第52节：解答题难题突破四(九年级数学专项总复习)

1、首页首页末页末页数学数学考考 点点 梳梳 理理课课 前前 预预 习习第第5252讲讲 解答题难题突破四解答题难题突破四课课 堂堂 精精 讲讲广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合（1）求证：ABG CDG；（2）求tanABG的值；（3）求EF的长 广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学【考点考点】翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质全等

2、三角形的判定与性质；矩形矩形的性质的性质；解直角三角形解直角三角形【专题专题】压轴题；探究型压轴题；探究型【分析分析】（1）根据翻折变换的性质可知）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论；，故可得出结论；（2）由（）由（1）可知）可知GD=GB，故，故AG+GB=AD，设，设AG=x，则，则GB=8-x，在，在RtABG中利用勾股定理即可求出中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出的长，进而得出tanABG的值的值；（3）由）由AEF是是DEF翻折而成可知翻折而成可知EF垂直平分垂直平分AD，故，故HD= AD=4，再根据，再根据tanABG即可

3、得出即可得出EH的长，同理可得的长，同理可得HF是是ABD的中位线的中位线，故可得出，故可得出HF的长，由的长，由EF=EH+HF即可得出结论即可得出结论广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学【解答解答】（1）证明：）证明：BDC由由BDC翻折而成，翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE，在在ABG与与CDG中，中， ，ABG CDG（AAS）；）；广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学（2）解：）解：由（由（1）可知）可知ABG CDG，GD=GB，AG+GB=AD，设设AG=x，则，则GB=8-x，在在RtABG中，中，AB2+AG2=

4、BG2，即即62+x2=（8-x）2，解得解得x= ，tanABG=广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学（3）解：）解：AEF是是DEF翻折而成，翻折而成，EF垂直平分垂直平分AD，HD= AD=4，tanABG=tanADE= ，EH=HD =4 = ，EF垂直平分垂直平分AD，ABAD，HF是是ABD的中位线，的中位线，HF= AB= 6=3，EF=EH+HF= +3= 【点评点评】本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变

5、换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键等是解答此题的关键广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学2.如图（1），ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它们的延长线）所在的直线于G，H点，如图（2） （1）问：始终与AGC相似的三角形有 及 ；（2）设CG=x，BH=y，求y关于

6、x的函数关系式（只要求根据图（2）的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形 广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学【考点考点】相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质等腰三角形的性质；等腰直角等腰直角三角形三角形；旋转的性质旋转的性质【专题专题】代数几何综合题；压轴题代数几何综合题；压轴题【分析分析】（1）根据）根据ABC与与EFD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AC与与DE重合重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论，利用相似三角形的判定定理即可得出结论（2）由）由AGCHAB，利用其对应边成比例列出关于，利用其对应边成比例列出关于x、

7、y的关系的关系式：式：9：y=x：9即可即可（3）此题要采用分类讨论的思想，当）此题要采用分类讨论的思想，当CG BC时，当时，当CG= BC时，时，当当CG BC时分别得出即可时分别得出即可广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学【解答解答】解：（解：（1）ABC与与EFD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AC与与DE重重合，合，H+HAC=45，HAC+CAG=45，H=CAG，ACG=B=45，AGCHAB，同理可得出：始终与同理可得出：始终与AGC相似的三角形有相似的三角形有HAB和和HGA；故答案为：故答案为：HAB和和HGA 广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学（

8、2）AGCHAB，AC：HB=GC：AB，即，即9：y=x：9，y= ，AB=AC=9，BAC=90，BC=答：答：y关于关于x的函数关系式为的函数关系式为y= （0 x ） 广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学（3）当）当CG BC时，时，GAC=HHAG，AGGH，GHAH，AGCHGH，又又AHAG，AHGH，此时，此时，AGH不可能是等腰三角形，不可能是等腰三角形， 当当CG= BC时，时，G为为BC的中点，的中点，H与与C重合，重合，AGH是等腰三角形是等腰三角形此时，此时，GC= ，即，即x= ，当当CG BC时，由（时，由（1）AGCHGA，所以，若所以，若AGH必是等

9、腰三角形，只可能存在必是等腰三角形，只可能存在GH=AH，若若GH=AH，则，则AC=CG，此时，此时x=9， 广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学如图（如图（3），当），当CG=BC时，时，注意：注意：DF才旋转到与才旋转到与BC垂直的位置，垂直的位置，此时此时B，E，G重合，重合，AGH=GAH=45，所以所以AGH为等腰三角形，所以为等腰三角形，所以CG= 综上所述，当综上所述，当x=9或或x= 或或 时，时，AGH是等腰三角形是等腰三角形【点评点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性

10、质，旋转的性质等知识点的理解和形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目广广 东东 中中 考考首页首页末页末页数学数学1.（2015贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号

11、）强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学考点：考点：几何变换综合题几何变换综合题专题：专题：综合题；压轴题综合题；压轴题分析：分析：（1）根据折叠的性质和矩形性质以得）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，然后利用勾股定理可计算出，然后利用勾股定理可计算出MP=5；（；（2）如图）如图1，作点，作点M关于关于AB的对称点的对称点M，连接，连接ME交交AB于点于点F，利用两点之间，利用两点之间线段最短可得点线段最短可得点F即为所求，过点即为所求，过点E作作ENAD，垂足为，垂足为N，则，则AM=ADMPPD=4，所以，所以AM=AM=4，再证明，再证明

12、ME=MP=5，接着利用勾股，接着利用勾股定理计算出定理计算出MN=3，所以，所以NM=11，然后证明，然后证明AFMNEM，则可，则可利用相似比计算出利用相似比计算出AF；（；（3）如图）如图2，由（，由（2）知点）知点M是点是点M关于关于AB的对称点，在的对称点，在EN上截取上截取ER=2，连接，连接MR交交AB于点于点G，再过点，再过点E作作EQRG，交，交AB于点于点Q，易得，易得QE=GR，而，而GM=GM，于是，于是MG+QE=MR，利用两点之间线段最短可得此时，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形最小，于是四边形MEQG的周长最小，在的周长最小，在RtMRN中，

13、利用勾股定理计算出中，利用勾股定理计算出MR=5 ，易得，易得四边形四边形MEQG的最小周长值是的最小周长值是7+5 强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学解答：解答：解：（解：（1）四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，CD=AB=4，D=90，矩形矩形ABCD折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上的点边上的点M处，折痕为处，折痕为PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，MP= =5；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（2）如图）如图1，作点，作点M关于关于AB的对称点的对称点M，连接，连接ME交交AB于点于点F，则，则点点F即为所求，过点即为所求，过点E作作E

14、NAD，垂足为，垂足为N，AM=ADMPPD=1253=4，AM=AM=4，矩形矩形ABCD折叠，使点折叠，使点C落在落在AD边上的点边上的点M处，折痕为处，折痕为PE，CEP=MEP，而而CEP=MPE，MEP=MPE，ME=MP=5，在在RtENM中，中，MN= = =3，NM=11，AFME，AFMNEM， = ，即，即 = ，解得，解得AF= ，即即AF= 时，时，MEF的周长最小；的周长最小；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（3）如图）如图2，由（，由（2）知点）知点M是点是点M关于关于AB的对称点，在的对称点，在EN上截取上截取ER=2，连接，连接MR交交AB于点于点

15、G，再过点，再过点E作作EQRG，交，交AB于点于点Q，ER=GQ，ERGQ，四边形四边形ERGQ是平行四边形，是平行四边形，QE=GR，GM=GM，MG+QE=GM+GR=MR，此时，此时MG+EQ最小，四边形最小，四边形MEQG的周长最的周长最小，小，在在RtMRN中，中，NR=42=2，MR= =5 ，ME=5，GQ=2，四边形四边形MEQG的最小周长值是的最小周长值是7+5 点评：点评：本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运

16、用相似比和勾股定理计算线段的长计算线段的长强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学2.在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（I）如图，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标（）若图中的点 P 恰好是CD边的中点，求AOB的度数（）如图，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出

17、线段EF的长度（直接写出结果即可）强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学考点：考点：几何变换综合题几何变换综合题分析：分析：（1）设）设OB=OP=DC=x，则，则DP=x4，在，在RtODP中，根据中，根据OD2+DP2=OP2，解得：，解得：x=10，然后根据，然后根据ODPPCA得到得到AC= =3，从而得到，从而得到AB=5，表示出点，表示出点A（10，5）；）；（2）根据点）根据点P恰好是恰好是CD边的中点设边的中点设DP=PC=y，则，则DC=OB=OP=2y，在，在RtODP中，根据中，根据OD2+DP2=OP2，解得：，解得：y= ，然后利用，然后利用ODPPCA得到得

18、到AC= = ，从而利用，从而利用tanAOB= 得到得到AOB=30；（3）作）作MQAN，交，交PB于点于点Q，求出，求出MP=MQ，BN=QM，得出，得出MP=MQ，根据，根据MEPQ，得出，得出EQ= PQ，根据，根据QMF=BNF，证出，证出MFQ NFB，得出，得出QF= QB，再求出，再求出EF= PB，由（，由（1）中的结论）中的结论求出求出PB，最后代入，最后代入EF= PB即可得出线段即可得出线段EF的长度不变的长度不变强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学解答：解答：解：（解：（1）D（0，8），），OD=BC=8，OD=2CP，CP=4，设设OB=OP=DC=x

19、，则则DP=x4，在在RtODP中，中，OD2+DP2=OP2，即：即：82+（x4）2=x2，解得：解得：x=10，OPA=B=90，ODPPCA，OD：PC=DP：CA，8：4=（x4）：）：AC，则则AC= =3，AB=5，点点A（10，5）；）；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（2）点点 P 恰好是恰好是CD边的中点，边的中点，设设DP=PC=y，则则DC=OB=OP=2y，在在RtODP中，中，OD2+DP2=OP2，即：即：82+y2=（2y）2，解得：解得：y= ，OPA=B=90，ODPPCA，OD：PC=DP：CA，8：y=y：AC，则则AC= = ，AB=8

20、= ，OB=2y= ，tanAOB= = = ，AOB=30；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（3）作）作MQAN，交，交PB于点于点Q，如图，如图2，AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQPMP=MQ，BN=PM，BN=QMMP=MQ，MEPQ，EQ= PQMQAN，QMF=BNF，强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学在在MFQ和和NFB中，中， ，MFQ NFB（AAS）QF= QB，EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，由（由（）中的结论可得：）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90，PB= =4 ，EF= PB=2 ，在（在（1）的条件下，当点）的条

21、件下，当点M、N在移动过程中，线段在移动过程中，线段EF的长度不变的长度不变，它的长度为，它的长度为2 点评：点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学3.（2015梅州）在RtABC中，A=90，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰R

22、tAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 2 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；点P到AB所在直线的距离的最大值为 （直接填写结果） 强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学考点：考点：几何变换综合题几何变换综合题专题：专题：压轴题压轴题分析：分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和的长和CE1的长；（的长；（2）根据旋转的性质得

23、出，）根据旋转的性质得出，D1AB=E1AC=135，进而求出，进而求出D1AB E1AC（SAS），即可得），即可得出答案；（出答案；（3）直接利用直角三角形的性质得出）直接利用直角三角形的性质得出PM= BC得出答案得出答案即可；即可；首先作首先作PGAB，交，交AB所在直线于点所在直线于点G，则，则D1，E1在以在以A为圆心，为圆心，AD为半径的圆上，当为半径的圆上，当BD1所在直线与所在直线与 A相切时，直线相切时，直线BD1与与CE1的交的交点点P到直线到直线AB的距离最大，的距离最大，此时四边形此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出是正方形，进而求出PG的长的长强强 化化 训训

24、练练首页首页末页末页数学数学解答：解答：解：（解：（1）A=90，AC=AB=4，D，E分别是边分别是边AB，AC的的中点，中点，AE=AD=2，等腰等腰RtADE绕点绕点A逆时针旋转，得到等腰逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角，设旋转角为为（0180），），当当=90时，时，AE1=2，E1AE=90，BD1= =2 ，E1C= =2 ；故答案为：故答案为：2 ，2 ；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（2）证明：当）证明：当=135时，如图时，如图2，RtAD1E是由是由RtADE绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转135得到，得到，AD1=AE1，D1AB=E1AC=13

25、5，在在D1AB和和E1AC中中 ，D1AB E1AC（SAS），），BD1=CE1，且，且D1BA=E1CA，记直线记直线BD1与与AC交于点交于点F，BFA=CFP，CPF=FAB=90，BD1CE1；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（3）解：如图）解：如图2，CPB=CAB=90，BC的中点为的中点为M，PM= BC，PM= =2 ，故答案为：故答案为：2 ；如图如图3，作，作PGAB，交，交AB所在直线于点所在直线于点G，D1，E1在以在以A为圆心，为圆心，AD为半径的圆上，为半径的圆上，当当BD1所在直线与所在直线与 A相切时，直线相切时，直线BD1与与CE1的交点的交

26、点P到直线到直线AB的距的距离最大，离最大，强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学此时四边形此时四边形AD1PE1是正方形，是正方形，PD1=2，则，则BD1= =2 ，故故ABP=30，则则PB=2+2 ，故点故点P到到AB所在直线的距离的最大值为：所在直线的距离的最大值为：PG=1+ 故答案为：故答案为：1+ 点评：点评：此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时的最长时P点的位点的位置是解题关键置是解题关键强强 化化 训训 练练

27、首页首页末页末页数学数学4.（2015自贡）在ABC中，AB=AC=5，cosABC= ，将ABC绕点C顺时针旋转，得到A1B1C（1）如图，当点B1在线段BA延长线上时求证：BB1CA1；求AB1C的面积；（2）如图，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学考点：考点：几何变换综合题几何变换综合题专题：专题：压轴题压轴题分析：分析：（1）根据旋转的性质和平行线的性质证明；过）根据旋转的性质和平行线的性质证明；过A作作AFBC于于F，过，过C作作CEAB于于

28、E，根据三角函数和三角形的面积公式，根据三角函数和三角形的面积公式解答；（解答；（2）过）过C作作CFAB于于F，以，以C为圆心为圆心CF为半径画圆交为半径画圆交BC于于F1，和以和以C为圆心为圆心BC为半径画圆交为半径画圆交BC的延长线于的延长线于F1，得出最大和最小值，得出最大和最小值解答即可解答即可强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学解答：解答：解：（解：（1）证明：）证明：AB=AC，B1C=BC，AB1C=B，B=ACB，AB1C=ACB（旋转角相等），（旋转角相等），B1CA1=AB1C，BB1CA1；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学过过A作作AFBC于于F

29、，过，过C作作CEAB于于E，如图：，如图： AB=AC，AFBC，BF=CF，cosABC= ，AB=5，BF=3，BC=6，B1C=BC=6，CEAB，BE=B1E= ，BB1= ，CE= ，AB1= ，AB1C的面积为：的面积为： ；强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学（2）如图）如图2，过，过C作作CFAB于于F，以，以C为圆心为圆心CF为半径画圆交为半径画圆交BC于于F1，EF1有最小值，有最小值， 此时在此时在RtBFC中，中，CF= ，CF1= ，EF1的最小值为的最小值为 ；如图，以如图，以C为圆心为圆心BC为半径画圆交为半径画圆交BC的延长线于的延长线于F1，EF1

30、有最大值；有最大值；此时此时EF1=EC+CF1=3+6=9，线段线段EF1的最大值与最小值的差为的最大值与最小值的差为 点评：点评：此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和三角形的面积公式进行解答面积公式进行解答强强 化化 训训 练练首页首页末页末页数学数学5.（2015益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APPBAP绕点A逆时针旋转角（090）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2 （1）如图1，当=90时，求P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：P2P1PP2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1BP，过BP2的中点F作l2BP2，