概率论与数理统计总复习

1、,( )1( )( )2()( )( )()()( )( )3()( ) ()( )0()( ) ( )ABA BABABN AP AN SP ABP AP BP ABABP ABP AP BP ABP A P B AP AABP ABP A P B 对偶律：三、基本公式：、古典概型的概率计算公式：、加法公式：可推广到有限个的情形如果，、乘法公式：可推广到有限个的情形若 与 独立，1121()4()( )0( )5( )() ()()0,() ()()6()()0( )() ()niiiinjjjiniiiP ABP B AP AP AP BP A P B AP AA AASSP A P B

2、AP ABP B AP AP AP A P B A、条件概率：、全概率公式：其中是 的一个划分或是 的一个完备事件组、逆概率公式：第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布一、一维随机变量一、一维随机变量1、确定分布律和概率密度的常数、确定分布律和概率密度的常数-归一性归一性注意：区分互斥和独立。注意：区分互斥和独立。2( )( ),( )1,2,3( )( )( )4( )( )( )( )5(kkka xbbakkkxxxP aXbF bF aP aXbpa bRP aXbf x dxpP XxpkF xP Xxf xxRf t dtF xf xF xf xxYg X 求求求、随机变量落

3、在区间的概率分布律（）、已知分布函数概率密度、已知分布函数概率密度在的连续点 处、)1()2()XYg XXYg X的分布（ ）离散：由 的分布律，求的分布律-（ ）连续：由 的概率密度，求的概率密度-分布函数法6、常见的分布：、常见的分布： (0-1)、二项、泊松、均匀、指数、正态分布、二项、泊松、均匀、指数、正态分布2( , ),( , )( , )( , )( , ), , ,(, )( , )x yGP aXb cYdF b dF b cF a dF a ca b c dRPX YGf x y dxdyGR3、已知联合分布求边缘分布、已知联合分布求边缘分布1121,2,1,2,1,2,

4、( )( , )( , )( , )( )( , )iiijjijijjjijiXYpP XxpiP Xx Yypi jpP Xypjfxf x y dyxRf x yx yRfyf x y dxyR 求求21,2,1,2, ,1,2,( )( , )( )( )( , )( )iijjX YijijXX YXYYP XxpiP XypjP Xx YyP Xx P Yyi jfxxRf x yfx fyx yRfyyR 当, 独立时可求当, 独立时可求5、讨论独立性、讨论独立性221( ,),1,2,2( , ),( , )( )( )ijiiiiijijXYXYx yRP Xx YyP Xx

5、P YyXYi jpppXYx yRf x yfx fy ）离散型：与 独立，有或与 独立，有）连续型：与 独立几乎处处成立11111,2,3,()( )( )()1,2,3, ()( ) ( )( )( ,)(, ), (, )kkkkkkkkkkijijijijjix pXP XxpkE Xxf x dxXf xxg xpXP XxpkE g Xg x f x dxXf xxg x ypX YP Xx YypiE g X Y 若 ：若 ：若 ：若 ： 若：2,1,2,3,( , ) ( , )(, )( , )( , )jg x y f x y dxdyX Yf x yx yR 若：第第3

6、章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、数学期望一、数学期望1、定义、定义22122222()()( )()() ( )()()()1()( )()()()()()( )2 ()( )2()(XYkkkXYE aXbYcaE XbE YcE XYE X E YxE XpD XE XE XxE Xf x dxD XE XE XD XYD XD YEXE XYE YD aXbYca D与 独立与 独立、性质：二、方差、定义、性质2)( )Xb D Y注意：常见分布的期望和方差。注意：常见分布的期望和方差。三、协方差与相关系数三、协方差与相关系数(, )()( )()() ( )(, )()(

7、 )0XYXYCov X YEXE XYE YE XYE X E YCov X YD XD YXYXY与 相互独立，即 与 不相关()1,2,kkE Xk()1,2,kEXE Xk四、矩四、矩 k阶原点矩：阶原点矩：k阶中心矩：阶中心矩：222222()22()22211( )()21( )()212( )()21( )()2( )()3()()xxtxtxf xexxexF xedtxxedtxxF xE XD X 、概率密度：、分布函数：关系：、正态随机变量的期望和方差 22222211111111114( ,)()()1()()1( )5(,)(1,2, )(,)(iiinnnnnnnn

8、baXNP aXbaP XaxxXNinC XC XN CCCCC XC XCN C 、正态随机变量取值的概率设，则、正态随机变量的线性性设且它们相互独立，则推广：2222112121,)(,)(0,1)()nnnnnkknkkCC CCXN nnXnNXNnn特例：推论：；或：，11222211222211222211111111()()1111()()1111()()1111(1,nniiiinniiiinniiiinniiiinnkkkikiiiXXxxnnSXXXnXnnsxxxnxnnSSXXssxxnnkAXaxknn样本均值： ； 样本方差：样本标准差：；样本 阶原点距：；112

9、,)1()1()(1,2,)nkkiinkkiikBXXnbxxkn样本 阶中心距：三、抽样分布三、抽样分布(上上分位数分位数)（2） 2分布：设分布：设XN(0,1)，X1,X2, , Xn是是 X 的样本，则统的样本，则统计量计量 X12X22Xn2 2(n)（3） t分布：设分布：设XN(0,1)，Y 2(n)，X 与与Y 相互独立，则统相互独立，则统计量计量（4） F分布：分布：设设U 2(n1)，V 2(n2)，且，且U与与V 相互独立，相互独立，则统计量则统计量( )Xtt nY n1122( ,)U nFF n nV n2211( )()2xxex （ ）标准正态分布：12212

10、22222121211222122211221,( ,)1(01)2(1)(1)3(1)2,(,)(,)()()1(01nnnXXXXNXXzNtt nnSnnSnXXXY YYXNYNXYNnn 、设自正态总体的样本，则（ ），；（ ）（ ）、设与分别来自正态总体和，且这两个样本相互独立，则（ ） ，221212221222112222112222222112212)2(1,1)(3)( () 11()()1) 1snsnsnsnnnSSF nnXYtSnSn近似地；（ ）；其中112211()1,2,)23kkkE XkkAAA、矩估计第 步：求(（ 由未知参数的个数确定）第 步：由第 步：解出未知参数得矩估计量11112( )( , )( , )1( )( , )( , )ln ( )ln( , )( , )2ln ( )ln( , )( ; )ln ( )3niiniiiniiniiLp xXP Xxp xLf xXf xLp xXp xLf xXf xdLd令、最大似然估计(下面步骤以一个参数为例）若 ：第 步：写出似然函数若 ：若 ：第 步：将似然函数两端取自然对数若 ：第 步：解似然方程1212120( ,)4( ,)(,)nnnx xxx xxXXX，得第 步：从而得未知参数的最大似然估计值参数的最大似然估计量12121231( )2( )()