向量的线性运算

1、第一章第一章 向向 量量 代代 数数4 向量的外积向量的外积 1 向量的线性运算向量的线性运算2 仿射坐标系仿射坐标系 3 向量的内积向量的内积 5 向量的多重乘积向量的多重乘积 1 向量的线性运算向量的线性运算 1.1 向量的概念向量的概念1.2 向量的线性运算向量的线性运算 1.3 向量的分解向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用在三点共线问题上的应用 1.1 向量的概念向量的概念现实中：温度、时间、身高、体重等量现实中：温度、时间、身高、体重等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量而位移、速度、加速度、力、力矩等量只有大小，称为数量只有大小，称为数量 (或标量或标量) ;既有大小又有方

2、向，称为向量既有大小又有方向，称为向量(或矢量或矢量) .记号记号: 黑斜体小写西文字母黑斜体小写西文字母, 如如向量向量 , , , a, b, c 等等.用绝对值记号表示向量的大小用绝对值记号表示向量的大小, 如如 | | 表示向量表示向量 的大小的大小. 向量的表示向量的表示: 几何上几何上, 用有向线段表示向量用有向线段表示向量, 有向有向 线段的长度和方向分别表示了向量线段的长度和方向分别表示了向量 的大小和方向的大小和方向.记起点、终点分别为记起点、终点分别为A, B的有向的有向 线段为线段为 AB 如右图如右图, 有向线段有向线段AB 表示向量表示向量 AB 注注: 今后就把有向

3、线段看作向量今后就把有向线段看作向量, 向量与有向向量与有向 线段的起点选取无关线段的起点选取无关, 也称为自由向量也称为自由向量; 向量的大小也称为向量的长度或模向量的大小也称为向量的长度或模. 1.1 向量的概念向量的概念零向量零向量: 大小为大小为 0 的向量的向量, 其方向不定其方向不定, 记为记为0.单位向量单位向量: 长度为长度为 1 的向量的向量, 与与 同方向的单位向量记为同方向的单位向量记为 0向量相等向量相等: 若向量若向量 与与 大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 与与 相等相等, 记作记作 .平行向量平行向量: 若向量若向量 与与 方向相同或相反方向相同或

4、相反, 则称则称 与与 平行平行, 记作记作 .规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 .1.1 向量的概念向量的概念反向量反向量: 与与 的长度相同的长度相同, 但方向相反的向量但方向相反的向量 称为称为 的反向量的反向量, 记作记作 .正交向量正交向量: 若向量若向量 与与 的方向互相垂直的方向互相垂直, 则称则称 与与 垂直或正交垂直或正交, 记作记作 .规定规定: 零向量与任何向量正交零向量与任何向量正交 .1.1 向量的概念向量的概念1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:ABC + 平行四边形法则平行四边形法则:ABC D + 1.2 向量的线性运算向量的线性

5、运算交换律交换律向量加法运算律向量加法运算律 : + = + 结合律结合律 ( + ) + = + ( + ) = + + ABCD + ( + ) + + ( + ) = + + + 1.2 向量的线性运算向量的线性运算三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加, 如下图如下图:s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , 1 2 3 4 5sn个向量相加法则个向量相加法则:使前一向量的终点作使前一向量的终点作为次一向量的起点为次一向量的起点, 相继作向量相继作向量 1, 2, , n, 再以第一向量的起再以第一向量的起点为起点点为起点, 末一向量末一向量的终点为终点的终

6、点为终点, 作一作一向量向量, 即为和向量即为和向量1.2 向量的线性运算向量的线性运算2. 向量的减法向量的减法规定规定: = +( ) ABCD +( ) 三角不等式三角不等式:| + | | | + | |, | | | | + | |常用等式常用等式:AB = OB OA, AB = AO BO 1.2 向量的线性运算向量的线性运算3. 向量与数的乘积向量与数的乘积(向量的数乘向量的数乘)向量向量 与与实数实数 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量, 记作记作 , 的长度为的长度为| | = | | | 的方向为的方向为 与与 同向同向, 0 与与 反向反向, 0方向不定方向不定, =

7、 0特别地特别地,1 = , 1 = = 0 = 0 或或 = 0 1.2 向量的线性运算向量的线性运算向量的数乘运算律向量的数乘运算律 :结合律结合律分配律分配律 ( ) = ( ) = ( ) ( + ) = + ( + ) = + 若若 0, 则则 /| |为为单位向量单位向量, 称为称为 的单位化的单位化.显然有显然有 0 = /| |,从而从而 = | | 0 .1.2 向量的线性运算向量的线性运算例例 1 设设AC, BD是平行四边形是平行四边形ABCD的两条对角的两条对角线线, 已知向量已知向量AC = , BD = , 求向量求向量AB和和BC.解解: ABCD 设设AC与与B

8、D相交于相交于O. O 易见易见 AB = AO BOBC = BO + OC而而 AO = OC = 1/2 AC, BO = 1/2 BD,故故 AB = 1/2 1/2 = 1/2 ( ) , BC = 1/2 +1/2 = 1/2 ( + ) . 1.2 向量的线性运算向量的线性运算1.3 向量的分解向量的分解定义定义1 设设 1, 2, , n, 是一组向量是一组向量, 若若 = k1 1+ k2 2+ + kn n ,则称则称 是向量组是向量组 1, 2, , n 的线性组合的线性组合,或称或称 可由向量组可由向量组 1, 2, , n 线性表示线性表示.k1, k2, , kn

9、是一组实数是一组实数,也称也称 可对向量组可对向量组 1, 2, , n 分解分解.k1, k2, , kn 称为组合系数或分解系数称为组合系数或分解系数,定义定义2 如果一组向量平行于同一直线如果一组向量平行于同一直线, 就称就称 它们共线它们共线;如果一组向量平行于同一平面如果一组向量平行于同一平面, 就称它们共面就称它们共面.由定义易知由定义易知, 向量组向量组 1, 2, , n共线共线(面面)就是就是:当用同一起点当用同一起点O作有向线段作有向线段OAi = i, i =1,2,n时时, O, A1, A2, , An共线共线(面面).注注: 向量组共线就是其中任何两个向量平行向量组

10、共线就是其中任何两个向量平行, 向量组共面就是其中任何三个向量共面向量组共面就是其中任何三个向量共面. 于是判别于是判别“两向量是否平行两向量是否平行”, “三向量是否共面三向量是否共面” 成为基本问题成为基本问题. 1.3 向量的分解向量的分解定理定理1.1 (向量分解定理向量分解定理) (2) 若向量若向量 , , 共面共面, 并且并且 与与 不平行不平行, 则则存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数, 使得使得 = + .(3) 若向量若向量 , , 不共面不共面, 则任何向量则任何向量 都可以都可以对对 , , 分解分解, 且分解方式唯一且分解方式唯一.(1) 设设 为非零为非零向量向量

11、, 则则 / ( 与与 共线共线) 当且当且仅当存在唯一实数仅当存在唯一实数, 使得使得 = . 向量分解定理是建立仿射坐标系的向量分解定理是建立仿射坐标系的 理论基础理论基础, 也是仿射几何学的基础也是仿射几何学的基础!1.3 向量的分解向量的分解证明证明:设设 / , 取取 ,| 其中其中 =1, 当当 与与 同向时同向时, 1, 当当 与与 反向时反向时,容易验证容易验证 = .(1) 必要性必要性.充分性由平行定义易知充分性由平行定义易知.再证数再证数 的唯一性的唯一性.设又有设又有 , 则则( ) = = 0.又又 0 ,故故 = 0 ,即即 = .注注: 为方便为方便, 将这里的数

12、将这里的数 记为记为 1.3 向量的分解向量的分解(2) 存在性存在性. 从同一起点从同一起点 O 作作OA = , OB = , OC = . 过过 C 作作 CD / OB, 且与直线且与直线 OA 交于交于 D. 因为因为OD 与与 共线共线, 所以有实数所以有实数 使得使得OD = . 同理有同理有 DC = . 因此因此 = OC = OD + DC= + .OABC D 1.3 向量的分解向量的分解唯一性唯一性. = 1 + 1 ( 1, 1不全为零不全为零) , 则有则有 ( 1 ) +( 1) = 0 ,不妨设不妨设 1 0, 则则从而从而 , 平行平行, 与条件矛盾与条件矛盾

13、!用反证法用反证法. 假如还有另一个分解式假如还有另一个分解式 , 11 1.3 向量的分解向量的分解O A C B DEF(3) 可分解性可分解性.取一点取一点O, 作作OA , OB ,OC , OD , 分别表示分别表示 , , , . 过过 D 作一直线作一直线与与OC平行平行, 且与且与OA和和OB决定的平面交于决定的平面交于E.过过 E 作一直线与作一直线与OB平行平行, 并且与并且与OA交于交于F.因为因为OF / , FE / ,ED / ,1.3 向量的分解向量的分解O A C B DEF由由(1), 存在实数存在实数 x, y, z 使得使得OF = x ,FE = y ,

14、ED = z .从而从而 = OD= OF + FE + ED= x + y + z .1.3 向量的分解向量的分解唯一性唯一性. 若有两个不同的分解式若有两个不同的分解式 = x + y + z = x1 + y1 + z1 ,则得则得 (x x1) + (y y1) + (z z1) = 0 .不妨设不妨设z z1 0, 则则从而从而 , , 共面共面, 与条件矛盾与条件矛盾!,1111 zzyyzzxx 1.3 向量的分解向量的分解(1) 向量向量 与与 共线的充分必要条件是存在共线的充分必要条件是存在不全为零的实数不全为零的实数 , 使得使得 + = 0. ( )命题命题1.1(2)

15、向量向量 , , 共面共面 的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在不全为零的实数不全为零的实数 , , 使得使得 + + = 0 . ()1.3 向量的分解向量的分解证明证明:设设 与与 共线共线, 若若 = = 0, 则有则有 1 + 1 = 0 .若若 与与 不全为不全为0, 不妨设不妨设 0 ,存在实数存在实数 使得使得 = , 从而有从而有 + ( 1) = 0.(1) 必要性必要性.充分性充分性. 若有不全为零的实数若有不全为零的实数, 使得使得( )成立成立,不妨设不妨设 0, 于是由于是由 ( ) 可得可得, 因此因此 与与 共线共线.由定理由定理1.1 (1)可知可知,1.3

16、 向量的分解向量的分解(2) 必要性必要性. 设设 , , 共面共面, 若若 / , 则则有实数有实数, 使得使得 = + , 即即 + + ( 1) = 0.若若 / , 由由(1) 存在不全为零的实数存在不全为零的实数, 使得使得 + = 0,从而有从而有 + + 0 = 0 .充分性充分性.不妨设不妨设 0, , 因此因此 , , 共面共面. 设有不全为零的实数设有不全为零的实数, , 使得使得()成立成立, 则由则由 () 得得1.3 向量的分解向量的分解推论推论1 向量向量 与与 不共线的充分必要条件是不共线的充分必要条件是:由由 + = 0 可以推出可以推出 = = 0 .推论推论

17、2 向量向量 , , 不共面的充分必要条件是不共面的充分必要条件是:由由 + + = 0 可以推出可以推出 = = = 0.定义定义3 设设 1, 2, , n 是向量是向量, 若存在不全为零若存在不全为零的实数的实数 k1, k2, , kn, 使得使得k1 1+ k2 2+ + kn n = 0,则称向量组则称向量组 1, 2, , n 线性相关线性相关, 否则否则, 称向量组称向量组 1, 2, , n 线性无关线性无关. 1.3 向量的分解向量的分解由定义易知由定义易知, 向量组向量组 1, 2, , n 线性无关线性无关由由k1 1+ k2 2+ + kn n = 0可推出可推出 k

18、1= kn = 0,再由前面定理再由前面定理1.1, 命题命题1.1及推论可知及推论可知,两向量两向量 , 共线共线 , 线性相关线性相关;两向量两向量 , 不共线不共线 , 线性无关线性无关;三向量三向量 , , 共面共面 , , 线性相关线性相关;三向量三向量 , , 不共面不共面 , , 线性无关线性无关.空间四向量空间四向量总总线性相关线性相关.1.3 向量的分解向量的分解注记注记: 请大家在学习线性代数中向量的线性相关请大家在学习线性代数中向量的线性相关和线性无关的概念时，回顾这里的结论，和线性无关的概念时，回顾这里的结论，理解线性相关和线性无关的直观意义。理解线性相关和线性无关的直

19、观意义。1.3 向量的分解向量的分解 由于上述结论由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用使得向量的线性运算可以用来解决有关点的共线、共面问题以及线段的来解决有关点的共线、共面问题以及线段的定比分割问题等定比分割问题等.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用证明证明: 必要性必要性. 由于由于O, A, B不共线不共线, 命题命题1.2 假设假设O, A, B不共线不共线, 则点则点C 和和A, B共线共线的充分必要条件是的充分必要条件是: 向量向量OC 对对OA, OB 可分解可分解, 并且分解系数之和等于并且分解系数之和等于1.所以所以OA, OB不平行不平行, 且且AB 0

20、.于是于是 C 和和A, B 共线共线 AC / AB 存在实数存在实数s, 使得使得AC = s AB 即即 OC OA = s (OB OA) 存在实数存在实数s, 使得使得OC = (1 s) OA + s OB OC 对对OA, OB 可分解可分解, 且分解系数之和为且分解系数之和为1. 充分性充分性. 设设OC = r OA + s OB, 其中其中r + s = 1, 于是于是 OC = (1 s) OA + s OB, 即即 AC = s AB. 因此因此 AC / AB, 从而从而 C 和和A, B共线共线.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用注注: 命题命题1

21、.2中的数中的数 s 是反映是反映C 在在A, B 决定的决定的直线上的位置的一个数量直线上的位置的一个数量, 即即ABACs 而中学里学的定比概念也是反映而中学里学的定比概念也是反映C 在在A, B 决定的决定的直线上的位置的一个数量直线上的位置的一个数量, 本书称之为简单比本书称之为简单比, 并并记作记作(A, B, C) , 根据定义有根据定义有CBACCBA ),(易求得易求得, , 11sss其中其中 = (A, B, C) . 1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用练习题练习题:设设A, B, C不共线不共线. 证明点证明点M在平面在平面ABC上的上的充要条件是充要条

22、件是: 对任意定点对任意定点O, 存在实数存在实数k1, k2, k3, 使得使得且且 k1 + k2 + k3 =1. OM=k1OA + k2OB + k3OC, 证明证明: ()AB, AC 不共线不共线, AM, AB, AC 共面共面,故存在实数故存在实数 k, m 使得使得 AM = k AB + m AC, 对任意定点对任意定点 O, 有有OM OA = k ( OB OA ) + m ( OC OA ),1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用即即令令 k1 = 1 k m, k2 = k, k3 = m, 即得结论即得结论. () 设设 OM = k1OA + k

23、2OB + k3OC, 注意到注意到 k1 = 1 k2 k3 , 有有AM = OM OA= ( 1 k2 k3 )OA+k2OB+k3OC OA= k2(OB OA)+k3(OC OA) = k2AB + k3AC可见可见 AM, AB, AC 共面共面, 即即M在平面在平面ABC上上. OM = ( 1 k m ) OA + k OB + m OC,k1 + k2 + k3 =1.1.4 在共线共面问题上的应用在共线共面问题上的应用例例 2 设三角形设三角形ABC中中, 点点D, E, F分别在分别在AB, BC, AC 边上边上, 使得线段使得线段AE, BF, CD 交于一点交于一点O(下图下图).已知已知(A, B, D) = (C, A, F) = 1/2 , 求求(B, C, E), (A, E, O), (C, D, O), (B, F, O).ABCDEFO1.4 在共线