故障检测基于小波分析的齿轮故障检测(7)(7)高斯小波分解的时级均方图Dr. Shiyuan

24、LiuPage 40发动机故障诊断发动机故障诊断系统系统- -信号采集系统信号采集系统信号采集系统构成及传感器安装位置对象 四冲程柴油机，工作转速1500转/分钟信号采集方法n采样方式 同步采样（测量空间720度）n采样频率 每个通道采样频率约25.6kHzn采样点数 每个通道每次循环采样2048个点触发同步信号用的电涡流传感器，安装在柴油机曲轴上加速度传感器，安装在柴油机缸盖上（进气门和排气门）n传感器n信号调理模块电荷放大器和滤波器等n数据采集卡美国RTD公司AD3110卡12位采样精度，16个A/D采样通道，最高采样频率200kHzDr. Shiyuan LiuPage 41基于小波包分

25、析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断(1)(1) 研究背景 利用缸盖表面振动信号进行柴油机潜在故障的诊断，故障分类 缸盖振动信号具有局部冲击特性，是非平稳时变信号 希望从整循环振动信号中直接提取特征参数Acceleration (m/s2)Time (ms)Cylinder 1Cylinder 2EVC IVC Combustion EVO IVO EVC IVC Combustion EVO IVO EVC IVCTDC BDC TDC BDC TDC BDC (of cylinder 1)Timing information important.Dr. Shiyuan LiuP

26、age 42基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断(2)(2)整循环信号同步采样改进算法计算小波包形成整体诊断特征向计算滑动平均特征向下一个循环故障识别21212,),()(JJnnmJJnmanmPA 诊断过程 形成特征向量Dr. Shiyuan LiuPage 43基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断(3)(3)-200002000-200002000-300003000-200002000Acceleration (m/s2)-500005000090180270360450540630720-200002000Crank angle ( )

27、Pattern 1 - Healthy Pattern 2Pattern 3Pattern 4Pattern 5Pattern 6实际测量波形气门间隙偏小气门间隙偏大气门漏气进气门外弹簧断裂气门内弹簧断裂Dr. Shiyuan LiuPage 44基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断(4)(4)Pattern 2实测波形的小波包分解Pattern 1 - HealthyDr. Shiyuan LiuPage 45基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断(5)(5)050100050100050100AL / 103.m2.s-407515005001

28、00001803605407200501000751500751500150300AH / 103.m2.s-4075150060012000180360540720075150 / degCA / degCAPattern 1 - Healthy Pattern 2Pattern 3Pattern 4Pattern 5Pattern 6整循环特征向量Dr. Shiyuan LiuPage 46基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断( (6 6) )Original Algorithm-2000200-2000200-2000200-2000200-2000200-200

29、0200-200020000.81-2000200Time (s)d15d14d13d12d11d10d9d8WP coefficientsWavelet Packet Coefficients (Scale/Frequency Values)Dr. Shiyuan LiuPage 47基于小波包分析的发动机故障诊断基于小波包分析的发动机故障诊断( (7 7) )Original Algorithm with Re-coding-2000200-2000200-2000200-2000200-2000200-2000200-2000200-2000200d13d12d14d15d10d11d9d800.81Ti