第六章二次型与二次曲面

1、6.1二次型及其标准形二次型及其标准形6.2 正定二次型正定二次型6.3 曲面及其方程曲面及其方程6.4 二次曲面二次曲面第六章 二次型与二次曲面 1 12, 含有 个变量且系数属于数域 的二次齐次多项式nnx xx1.1定定义义F21211 112 1 213 1 311222 223 2 322( ,) 222 +22 + nnnnnf x xxa xa xxa xxa xxa xa x xa x x2 =称为关于数域 的一个，简称。时的二次型称为实二次元二次型二型。时的二次型称为复二次型。次型nn nna xFFF6.1二次型及其标准形二次型及其标准形 1 1. . 二二次次型型及及其其

2、矩矩阵阵 2 1212( ,) ()2( ,) 在二次型中，令 则，于是有的多项式表示：jnijijijijjijiinijf x xxa x xa x xa x xf x xxaaij112212112122112121222221212(,) +nnnnnnnnnnnnf x xxxx xx xx xxx xx xx xxaaaaaaaaa11nnijijija x x2221231231 312122312221212( ,)2454 ( ,)( ,)()都是实 复 二次型。nnnnnf x x xxxxx xg x xxx xx xxxh x xxxxx例例 3 12111 11221

3、221 122221 122( ,) () () ()nnnnnnnn nnnf x xxx a xa xa xx a xa xa xx a xa xax11 1122121 12222121 122( ,)nnnnnnn nnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xax二次型的矩阵表示：111211212222121212( ,)( ,)于是nnnnnnnnnaaaxaaaxf x xxx xxxaaa 4 T212T1T( ,)( ,) ,()(=)二次型的矩阵表达式：其中为实对称矩阵为实数,即=,且。nijn nnijijijijjix xxf x xxaaaaaaXA

4、AA,AA|X AX称为二次型的矩二次型与实对称矩阵一一对应：是二次型 唯一确定的矩阵, 。 给定 ，二次型 也唯一确定阵二次型称为矩阵的二次型的秩等。 于 。的秩 ffffffAAA AA A 5 112233122113312332123,120202230333，。aaaaaaaaa 解解 - -A2221231231223 ( ,)2346写出二次型的矩阵。f x x xxxxx xx x例例1T12312323120( ,)( ,) 223033xf x xxx xxxxX AX222123123( ,)23写出二次型的矩阵。g x x xxxx例例 100020003=，解解 -

5、-A1T12312323100(,)(,) 020003xg x xxx xxxxX AX 6 ( , , ),写出实对称矩阵 对应的二次型其中 。x y za bcb dec efAUA例例 TT222( , , )( , , )( , , )222U x y za bcx y zb dex y zc efaxdy + fz + bxy+ cxz+eyz解解 X AX 7 12121111122112111112111212222212,( ,1,2数域上由变量到变量的是指形如，即的一组表达式线性。其中变换nnnnnnnnnnnnnijnnnnnnx xxyyyxc yc yxc ycyxc

6、 ycycccxycccxyxycccci j1.2 定定义义F, )是中的数。nFTT1212=()( ,)(,)() 记，则由 到 的 线性变换可写成。ijn nnncx xxy yyCXYXYCYX 8 121212112( ,)(,)(,)( ,) 若方阵 可逆，称为。 二次型可经非退化线性变换化为二次型。 二次型也可经非退化线性变换化为二非退化的线性替换次型。nnnnf x xxg y yyg y yyf x xxCXCYXCYYC X1T1T 若 是正交矩阵，称为。 正交变换 ，则。CXCYCCYCXC X 9 1212( ,)(,) 二次型经过非退化线性变换化成只含平方项的二次型

7、。nnf x xxg y yyXCY例例T12TTT( ,)=()()nf x xx证证X AXCYA CYY C ACYTTTT1212()( ,)()(,)令令则 为对角矩阵nnf x xxg y yyBC AC BYC AC YY BYTTT1212T( ,)(,)则是只含平方项的二次型，即其中，为对角矩阵。nngf x xxg y yyY BYX AXY BYBC AC()故通过非退化线性变换可把一般二次型化为只有平方项的二次型非退化二次型化平方和线性变换用于解决一般的问题 二次型的基本问题 。 10 T, 若对 阶方阵 ， 存在可逆矩阵 ，使合同于称矩阵。n1.3 C ACBABAB

8、C定定义义(1) (2) (3) ：反身性： 合同于 。对称性：若 合同于 ，则 合同于 。传递性：若 合同于 ， 合同于 ，则 合同于 。AAABBAABBCAC具具有有合合同同关关系系的的矩矩阵阵的的性性质质TT1 T1TT11221212T1212()()() 。，则。，均可逆，则可逆且。 由对称性， 合同于 ， 合同于 ，可与 合同称为。A = E AE B = C ACA = CBC B = C ACC = C BCCCC C C =AC CCBBABA CA 11 原二次型经过非退化的线性变换化成新二次型，则原二次型矩阵合同于新二次型矩阵 。TTfg1.1XCYYX AXABBY定

9、定理理TT12TTTT12 ( ,) ()()() =(,)令nnf x xxYg y yyB C ACX AXCYA CYC AC YY BY 证证TTT1 (,)() 由于 可逆且，则 与 合同。 实际上，由于 可逆且和，则即实对称矩阵 与对角矩阵合同。ndiagCBC ACABCAAAABC AC =A 12 2. 化二次型为标准形化二次型为标准形只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。222123123( ,)326。f x x xxxx如如 222211T1211121122212( ,) 0( ,) ( ,) 一般二次型若时，则二次型是标准形:nnnijijijijnnnniinn

10、iif x xxa x xijaf x xa xa xa xxf x xaxxX AX1122000000此时，二次型 的矩阵是对角矩阵。nnaafaA= 13 1212( ,)(,) 一般二次型经过非退化的线性变换化成标准形，即nnf x xxg y yyXCYT222111222TTT12T( ,)=()=nnnnb yb yb yf x xxB C ACX AXYC AC YY BY1122T000000矩由于是对角矩阵，故原二次型的阵 合同于对角矩。阵nnbbbfBAACBC 14 一一. 正交变换法正交变换法T12221211( ,) ( ,) 设为实二次型，则可作一个正交变换，其中

11、 是正交矩阵，把化成标准形 。nnnnf x xxf x xxyy1.2X AX XCYC定定理理TTT2211()nnyyX AXYC AC Y121T12( ,)3.6 ( ,)二次型的矩阵 为实对称矩阵，由第五章的定理知，存在正交，使 矩阵nnf x xxdiag ACCACC AC证证 15 12TTT12T12211(,) , (,) ()(,) 对一般二次型，可由正交变换将其化为标准型，即nnnnnfx xxfx xxdiagyyXCYX AXYC AC YYY1212, , 其中为实对称矩阵的个特征值；正交矩阵的个列向量是的对应于特征值的 个单位正交特征向量。nnnnn ACA

12、16 解：解：1 1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值17222 14424 14A-172221442414EA2(18) (9)222123121323 171414448将二次型通过正交变换化成标准形。fxxxx xx xx xXCY例例123918得特征值，。 17 9()1将代入，得基础解系EA X02求各特征值的特征向量2318()将代入，得基础解系EA X0TT23( 2,1,0)( 2,0,1)，。 XX3将特征向量正交化23112233222(,),(,)取，XXXX T1(1, 2, 2) 。XT1T2T3(1,2,2)( 2,1,0)24(,1)55得正交向量组， ，

13、18 ,(1,2,3),令iiii 123252451 32 3 ,15,4452 30545。 1 325245 2 3154452 30545所以。C4将正交向量组单位化，得正交矩阵 19 于是所求正交变换为1122331 3252452 315445,2 30545xyxyxy()且有TTTf X AXYC AC Y123(,)Tdiag YY12212323212390001800018918(,)8, 1。yy yyyyyyy 20 222123123121323( ,)553266f x x xxxxxxxxx x例例 求一正交变换，将二次型513 153 ,333二次型矩阵 A解

14、解(4)(9),的特征多项式 EA12304,9,的特征值为，A1231111,1 ,1201对应的特征向量为 。ppp 123( ,)1化为标准型，并指出表示何种二次曲面。f x x x 21 312123123161213 16,12 , 1302613将其单位化，得。pppqqqppp 112233111623111,62321063故正交变换为yxyxyx 222349原二次型化为标准型 。fyy2222322322491(1)11()()23是椭圆柱面 即。yyyy123( ,)1 由于正交变换具有保形性，因此表示椭圆柱。面f x x x 22 二二.配方法配方法()() 正交变换法

15、可以将任何二次型通过正交变换化为标准形。 正交变换是相似的 保持特征值不变 ，也是保形的 正交变换保持几何形状不变 。问题：有没有其他方法也可以把二次型化为标准形？答案：若不要求变换相似和保形，只是用非退化线性变换将二次型化为标准形，则有行之有效的配方法。 23 22212312132325226, 化二次型为标准形 并求所用的变换矩阵。fxxxx xx xx x例例22212312132325226fxxxx xx xx x解解22211213232322256xx xx xxxx x222123132 ()()xx xxxx2222323322)56(xxx xxx222221232323

16、2323()2256xxxxxx xxxx x2221232323()44xxxxxx x2212323()(2 ) 。xxxxx 24 1123223332令yxxxyxxyx1123223332xyyyxyyxy112233111012001xyxyxy222221231213231225226。fxxxx xx xx xyy111012 ,00110所用变换矩阵由于， 是可逆矩阵。是非退化线性变换。CCC XCY 25 T12 ( ,)()任意 元二次型， 都可以经非退化线性替换化成。 证明略标准形nnf x xx1.3定定理理X AX 任意对称矩阵都合同于对角。矩阵1.4定定理理TTT

17、T2221 122T12 1.3() ( ,)由定理知，对称矩阵 的二次型可经过非退化替换化成标准形,即 nnnffd yd yd ydiag d dd证证AX AXXCYX AXYC AC YYYT12(,) 所以，即 合同于对角矩阵。ndiag d ddC ACA 26 11221233,令xyyxyyxy121323226,代入 fx xx xx x22121323 2248得 fyyy yy y121323226 化二次型 成标准形，并求所用的变换矩阵。fx xx xx x例例解解 所给二次型中无平方项，1121233110 11 0001即,或，xxxyyyXCY2321132222

18、23222223313332282(442()2246yyyyy yyyyyyy yyy 27 011103130，A22221322333222132332()2(44)62()2(2)6fyyyy yyyyyyyy113223332令 zyyzyyzy113223332 ，yzzyzzyz222123626=222所以 标准型对应的矩阵。，fzzzB1122233101012001即 ，或，yzyzyzYC Z 28 29 121212T11 01 0 111311 00 1 211100 10 0 1001det( )20,011210321306(即对，故所用总变换矩阵为 ，由于 是可

19、逆矩阵，是非退化线性变换。 经计算，确有，其中原二次型矩阵，标准型的矩阵 XCYYC ZXC C ZCC CCCXCZC ACBAB)称矩阵合同于对角矩阵，或原二次型矩阵 合同于标准型矩阵。AB222111222TTTT() 若非退化线性变换 将二次型化成标准形：nnnb yb yyfbfXCY X AXX AXYC AC Y1T2120000= =( ,)=00则 nnbbdiag b bbbC AC B11T2211220000 ( )()()00,),(由于可见，标准形的系数有个系数不为零，其余个系数中，。为零nnnnbbrrrbbrnbrbAAAC AC 30 ( )设二次型 的矩阵

20、的秩为，则化成标准形后，正好有 个平方项不为零。rrfr1.5定定理理AA 二次型的矩阵的秩也称为该二次型的秩。fA定定义义TT12 (,)设二次型经过非退化变换后，化成标准形，nfdiag d ddX AXXCYYY证证T12(,)则有 ndiag d ddC ACT12( )()(,)nrrr diag d ddrAC AC12,则中，有 个不为零，所以，标准形中有个平方项不为零。nrrd dd 31 T 将二次型分别化为标准形：f X AX2221122nnfa ya ya y12: 设两个非退化线性变换和，XCYXC Z例例2221 122nnfb zb zb z 32 1212( )

21、, 若，在两组系数和中，不为零的系数都有 个,其余为零的系数有个。nnrra aab bbrnrA2221122T12=,0, ()的任一标准形都可化成： 其中，都不为。rrrfd ddfrrd yd yd yX AXA22211221222121111111 1,2, 1, ,复二次若在讨论二次型 ，其标准形： 可进一步作非退化替换：即型的规范形称围。复数范为域rrirrriirrinrndzyzydzyzyffd yd yd yzirydzi rnfzzz 33 22222112211222221211 1,2, 1, 0 (1,2, ), +1若在讨论二次型 ，其标准形：这里，可进一步作

22、非退化替换：称实二次型的规范形为。实数域其中系数为的平方项有 个， 称范围为正惯ppppririppriiifzirdyzfd yd yd ydyd ydirfzzzzzppirn1，系数为的平方项有-个性指数为负惯性指数，- 称为符号。差称，qp qr p= q- - 34 T222212341234 ( )3( ,)2420 2, 1, 3正系数个数负系数个数: 设= = 。pqrpqrrf x xx xyyyyXPYAX AX注注意意标标准准形形中中不不为为零零平平方方项项的的系系数数例例T222212341234( ,)105 2, 1, 33正系数个数负系数个数。f x x x xz

23、zpqrpqzzX QZX AX 35 22211222T1() , 设实二次型 的秩为 ，无论用何种实的非退化替换把 化成标准形：则 个系数中，取正数系数的个数与取负数系数的个数 总是不变，且总有。 特别地，实二次型可经适当的非退化线性替换化为规范形：nnnfk yk ykfrXCYfnyk kkrqqpp1.6定定理理惯惯性性定定理理X AX22222121 (,)() 规范形中的， 唯一确定 。证明略。则规范形是唯一确定的pprfzzzzzp qr 36 222123121 323 3422求实二次型 的正负惯性指数。fxxxx xx xx x例例222123121 323 3422可用

24、配方法将二次型化成标准形： fxxxx xx xx x解解22232112322232332(22 (2)32(2 ) xxxxxxxxxxxx 2221232233(2)322xxxxx xx223322212322332(2)3()23399xxxxxxxxx 37 2223312327(2)3()33xxxxxx11233223322212323733令yxxxxyxyxfyyy213 所以 的正惯性指数，负惯性指数，的秩。pfqfr 38 1212 (,),设二次型， 对任意 个不全为零的实数实有，总nnf x xxnx xx2.1TX AX定定义义12121212( ,)0( ,)0

25、( ,)0( ,)0nnnnf x xxff x xxff x xxff x xxf，则称 是。，则称 是。，则称 是。正定二次型负定二次型半，则称 是正定二次型半负定二次型。6.2 正定二次型正定二次型正定二次型的矩阵 称为，负定二次型的矩阵 称为，半正定正定矩阵负定矩阵半正定二次型的矩阵 称为，半负定二次型的矩阵 称为矩阵半负定矩阵。AAAA 39 实际上，正定二次型一定是半正定二次型，而半正定二次型有可能不是正定二次型222123123123123222123123123( ,)25 =( ,)0,0( ,)250 ( ,) 设二次型，对任意，即不全为 ， 则 所以，是正定二次型。f x

26、 x xxxx x xx x xf x x xxxf x x xxxX例例 22123121231231231232212312123( ,)2 =( ,),0( ,)(0,0,1)( ,)0( ,)20 ( ,)设二次型，对任意，即不全为 ，如时，所以，故不是正定二次型，是半正定二次型。g x x xxx x xx x xx x xg x x xg x x xxg x x xxxX00 40 非退化线性变换将正定二次型仍变为正定二次型。2.1性性质质T12TTT1212 ( ,)( ,)()(,)设二次型是正定二次型，是非退化线性替换。因为nnnf x xxf x xxg y yy证证X A

27、XXCYX AXYC AC Y 12T12T12,( ,)( ,) 对任意不全为零的 个实数：，令，则，令，由于 可逆，则有，nnnny yyy yyx xxYY0XCYCX0 212112 = (0 (,)(,),)()，因是正为 正定所以，实定二次型二次型。nnnfg y yyg y yyx xxf 41 TTT (1) ()(2) (3)(4) ();5 ( ) 为正定二次型是正定矩阵的所有特征值都是正值其正惯性指数且与 合关于 元二次型，下同存在可逆阵列命题等价：即，使存在可逆矩； ；即（，。实）阵使fprfnnn2.1AAAAECC ACEPXPX AAP定定理理 要证实二次型 正定

28、的 个特征值全为正数。fn(1)(2)证证AT221212111 ( ,) (,)对，存在正交变换，使其中， ，是 的 个特征值， 是正交矩阵。nnnnnff x xxg y yyyynX AXXQYAQ 42 1212( ,)(,0(1,2,)由于则所有正定，则经过非退化变换后的也正定，nnif x xxg y yyin1121211200( =1,2, )0(,)(1,00)(,)(1,00)=0(,)反证所有：若有某个，不妨设，取， ，代入，得， ，与正定矛盾。iinnniny yyg y yygg y yy1T22121211 , ( ,) (,) ( )若 的所有特征值 ，都是正值

29、；对，存在正交变换使由标准形可知，其正惯性指数且。nnnnnff x xxg y yyyypnrn(2)(3)证证AX AXXQYA 43 TTT12222T12T ( )( ,)()=若二次型 的正惯性指数，则存在由可逆矩阵 实施的非退化线性变换，化二次型为规范型，即，所以 与单位矩阵 合同。nnfpnrff x xxzzz(3)(4) 证证ACXCZX AX = ZC AC Z Z EZC AC EAETT111 T1T1 ()() 若存在可逆矩阵 ，使，则，其中是可逆矩阵。(4)(5)- -证证CC ACEACECCCP PPC 44 T 若存在实可逆矩阵 ，使，(5)(1)证证PAP

30、PT12T12TTTT122221212( ,),(,)( ,)() ()0,( ,)对任意有，故是正定二次型。nnnTnnx xxy yyf x xxyyyf x xxX0YPX0X AXX P PXPXPXY Y 45 0实正定矩阵的行列式大于 。2.2性性质质AAT2.1(5),由定理知，存在实可逆矩阵 ，使证证 PAP P2TT=0 (0)可逆，则。AP PPPPPP 46 方阵 的阶顺序主子式k2.2定定义义A111212122212 (1)kkkkkkkaaaaaaPknaaa11121311121112321222321223132331,，则，。nknaaaaaPaPPaaaP

31、aaaaaA0 (1,2, )(2.2)为正定矩阵的充要条件是：的各阶顺序主子实式 全大于。参见性质的明对称阵。矩证kPkn2.2 定定理理AAT ( 1)0 (1,2, )二次型为负定的充要条件是：kkfPkn定定理理- -X AX 47 TT111212122212234()( 1)000001负定正定的各阶顺序主子式0，即。即负定， 。kkkkkkkkPPffaaaaaaaaaPP 证证 X AXXA XAA2221231213 26422判断二次型正定还是负定。fxxxx xx x 例例211160104解解 A123211212011016038016104，PPP 所以， 是负定的

32、，二次型是负定二次型。fA 48 222123121323522： 取何值时，+4是正定的？fxxtxx xx xx xt例例11121 25tt解解 A2212311 1 10, 1,1254 1 1 25ttPPtPtttt 222101 (54)05401140 05540405若 正定，则，所以，当时， 正定。tttttttttttf A 49 211( ) 习题6 6 4判断实二次型是否为正定二次型niijiij nffxx x 例例1111222111122211112221111222的矩阵nf解解 A12112310,0,4112的各阶顺序主子式PP A 50 11112222

33、11111111211222121111121122211121111222kkkkP111112111211211112kkkkkk111101001200100001kkk 1(1)0, 2,3,2kkkn是正定，所以。，二次型f 51 ()(1) ()(2) (3) 根据二次型正定 负定判断。 求二次型的矩阵并判断。 定义的特征值的各阶顺序主子式求并判断。判判断断二二次次型型正正定定 负负定定 的的方方法法：AA 试证：若 ， 是正定矩阵，则也是正定矩阵。例例 ABABTTTTT00 ()0， 正定，对， 则有，所以，即是正维列向量定矩阵。n证证 ABX AXX BXXAB XX AXX

34、 BXABX0 52 若 是正定矩阵，对，也是正定矩阵。kkN 例例AA1, 而矩阵的 个特征值为，即的全部特征值为正数，故也是正定矩阵。kkkknknAAA 53 12, , 1,02,设为矩阵 的 个特征值，因为是正定矩阵，所以，innin证证 AA 若 是实对称矩阵，则必可找到，使为正定矩阵。aa例例EAA112,设 的特征值为，则的特征值是，nnaaaa证证 AEA12max()0只要取则的特征值全都大, ,，于 ，naaAE则是正定矩阵。aAE()()0 ( ), 1,2, 设为 阶实对称阵，试证：若 是正定 负定 的，则0， ijn niianain例例AATT()0,0,0,1,

35、0,0, 0 (0),0,10：因为 是正 负 定的， 取即对任意总有，其余，ijxx证证XX AXAXT211(0 0 (1,2, )0 , 1,)(2, 0),( ) =0222 当时，图形是以，为圆心，半径为的球面。defkaaak- - - - =0222当时，图形是一个点，defkaaa- - - -。 0当时，在实空间中无图形。k240方程表示什么曲面？222x +y +zx+ y=例例 - -(1)(2)5(1 2 0)5配方得， 曲面是以 ,- , 为圆心，半径为的球面。222x+ y+z =解解 - - 按定义，平面也属于柱面。 柱面的母线和准线都不唯一，与每一条母线都相交的

36、曲线都可作为准线。. 2柱柱面面及及其其方方程程 一条直线 沿着一条空间曲线平行移动所形成的曲面称为。直线 称为，曲线柱面母线为准线。称lClC母线母线 l准线准线C 62 xyz点M(x,y,z)的坐标也满足方程x2+y2=R2，222分析方程表示怎样的曲面。x + y = R例例222在平面上表示以原点 为圆心， 为半径的圆x + y = RxOyORC解解 。沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面。过此点作平行 z 轴的直线 l，对任意 z ，oC1( , ,0),在圆 上任取一点CM x yl1M圆柱面上所有点的坐标都满足x2+y2=R2 (包括点M1和直线 l )。M

37、 63 3222故在中，表示圆柱面。x +y =R3,( , )0:( , )0 一般地，只含两个变量的方程在中表示母线 平行于 轴且准线为面上的曲线的柱面。x yf x ylzxOyCf x yxozy2C( , ) = 02面上准线：为Oyf x yyxx母线 平行于 轴lz 64 例例 方程 y2=2x 表示准线是xOy 平面上的抛物线y2=2x， 母线平行于z轴的柱面称为抛物柱面。2222+=1 表示母线平行于 轴的椭圆柱面。xyzab例例=0 ()为母线平行于z轴的平面 且 轴在平面上。 xyz例例- -xozy一般地，二元方程表示三维空间中的柱面二元方程表示三维空间中的柱面。( ,

38、 )0F x y 平行于z 轴在xOy平面平行于x 轴( , )0G y z ( , )0H x z 在yOz平面在xOz平面平行于y 轴方程母线准线图形xyzxzy 65 . 3 旋旋转转面面及及其其方方程程 一条空间曲线绕着一条直线 旋转所得到的曲面称为。直线 称为，旋转面曲线为旋转轴母线。称CllC例例 66 母线C旋转轴 l建立yOz平面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程：给定yOz面上曲线 C： f (y,z)=0，ozyxC在曲面上任取一点M(x,y,z)，),(zyxMO 当绕 z 轴旋转时,该点转到M1(0,y1,z1) C), 0(111zyM2211,则有，xyyzz 此时有

39、f (y1,z1)=0， 67 又|OM|=|OM1|=|y1|22(, ) = 0故旋转曲面方程为：fxyz思考问题：当yOz平面上的曲线C绕y轴旋转时， 其方程如何？:()0C f y z 22( ,)0方程为：f yxz 68 旋转曲面方程的表达规律旋转曲面方程的表达规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面上的一个坐标轴旋转时，只要将该坐标平面上曲线C的方程保留和旋转轴同名的坐标变量，而以其它两个坐标变量平方和的正负平方根来代替方程中的另一个坐标变量，即得该旋转曲面的方程 。给定yOz面上曲线C：f (y,z)=0，当y轴是旋转轴时，旋转曲面方程为22(+,0fxyz)当z轴是旋转轴时，旋

40、转曲面方程为 22( ,+0f yxz) 69 同理有给定xOy平面上曲线C：f (x, y)=0，当x轴是旋转轴时，旋转曲面方程为22(+,0fxzy)当y轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 22( ,+0f xyz) 70 给定xOz平面上曲线C：f (x, z)=0，当x轴是旋转轴时，旋转曲面方程为22( ,+0f xyz)当z轴是旋转轴时，旋转曲面方程为22(+,0fxyz)例例3.3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程。解解 在yOz面上直线L 的方程为 z=ycot绕z轴旋转时,圆锥面的方程为22+zxy cotxyzL), 0(zyM 71 令a=cot两边取平

41、方z2 = a2 ( x2 + y2 )定义：定义：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得的旋转面称为圆锥面。两条直线的交点叫做圆锥面的顶点，两条直线的夹角叫做圆锥面的半顶角(02/) 。例例 求坐标面 xOz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程。2222=1-zcxa 72 解解 绕 x 轴旋转所成曲面方程为22222=1-xzcyaxy2222=1-zxac绕 z 轴旋转所成曲面方程为22222=1-zxacyz这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面。2222=1-xzacxozy4. 空空间间曲曲线线及及其其方方程程 正如空间直线可看做两个平面的交线；一条空

42、间曲线可看做两个曲面的交线。12121212 ( , , )0( , , )0, 由于曲面 和 的交线上点的坐标满足方程 和 ，而满足这两个方程的点必定在 和 的交线上。 故曲面 和 的交线 的方程空间曲线的一为：该方程组称般式。方为程SSCF x ySSSzG x y zSCSSC 73 1SC2S12 ( , , )0, ( , , )0设两个曲面 和 的方程分别为SSF x y zG x y z例例 求在xOy 坐标平面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。解解2222(1)0球面被平面所截的截线xOyxyzRz222(2)0母线平行于 轴的柱面与平面的交线zxOyxyRz2222222(

43、3)球面与柱面的交线xyzRxyR00或 x yx y 例例 写出oz轴的方程。解解oz轴可看成两个平面的交线，如00yx可见，空间曲线的一般式方程不是唯一的。 74 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数 t 的函数。 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点。方程组(1)叫做空间曲线的参数方程。 75 ( )( )(1)( )xx tyy tzz t 以空间曲线C为准线, 母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面。 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影。设

44、空间曲线C的一般方程xozy 76 ( , , ) 0( )( , , ) 02F x y zG x y z准线C投影曲线(投影)投影柱面由方程组(2)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (3) 方程(3)表示一个母线平行于z 轴的柱面，曲线C 一定在曲面上，所以(3)就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程。 投影柱面(3)与xOy面的交线就是曲线C在xOy面的投影曲线，其方程为： 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程分别为： 77 ( , ) 00H x yz( , ) 00J y zx( , ) 00和K x zy例例 已知两个球面的方程分别为 x2 + y2 + z2

45、= 1和x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1，求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程。解解 联立两个方程消去 z ,得01)21(4222zyx1)21(4222yx 这是母线平行于z轴的椭圆柱面，故两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为 78 例例 设一条曲线是上半球面 和锥面 的交线, 求它在xOy面上的投影。224yxz)(322yxz解解 半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面。于是交线C 在xOy面上的投影曲线为 79 22()0平面上的单位圆1xO

46、yxyz6.4 二次曲面二次曲面二次曲面的定义二次曲面的定义：三元二次方程相应地，平面被称为一次曲面。 讨论二次曲面形状的平面截痕法： 用坐标平面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。 以下用截痕法讨论几种基本类型的二次曲面：椭球面、锥面、抛物面、双曲面。所表示的曲面称之为二次曲面。ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 80 zxyo例例 方程 的图形是怎样的？解解 根据题意有z-1，22(1)(2)1(1)xycc c 81 22(1)(2)1zxy用平面z=c去截

47、图形得圆当平面z=c上下移动时，得到一系列圆心在(1,2,c)，半径为 的圆。1 c 半径随c的增大而增大。图形上不封顶下封底。zoxyO2 用平面z = k去截割(|k | c), 得椭圆222222+=1=xykabczk - -当 |k | 0, 0, 0)曲面方程：xyzabcabc3 类似地，依次用平面x = 0(yOz平面)，平面y = 0 (xOz平面)截割椭球面，分别得椭圆：2222+=1= 0yzbcx 2222+= 1= 0，xzacy 特别当 a=b=c 时, 方程 x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点O, 半径为a的球面。 球面是旋转椭球面的特殊情形，

48、旋转椭球面是椭球面的特殊情形。 83 22222222222222211 把球面沿 轴方向伸缩倍，即得旋转椭球面；再沿轴方向伸缩倍，即得椭球面。cxyzazaxyzbyacaxyzabc二二. . 二次锥面二次锥面222222+=( 0, 0,0)0曲面方程：xyzabcabc1 用yOz平面x = 0去截割, 其交线：2222= 0= 0-yzbcx += 0= 0= 0= 0得平面上的两条直线：- 和 yOzyzyzbcbcxx 84 2 用平行于xOy平面z = h去截割， 其交线：222222+=xyhabczh 00 当时，该交线是椭圆；当 = 时，交线是原点 。所以，二次锥面也叫椭

49、面。圆锥hhO 85 同理，曲面在xOz面上截痕也是两条直线：2222+= 0= 0= 0= 0= 0= 0-由交线方程得两直线方程，xzxzxzacacacyyy 椭圆交线三三. . 单叶双曲面和双叶双曲面单叶双曲面和双叶双曲面2222221由方程 所表示的曲单叶双曲面面称为。其实半轴为 ， ，虚半轴为 。axycbzcab2222222222222=( = 0)(=1=10=10= 0)母线母线轴单 若其，则方程化为，此方程表示为平面上的双曲线，或为平面上的双曲线绕虚轴叶旋转双曲旋转而成的。面x + yzacxzacyabxOzyyyOzxzzacx - - - - 86 1 用yOz平面

50、x = 0去截割单叶双曲面 ，其交线：2222=1= 0yzbcx - -是yOz平面上的双曲线，z轴为虚轴。单叶双曲面在xOz平面(y=0)上的截痕也是双曲线： 87 222=1= 0 xzacy2 - -2222221xyzabc2 用平行于xOy面的平面z = h去截割, 其交线：222222+=1+c=xyhabzh 是平面z=h上且中心在z轴的椭圆曲线。 88 当|h|由小变大时，椭圆截痕也由小变大；h=0时的截痕 最小(xOy平面上中心为O的椭圆)。2222+=1= 0 xyabz 2222221+=由方程 所表示的曲面称为。双叶双曲面xyzabc- - - 89 实半轴为a，b，

51、虚半轴为c ，顶点为c1(0,0,c)， c2(0,0,-c)。若其a=b，双叶双曲面方程化为22222= 1+xyzac-此方程表示一个由双曲线2222= 01xzacy-绕虚轴旋转而成的双叶旋转双曲面。1 用yOz平面x = 0去截割, 其交线：2222=1= 0zycbx - -是yOz平面上虚轴在z轴的双曲线。双叶双曲面在xOz平面(y=0)上截痕也是双曲线： 90 2222=1= 0zxcay - -2 用平行于xOy面的平面z = h去截割, 其交线：222222+=1=xyhabczh - -当|h|c时，交线是平面z=h上的椭圆曲线；|h|=c时，截得一点。 随着|h|的增大，

52、平面z=h上的椭圆曲线也增大。 91 22222222+= += 由方程 椭 或所表示的曲面称作顶点为原点的。圆抛物面xyabxyzzb a - -四四. . 椭圆抛物面和双曲抛物面椭圆抛物面和双曲抛物面 92 2222222=00母线母线轴旋转 当其时，方程化为，此方程表示为平面上的抛物线，或为平面上的抛物线抛物面绕旋转而成的。abxya zya zyOzxxaOzxzzy1 用yOz平面x = 0去截割 , 其交线： 22= 0yzbx 是yOz平面上开口向上的的抛物线(z0)。 93 2222+= xyabz 2 用xOz平面y = 0去截割, 其交线：22= 0 xzay 是xOz平面

53、上开口向上的抛物线(z0)。3 用平行于xOy平面的平面 z = h(h0)截割，其交线：2222+=xyhabzh 当h =0时，截痕缩为原点O； 当h0时，截痕是中心在z轴上的椭圆。随着h的增大，平面z=h上的截痕椭圆也随之增大。 94 双曲抛物面：双曲抛物面：2222 )=( 由方程 所双表示的曲面曲抛物面 马鞍面称为。zxyab- -1 用平行于xOy面的平面 z =h去截割, 其交线：2222=xyhabzh - - 0时，截痕为实轴平行于 轴的双曲线；hx= 0时，截痕是平面上的两条直线；bhxOyy=xa 95 0时，截痕为实轴平行于 轴的双曲线。hy2 用平行于xOz面的平面 y =h去截割, 其交线：2222=xhzabyh - -是对称轴与 轴平行且开口朝 轴正方向的抛物线。zz 9