第三章结构地震反应分析与抗震验算3—4多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用

1、34 多自由度弹性体系的最大地震多自由度弹性体系的最大地震 反应与水平地震作用反应与水平地震作用振型分解反应谱法振型分解反应谱法 底部剪力法底部剪力法 v 多自由度弹性体系的水平地震作用一般可采用振型分解反应谱法求得，该法是在振型分解法的基础上，结合运用单自由度体系反应谱理论得出的一种计算方法，而在一定条件下则可采用比较简单实用的底部剪力法。v 现将这两种方法分述如下。3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法 多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是各质点所受到的惯性力，故质点i上的地震作用为：)()()(txtxmtFigii +=-11njjigjnjjijggtxtxtx=)()(

2、)( 1njjjjjttx=)()(由求两次导数，得1njjjjjttx=)()( 3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法i质点地震作用的绝对值为：)()()(txtxmtFgiii +=)()(txtmgjijNjjjjii +=11njjitF=)()()()(txtmtFgjjijjjiiji +=-t时刻第j振型i质点的水平地震作用 这样，利用单自由度体系的设计反应谱，先求出对应于每一振型各质点的最大水平地震作用(同时达到最大值)及相应的地震作用效应，然后对这些效应进行振型组合，以求得结构的最大地震作用效应。具体步骤如下。3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法)()()(t

3、xxtxmtFgjjijjjiiji +=-t时刻第j振型i质点的水平地震作用maxmax)()()(txtxmtFFgjjjiijiji +=-体系j振型i质点水平地震作用标准值3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式GtmStxtxmtFFag=+=)()()()(maxmax 对于单自由度体系jjjijjiGF=所以)(jajijijiTSmF =3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法-相应于j振型自振周期的地震影响系数；jji- j振型i质点的水平相对位移；j- j振型的振型参与系数；iG- i质点的重力荷载代表值。m1m2mi11

4、F12FiF1nF121F22FiF2nF21 jF2jFjiFjnF1nF2nFniFnnF1振型地震作用标准值2振型j振型n振型jjjijjiGF=3.4.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法振型组合 根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳随机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应可近似地采用“平方和开方”法确定，即 必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平方和开方法进行组合，求出总的地震作用，再求地震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负，经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作用效应。12mjjEKSS=jS-j振型地震作用产生的地震效应；m -选取振型数 一

5、般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。【例例3-5】结构同例3-4。已知 T10.433s T20.202s T30.136s 1648. 0301. 01 1601. 0676. 02 157. 247. 23 结构处于8度区（地震加速度为0.20g），类场地第一组，结构阻尼比为0.05。试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。【例例3-43-4】三层剪切型结构如图3-14所示，求该结构的自振圆频率和振型。【解】该结构为3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为（刚度的求法见本题后附图） kgM31010005 .

6、 10002 mNK/106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136先由特征值方程求自振圆频率，令B2600 得或 B35.5B27.5B20由上式可解得B10.351 B21.61 B33.54从而由 得114.5 rads 231.3 rads 346.1 rads 011015 . 13202252BBBMKB600由自振周期与自振频率的关系T2，可得结构的各阶自振周期分别为T10.433 s T20.202 s T30.136 s由式（3-76）得 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK648. 0301. 060

7、006 .1484120012005 .25791121108 .389648. 0301. 06000为求第一阶振型，将114.5 rads代入代入式（3-75）校核将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中反映振型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 1648. 0301. 01 1601. 0676. 02则第一阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为 157. 247. 23【解】 由 得 nijiinijiijTjTjjmmMM1211421. 1301. 0

8、2648. 05 . 11301. 02648. 05 . 11221510. 0)676. 0(2)601. 0(5 . 11)676. 0(2)601. 0(5 . 11222090. 047. 22)57. 2(5 . 1147. 22)57. 2(5 . 11223查表3-2、3-3得Tg0.25s，max0.16，则（参见图3-12）由0976. 016. 0433. 025. 09 . 0max9 . 011TTg16. 0max216. 0max3jijjijiGFv得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为F1129.80.09761.4210.3010.818kNF121.5

9、9.80.09761.4210.6481.321kNF131.09.80.09761.42111.359kNv第二振型各质点水平地震作用为 F2129.80.16（-0.510）（-0.676） 1.081kNF221.59.80.16（-0.510）（-0.601） 0.721kNF231.09.80.16（-0.510）1-0.800kNv第三振型各质点水平地震作用为 F3129.80.160.092.470.697kN F321.59.80.160.09（-2.57） -0.529kN F331.09.80.160.0910.141kNv则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为 V11F1

10、1F12F133.498kN V21F21F22F231.002kN V31F31F32F330.309kNv通过振型组合求结构的最大底部剪力为v若仅取前两阶振型反应进行组合v由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为kNVVj652. 3309. 0002. 1498. 3222211kNVVj639. 3002. 1498. 32221131321312113121113kFkFFkFFFUm310442. 6600359. 11200359. 1321. 11800498. 332322322123222123kFkFFkFFFUm310799. 0600)800. 0(1200)800.

11、 0(721. 01800081. 133323332133323133kFkFFkFFFUm310083. 0600141. 01200141. 0)529. 0(1800309. 0mmUUj492. 6083. 0)799. 0(442. 6102223233 若仅取前两阶振型反应进行组合 mmUUj491. 6)799. 0(442. 610223233v通过振型组合求结构的最大顶点位移 v 采用振型分解反应谱法计算结构最大地震反应容易犯的一个错误是，先将各振型地震作用组合成总地震作用，然后用总地震作用计算结构总地震反应。这样的计算次序与正确的计算次序（即先由振型地震作用计算振型地震反

12、应，再由振型地震反应组合成总地震反应）所得结果是不一致的。下面以本例底部剪力结果加以说明。v 若先计算总地震作用，则各楼层处的总地震作用分别为kNFFFF524. 1697. 0081. 1818. 02222312212111kNFFFF318.2)529.0(721.0321.12222322222122kNFFFF609. 1141. 0)800. 0(359. 12222332232133按上面各楼层总地震作用所计算的结构底部剪力为 kNFFFV451. 5609. 1318. 2524. 13211 与前面正确计算次序的结果相比，其值偏大。原因是：振型各质点地震作用有方向性，负值作用

13、与正值作用方向相反，而按平方和开方的方法计算各质点总地震作用，没有反映振型各质点地震作用方向性的影响。 3.4.2 底部剪力法底部剪力法 按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震作用时，运算过程较冗繁。为了简化计算，抗震规范规定，当房屋结构满足下列条件时，可采用近似计算法底部剪力法：(1)房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀；(2)房屋的总高度不超过40m；(3)房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为主(房屋高宽比小于4时)，(4)房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。 满足上述条件的结构，在水平地震作用下振动时，其位移反应通常以基本振型为主，且基本振型近似于直线。底部剪力法还可用于近似

14、于单质点体系的结构。3.4.2 底部剪力法底部剪力法 根据静力平衡条件，相应于j振型的结构底部剪力应等于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j振型各质点水平地震作用Fji之和。3jF第第j j振型振型2jF1 jFj振型的底部剪力为jjjijjiGxFnijijFV10niijijjGx1niijijjGGxG111G结构的总重力荷载代表值1niiGG=ijijjjiGF3.4.2 底部剪力法底部剪力法组合后的结构底部剪力GqGGxGVFnjniijijjnjEKj11121112)(0 njniijijjGGxq1121)(高振型影响系数(规范取0.85)eqEKGF1Geq结构等效总重力

15、荷载代表值，0.85G1-相应于结构基本周期的水平地震影响系数；多层砌体房屋、底部框架和多层内框架砖房，宜取水平地震影响系数最大值；3.4.2 底部剪力法底部剪力法1HkHH1G1GkHknF1FkFiiiiGxFF1111iiGH11=nkkknkkEKGHFF11111nkkkGH111第一振型i质点的地震作用为：底部总剪力为：由上式得到：3.4.2 底部剪力法底部剪力法nikkiFVnkkkEKGHF111/EKnkkkiiiFGHGHF1将上式代入i质点的地震作用公式得：3.4.2 底部剪力法底部剪力法 当结构基本周期较长，特征周期较小时，由于高阶振型的影响增大，且主要在结构上部，根据

16、对大量结构的地震反应直接动力分析证明，按上式计算的结构顶部的地震剪力偏小，故须进行调整。EKnkkkiiiFGHGHF1EKnnFF 为了修正，在顶部附加一个集中力 。nFn- 顶部附加地震作用系数，多层内框架砖房0.2,多层刚混、钢结构房屋按下表,其它可不考虑。3.4.2 底部剪力法底部剪力法)1(1nEKnkkkiiiFGHGHFgTT4 . 11gTT4 . 11)(sTg35. 055. 035. 055. 007. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01T000顶部附加地震作用系数质点i 的地震作用为：而顶部质点n 的地震作用为：nnEKnkkknnnFFGH

17、GHF)(+=-11v 尚须注意，当房屋顶部有突出屋面的小屋时，上述附加的集中水平地震作用应置于主体房屋的顶层而不应置于小屋的顶部。 震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、水箱间、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于出屋面的这些建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。这种现象在地震工程中称为“鞭端效应”。 3.4.2 底部剪力法底部剪力法 为了简化计算，抗震规范提出，当房屋屋面有局部突出的小屋时，可将小屋上半部分的质量集中于其顶面，成为一个质点，用底部剪力法计算结构各质点的水平地震作用。但当计算这小屋的地震作用效应时，宜乘以增大系数3，但增加的2倍不应往下传

18、递(计算以下各层地震剪力时不考虑)。v【例例3-63-6】 结构同例3-4，设计基本地震加速度及场地条件同例3-5。试采用底部剪力法求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。v【解解】 由例3-5已求得1=0.0976，而结构总重力荷载为 GE（1.01.52.0）9.844.1kN则结构的底部剪力为FEkGeq10.85GE1 0.8544.10.09763.659kNv已知Tg0.25s，T10.433s1.4Tg0.35s。设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则需考虑结构顶部附加集中作用。则作用在结构各楼层上的水平地震作用为mNHGnjjj.7 .3578 . 9)13195 . 152

19、(1kNFHGHGFEknnjjjjj897. 0659. 3)105. 01 (7 .3578 . 952)1 (11 查表3-4得 n0.08 T10.070.080.4330.07 0.105 则 Fnn FEk0.1053.6590.384kN 又已知 H15m，H29m，H313,由此得结构的顶点位移为kNF211. 1659. 3)105. 01 (7 .3578 . 995 . 12kNF166. 1659. 3)105. 01 (7 .3578 . 9130 . 13mkFFkFFFkFUnnEk3332321310917. 6600384. 0166. 11200384. 0

20、166. 1211. 11800659. 3与例3-5的结果相比，可见底部剪力法的计算结果 与振型分解反应谱法的计算结果是很接近的。底部底部剪力法应用举例剪力法应用举例例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,类场地,设计地震分组为第二组。解：解： （1）计算结构等效总重力荷载代表值8.9)180270270(85.085.0nikkeqGGkN6.5997tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数查表得16.0max1.40

21、0.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）解：解： （1）计算结构等效总重力荷载代表值kN6.5997eqG例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,类场地,设计地震分组为第二组。tm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数16.

22、0maxs4.0gT地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别s31 TTgmax21)(TTg139.0)(sT01 . 0gTgT50 . 6max2max45. 0max2)(TTgmax12)5(2 . 0gTT（3）计算结构总的水平地震作用标准值eqEKGF1kN7.8336.5997139.0例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s ,抗震设防烈

23、度为8度,类场地,设计地震分组为第二组。解：解： （1）计算结构等效总重力荷载代表值kN6.5997eqGtm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2）计算水平地震影响系数16.0maxs4.0gT139.01（3）计算结构总的水平地震作用标准值kN7.833EKF（4）顶部附加水平地震作用EKnnFFgTT4 . 11gTT4 . 11)(sTg35. 055. 035. 055. 007. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01T000顶部附加地震作用系数顶部附加地震作用系数56.04 .1g

24、TgTT4 .110n（5）计算各层的水平地震作用标准值)1(1nEKnkkkiiiFGHGHF例1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期T1=0.467s ,抗震设防烈度为8度,类场地,设计地震分组为第二组。解：解：（1 1）计算结构等效总重力荷载代表值）计算结构等效总重力荷载代表值kN6.5997eqGtm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2 2）计算水平地震影响系数）计算水平地震影响系数16.0maxs4.0gT139.01（3 3）计算结构总的水平地震作用标准值）计算结构总的水平

25、地震作用标准值kN7.833EKF（4 4）顶部附加水平地震作用）顶部附加水平地震作用0n（5 5）计算各层的水平地震作用标准值）计算各层的水平地震作用标准值)1 (1nEKnkkkiiiFGHGHF7 .1667 .8335 .108 .918078 .92705 .38 .92705 .38 .92701F5 .3337 .8335 .108 .918078 .92705 .38 .92700 .78 .92702F5 .3337 .8335 .108 .918078 .92705 .38 .92705 .108 .91803F例例1 1：试用底部剪力法计算图示框架多遇地：试用底部剪力法计

26、算图示框架多遇地震时的层间剪力。已知结构的基本周期震时的层间剪力。已知结构的基本周期T T1 1=0.467s ,=0.467s ,抗震设防烈度为抗震设防烈度为8 8度度,类场地类场地, ,设计地震分组为第二组。设计地震分组为第二组。解：解：（1 1）计算结构等效总重力荷载代表值）计算结构等效总重力荷载代表值kN6.5997eqGtm2701tm2702tm1803MN/m2451KMN/m1952KMN/m983K10.5m7.0m3.5m（2 2）计算水平地震影响系数）计算水平地震影响系数16.0maxs4.0gT139.01（3 3）计算结构总的水平地震作用标准值）计算结构总的水平地震作

27、用标准值kN7.833EKF（4 4）顶部附加水平地震作用）顶部附加水平地震作用0n（5 5）计算各层的水平地震作用标准值）计算各层的水平地震作用标准值7 .1661F5 .3332F5 .3333F（6 6）计算各层的层间剪力）计算各层的层间剪力kNFFFV7 .8333211kNFFV0 .667322kNFV5 .33333tm2701tm27025 .3335 .3337 .1665.3330.6677.8338 .3356 .6718 .845振型分解反应谱法结果例例2 2：六层砖混住宅楼，建造于基本烈度为：六层砖混住宅楼，建造于基本烈度为8 8度区，场地为度区，场地为类，类，设计地

28、震分组为第一组，根据各层楼板、墙的尺寸等得到恒荷设计地震分组为第一组，根据各层楼板、墙的尺寸等得到恒荷和各楼面活荷乘以组合值系数，得到的各层的重力荷载代表值和各楼面活荷乘以组合值系数，得到的各层的重力荷载代表值为为G G1 1=5399.7kN, G=5399.7kN, G2 2=G=G3 3=G=G4 4=G=G5 5=5085kN, G=5085kN, G6 6=3856.9kN=3856.9kN。试用底。试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。部剪力法计算各层地震剪力标准值。G12.952.702.702.702.702.70G2G3G4G5G6 由于多层砌体房屋中纵向或横向承重墙体的数量

29、较多，由于多层砌体房屋中纵向或横向承重墙体的数量较多，房屋的侧移刚度很大，因而其纵向和横向基本周期较短，一般均不超过房屋的侧移刚度很大，因而其纵向和横向基本周期较短，一般均不超过0.25s0.25s。所以规范规定，对于多层砌体房屋，确定水平地震作用时采用所以规范规定，对于多层砌体房屋，确定水平地震作用时采用 。并并且不考虑顶部附加水平地震作用。且不考虑顶部附加水平地震作用。max1例例2 2：基本烈度为：基本烈度为8 8度，场地为度，场地为类，设计地震分组为第一组，类，设计地震分组为第一组，G G1 1=5399.7kN, G=5399.7kN, G2 2=G=G3 3=G=G4 4=G=G5

30、 5=5085kN, G=5085kN, G6 6=3856.9kN=3856.9kN。计算各层地。计算各层地震剪力标准值。震剪力标准值。解：解：结构总水平地震作用标准值结构总水平地震作用标准值G12.952.702.702.702.702.70G2G3G4G5G6eqEKGFmax61max85.0iiGkN1.40256.2959685.016.01.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.

31、05）16.0maxG12.952.702.702.702.702.70G2G3G4G5G6例例2 2：基本烈度为：基本烈度为8 8度，场地为度，场地为类，设计地震分组为第一组，类，设计地震分组为第一组，G G1 1=5399.7kN, G=5399.7kN, G2 2=G=G3 3=G=G4 4=G=G5 5=5085kN, G=5085kN, G6 6=3856.9kN=3856.9kN。计算各层地。计算各层地震剪力标准值。震剪力标准值。解：解：结构总水平地震作用标准值结构总水平地震作用标准值kN1.4025maxeqEKGFEKnkkkiiiFGHGHF1各层水平地震剪力各层水平地震剪力

32、标准值标准值nikkiFV各层水平地震作用各层水平地震作用层层Gi (kN)Hi (m)Gi Hi (kN.m)Fi (kN)Vi (kN)63856.917.4555085.014.7545085.012.0535085.09.3525085.06.6515399.72.95 67320.921328.8233815.2547544.7561274.2575003.75306269.72884.5985.7805.3624.8444.4280.44025.1884.51870.22675.53300.33744.74025.129596.6例例3 3：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为

33、：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为8 8度区，场度区，场地为地为类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图所示。结构的基本周期为所示。结构的基本周期为0.56s,0.56s,试用底部剪力法计算各层地震试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。剪力标准值。解：解： 结构总水平地震作用标准值结构总水平地震作用标准值4.363.363.36G4 =831. 6G3 =1039. 6G2 =1039. 6G1 =1122.73.361.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)

34、0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三组第三组0.75 0.55 0.400.30第二组第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组第一组 场地类别场地类别16.0maxs35.0gT例例3 3：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为：四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为8 8度区，场度区，场地为地为类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图类，设计地震分组为第一组，层高和层重力代表值如图所示。结构的基本周期为所示。结构的基本周期为0.56s,0.56s,试用底部剪力法计算各层地震试用底部剪力法计算各层地震剪力标准值。剪力标准值。解：解： 结构总水平地震作用标准值结构总水平地震作用标准值4.363.363.36G4 =831. 6G3 =1039. 6G2 =1039. 6G1 =1122.73.3616.0maxs35.0gT)(sT01 . 0gTgT50 .