理论力学运动学第4章

1、第4章 运动分析基础运动学（运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时研究物体在空间的位置随时间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。须指明参考体和参考系。物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化，因而称矢量的大小和方向会随着时间的变化而变化，因而称为

2、为变矢量变矢量。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的同之处。这是学习运动学的难点难点。 点的运动学点的运动学刚体的简单运动刚体的简单运动结论与讨论结论与讨论点的运动学点的运动学返回返回参考系参考系位矢、位矢、速度和加速度速度和加速度参考系 根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为另一个物体作为参考，这一物体称为参考体参考体(reference body)，与参考体固连的坐标系称为与参考体固连的坐标系称为参考系参考系(reference system)。 参考

3、体总是一个大小有限的物体，而参考系则应参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处考系却可以延伸到所研究的行星处位矢、速度和加速度点点(point)的运动主要有的运动主要有直线运动直线运动（rectilinear motion）和）和曲线运动曲线运动（curvilinear motion）两种形

4、式。）两种形式。后者又有后者又有平面曲线平面曲线和和空间曲线空间曲线之分。之分。 O考察定参考系中，沿空间曲线运动的点考察定参考系中，沿空间曲线运动的点P 。自坐标原点。自坐标原点O向点向点P作矢量作矢量r，称为点，称为点P对于原点对于原点O的位置矢量（的位置矢量（position vector），简），简称位矢。当点称位矢。当点P运动时，位矢运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间也随该点一起运动，且为时间 t t 的的单值函数：单值函数： rrrr = r (t)P描述点的运动的矢量法描述点的运动的矢量法因此，位矢为变矢量。因此，位矢为变矢量。 r = r (t) 则是用变矢量表示的则是用

5、变矢量表示的点的运动方程。点点的运动方程。点P在运动过程在运动过程中，其位置矢量的端点描绘出中，其位置矢量的端点描绘出一条连续曲线，称为位矢端图一条连续曲线，称为位矢端图(hodograph of position vector)。显然，位矢端图就是点显然，位矢端图就是点P的运动的运动轨迹（轨迹（trajectory）。）。 PP位矢、速度和加速度rvt 瞬时瞬时: 矢径矢径 r(t) r(t) r (tt)r(t)点在点在 t 瞬时的速度瞬时的速度dlimd t0ttrrvr t 时间间隔内矢径的改变量时间间隔内矢径的改变量,称为点的位移称为点的位移t t 瞬时瞬时: 矢径矢径 r (t t

6、 )描述点的运动的矢量法描述点的运动的矢量法在时间间隔在时间间隔t内，点由位置内，点由位置P运动到运动到 P其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。 PP位矢、速度和加速度vvvatttddlim0t 瞬时瞬时: 速度速度 v(t) v(t) v (t t ) v(t)点在点在 t 瞬时的加速度：瞬时的加速度： t 时间间隔内速度的改变量时间间隔内速度的改变量rra 22ddtt t 瞬时瞬时:速度速度 v(t t ) 描述点的运动的矢量法描述点的运动的矢量法显然，速度显然，速度v和加速度和加速度a也都是变矢量。也都是变矢量。位矢、速度和加速度在直角坐标

7、系中，点在在直角坐标系中，点在空间的位置由空间的位置由3个方程个方程确定：确定：= f1(t)= f2(t)= f3(t)描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法位矢、速度和加速度将矢径表示成将矢径表示成kjirzyx() ()xyzxyzvrijkijk0kji考虑到在考虑到在Oxyz定参考系中，定参考系中，i、j、k均为常矢量均为常矢量描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法点的速度为：点的速度为：kjikjirvzyxvvvzyx位矢、速度和加速度描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法vrijkijkxyzxyzvvvzvyvxvzyx,点的速度矢量在直角坐标轴

8、上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。位矢、速度和加速度描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法kjikjirvzyxvvvzyxavijkijkxyzxyzaaazayaxazyx ,点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。的二阶导数。位矢、速度和加速度 如果已知点的轨迹，则可在轨迹如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点上任取一点为原点，运动的点P至原至原点的弧长点的弧长sOP，并且规定：原点，并且规定：原点O的某一

9、侧弧长为正；另一侧为负。这的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长种具有确定正负号的弧长s称为称为P点的点的弧坐标弧坐标(arc coordinate of a directed curve)。弧坐标。弧坐标s完全确定了动点完全确定了动点P在在轨迹上的位置。轨迹上的位置。点运动时，其弧坐标随时间而变化：点运动时，其弧坐标随时间而变化：这就是动点这就是动点P P的弧坐标形式的运动方程。的弧坐标形式的运动方程。 )(tss 描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法位矢、速度和加速度弧坐标具有以下要素：弧坐标具有以下要素：1. 有坐标原点有坐标原点(一般在轨迹上一般在轨迹上任选一参

10、考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)；2. 有正、负方向有正、负方向(一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向)；3. 有相应的坐标系。有相应的坐标系。描述点的运动的弧坐标法描述点的运动的弧坐标法位矢、速度和加速度弧坐标中的速度表示弧坐标中的速度表示ddddddrrvsstts 0dlim1drrtss dds如记切线方向的单位矢量为r vstsddvv 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。几点讨论几点讨论vv0s 0vvvv,vav avv?tsstddddddddavv?d1ds曲率ddssvt dd?1

11、22sinlim0当当 0时，时， 的极限方向垂直于的极限方向垂直于 ，亦即亦即n方方向向。0limddsndd02 sin2lim tsstdddddddd弧坐标中的加速度表示弧坐标中的加速度表示avv?d1ds曲率ddssvt ddnna2ddvtv2nddnvvaatannaa stva dd2vanddvast 2nva自然轴系自然轴系当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然轴系。密切面密切面s +()()()P空间曲线上的动点；空间曲线上的动点；T 过动点过动

12、点P的密切面内的切线，的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向；其正向指向弧坐标正向；密切面内垂直于切线的直线，密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；其正向指向曲率中心；过动点过动点P垂直于切线和主法垂直于切线和主法线的直线，其正向由线的直线，其正向由BTN确确定定。()()()()( () )()自然轴系的特点：自然轴系的特点：跟随跟随动点在轨迹上作空间曲动点在轨迹上作空间曲线运动。线运动。,OAABAClBPd 常数,椭圆规机构描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐标法1222dydlxtddytdldlxsinsincos2cos2描述点的运动的直角坐标法描述点的运动的直角坐

13、标法P点的运动方程：点的运动方程：P点的速度：点的速度：tdyvtdlxvyxcos)sin(2P点的加速度：点的加速度：tdyatdlxayxsin)cos(222 tddytdldlxsinsincos2cos2 点沿着一螺旋线自外向内运点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运一次方成正比。请判断点的运动性质：动性质：(A) 越跑越快；越跑越快；(C) 加速度越来越大；加速度越来越大；(D) 加速度越来越小。加速度越来越小。(B) 越跑越慢；越跑越慢； 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a 图像，说明运动性质。2

14、24231 . 5xttytt 半径为半径为R的圆盘沿直线轨的圆盘沿直线轨道上以道上以无滑动地滚动（纯滚无滑动地滚动（纯滚动），做匀速直线运动，设动），做匀速直线运动，设圆盘在铅垂面内运动，且轮圆盘在铅垂面内运动，且轮心心A的速度为的速度为v0(t) 1分析圆盘边缘一点分析圆盘边缘一点M的运动，并求当的运动，并求当M点与地面点与地面接触时的速度和加速度。接触时的速度和加速度。Rv0A位矢、速度和加速度cossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyR于是于是M点的运动方程为：点的运动方程为：解：解：1. 建立坐标系建立坐标系OxyRCMOCxA 取点取点M所在的一个最低所在的

15、一个最低位置为原点位置为原点O，设在任意时刻，设在任意时刻t圆盘的转过的角度为圆盘的转过的角度为CAM，为时间为时间t的函数，的函数，C是是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：圆盘作纯滚动，所以：cossinAMACyAMOCx(sin )(1 cos )xRyR点点M的速度分量为：的速度分量为：(1 cos )sinxRyR22(1 cos )sinsincosxRRyRR加速度分量为：加速度分量为：于是于是M点的运动方程为：点的运动方程为：a例例 题题 2解：解： 2建立建立 和和 与圆盘中心与圆盘中心A点点的速度的速度v0(t)之间的关系之间的关系AxOC

16、R将其对将其对 t 求一次导数，可得求一次导数，可得 0AxRv 因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心故轮心A点作水平直线运动，所以点作水平直线运动，所以有有即轮上即轮上M点的速度大小与点的速度大小与M点到点到C点（轮上与地面接触点）点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：的距离成正比。其方向由下式确定： cos222yvRvRsinsin1sin222xvRvR (cos)sin222 1cosvxyR2sin2RM CM CM点的速度大小为点的速度大小为 2建立建立 和和 与圆盘中心与圆盘中心A点点的速度的速度v0(t)之间的关系之间的关系于是，纯滚

17、动时轮上各点的速度如于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。图所示。v MC 当当 = 0和和 = 2时，时，M点与地面点与地面接触，此时接触，此时M点的速度为零。点的速度为零。 从图中的几何关系可以证明：从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，与地面接触点的连线，即，coscossinsinsin)cos1 (2222 RRRyRRRx2220()vRaRRR刚体的简单运动刚体的简单运动返回返回 平平 移移 定轴转动定轴转动BABArrr根据平移的定义，根据平移的定义，rBA为常矢量，为常矢量， 0ddtBAr 刚体运动时，

18、其上任意直刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的这种运动称为刚体的平行移平行移动动（translation）,简称平移简称平移或平动。在平移刚体内任选或平动。在平移刚体内任选两点两点A、B，令点令点A、B的矢径的矢径分别为分别为rA和和rB ，则两条矢端，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。曲线就是这两点的轨迹。BABArrr0ddtBArBArr vvABBAaa 平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如

19、质心）的运动表示刚体的运动。体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。 根据平移的定义，为常矢量，根据平移的定义，为常矢量， 定轴转动定轴转动定轴转动刚体定轴转动刚体)(tf 刚体的角速度（刚体的角速度（angular angular velocityvelocity）与角加速度（）与角加速度（angular angular accelerationacceleration）分别为）分别为 转角（或角位移）、角速度与角加速度都转角（或角位移）、角速度与角加速度都是描述刚体整体运动的物理量。是描述刚体整

20、体运动的物理量。 定轴转动刚体定轴转动刚体OPrPPPrv2n224()()()()()()PPP222222Paaaddrrdtrdtrrn2tanPPaa刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到刚体定轴转动时，其上各点的速度和加速度与点到转轴的距离成正比。转轴的距离成正比。 考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体 角速度矢量、角加速度矢量角速度矢量、角加速度矢量ddtkk22ddddttkk 若刚体加速转动，则若刚体加速转动，则 与同与同 向。向。 若减速转动，则若减速转动，则 与与 反向。反向。 考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体PPrvtttPPPPddddddrrva)(

21、PPrrtnaaPPtnaaaPPPtPParn2PPar 定轴转动刚体上某一点的定轴转动刚体上某一点的加速度由两部分组成，即切向加速度由两部分组成，即切向加速度与法向加速度。加速度与法向加速度。泊松公式泊松公式 动系动系O1 x y z 绕绕 z轴转动，角轴转动，角速度为速度为 ，基，基矢量为矢量为(i ，j ， k )d?ditd?dktd?djt考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体考察三维定轴转动刚体动系动系O1 x y z 绕绕 z轴转动轴转动t ddit ddkt ddjOxyzyxzO1i j k P1P2P3 P1P3vP2单位向单位向量：量：i , j , k 角速度：角速度：1Pv2Pv3Pvijk定轴转动刚体的简单运动已知：已知：O1A O2B ；O1A杆的角速度杆的角速度 和