随机试验样本空间随机事件概率的性质

1、说说 明明 1 1、概率群：、概率群：qq:164395852qq:1643958522 2、作业、作业 (1)(1)配套习题册（每章收一次作业）配套习题册（每章收一次作业） (2)(2)课后习题（练习本，自做）课后习题（练习本，自做）6 6、课堂上不迟到，不早退，不缺课，不睡觉，、课堂上不迟到，不早退，不缺课，不睡觉， 不讲话。每课提前预习，课后巩固。不讲话。每课提前预习，课后巩固。3 3 、BBBB课堂：课堂：“校内统一认证入口校内统一认证入口”进入，进入后进入，进入后 从左侧从左侧 “ “我的课表中我的课表中”选择选择“概率论与数理统概率论与数理统 计计”（目标导学，内容详析，重点解析，

2、重点（目标导学，内容详析，重点解析，重点 题型，选择填空答案，自测题，题型串联，微题型，选择填空答案，自测题，题型串联，微 课助学课助学ppt)ppt)4 4、平时分：、平时分：2020分（期中考试，作业，小测验）分（期中考试，作业，小测验）5 5、内容：第一章第八章第三节、内容：第一章第八章第三节二、掌握随机事件之间的关系和运算（熟背）二、掌握随机事件之间的关系和运算（熟背） 一、理解概率论基本概念一、理解概率论基本概念三、掌握概率的性质（熟背）三、掌握概率的性质（熟背）第第1313节节 教学要求教学要求随机试验、样本空间、基本事件、随机事件随机试验、样本空间、基本事件、随机事件二、二、随机

3、现象随机现象 重点：随机试验的三要素重点：随机试验的三要素 一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用三、三、随机试验随机试验第一节第一节 随机试验随机试验 1654年年,数学期望数学期望.一、一、 概率论的诞生与应用概率论的诞生与应用定赌若干局定赌若干局,且谁先赢且谁先赢 5局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒另一赌徒胜另一赌徒胜4局时便终止赌博局时便终止赌博,徒胜徒胜 3 局局 ,问应如何分赌本问应如何分赌本” 人们为此题求教于帕斯卡人们为此题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯卡与赢赢4局的拿局的拿3/4，赢，赢4局的拿局的拿1/4，他们将此题的解法向更一般的情况推广他们将此题的解法向

4、更一般的情况推广 于于1654 年共同建立了概率论的第一年共同建立了概率论的第一个基本概念个基本概念费马通信讨论这一问题费马通信讨论这一问题,得结论：得结论：一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约论掷骰子游戏中的计算论掷骰子游戏中的计算-概率论最早著作概率论最早著作 概率论是数学的一个分支，概率论是数学的一个分支， 它主要研究随机现象它主要研究随机现象的在数量方面的统计规律性。的在数量方面的统计规律性。概率论的应用几乎遍及所有的科学领域概率论的应用几乎遍及所有的科学领域例如天气预报、例如天气预报、 地震预报、地震预报、 产品的抽样调查，产品的抽样调查，在通讯工程中概率论

5、可用以提高信号的抗干扰性、在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等分辨率等等.1.1.确定性确定性现象现象 你能举出一些确定性现象的实例吗？你能举出一些确定性现象的实例吗？在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.举例举例二、随机现象二、随机现象1.1.确定性确定性现象现象 你能举出一些确定性现象的实例吗？你能举出一些确定性现象的实例吗？在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称2.2.随机现象随机现象 为随机现象为随机现

6、象.你能举出一些随机现象的实例吗？你能举出一些随机现象的实例吗？举例举例举例举例二、随机现象二、随机现象2. . 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶 说明说明1. . 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系, 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.然性然性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的统计有一定的统计规律性规律性 , 概率论就是研究随机现象概率论就是研究随机现象的这种统计规律的一门数学学科的这种统计规律的一门数学学科. 1. .

7、可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; ; 2. . 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, , 3. . 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果 在概率论中在概率论中, ,定义定义三、随机试验三、随机试验把具有以下把具有以下三个特征三个特征的试验称的试验称并且能并且能事先明确试验的所有可能结果事先明确试验的所有可能结果;为为随机试验随机试验.会出现会出现.实例实例分析：分析：( (1) ) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行; ;“抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察正面观察正面H,反面反面T出现的情况

8、出现的情况”.( (2) ) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果: :正面正面H H、反面反面T T; ;( (3) ) 进行一次进行一次试验之前不能确定哪一个试验之前不能确定哪一个故为随机试验故为随机试验. .结果会出现结果会出现.其他实例其他实例抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数观察出现的点数.其他随机试验其他随机试验实例实例1实例实例2从一批产品中从一批产品中, ,依次任选三件依次任选三件,记录出现正品与次品的件数记录出现正品与次品的件数.实例实例3记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数. .实例实例4考察某地区考察某地区 10 1

9、0 月份的平均气温月份的平均气温. .从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只, , 测试其寿命测试其寿命.实例实例5四、小结四、小结随机现象随机现象 随机试验随机试验 1. . 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; ; 2. . 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, , 3. . 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果并且能并且能事先明确试验的所有可能结果事先明确试验的所有可能结果;会出现会出现. 第二节第二节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件一、一、样本空间样本空间 三、三、随机事件随机事件间的关系及运算间的关系及运

10、算 二、二、随机事件随机事件重点：重点：随机事件随机事件间的关系及运算间的关系及运算 定义定义 一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 为为 E 的样本空间的样本空间, 记为记为 S . 样本空间的元素样本空间的元素,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为样本点称为样本点.随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称举例举例实实 例例将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,，观察正面观察正面H出出反反面面T7S则则它它的的样样本本空空间间为为： TTTTTHTHTTHH, 7,SHHH HHT HTH HTT .现的情况现的情况写出下列随机试验的样本空间写

11、出下列随机试验的样本空间. .1. . 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子, ,记录三颗骰子点数之和记录三颗骰子点数之和. .2. . 生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品, ,记录生产产品的记录生产产品的课堂练习课堂练习总件数总件数.S=10，11，12，n，S=3，4，5183.记录一个小班一次数学考试的平均分数记录一个小班一次数学考试的平均分数 （充以百分制记分）（充以百分制记分）nnnnoS1001,4.对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品正品”，不合格的盖上不合格的盖上“次品次品”，如连续查出二个次品就停止检，如连续查出二个次品就停

12、止检查，或检查查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为查出合格品记为“1”，查出次品记为，查出次品记为“0”，连续出现两，连续出现两个个“0”就停止检查，或查满就停止检查，或查满4次才停止检查。次才停止检查。S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100， 0111，1011，1101，1110，1111，n表小班人数表小班人数 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间.中中, 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E

13、 的的二、随机事件的概念二、随机事件的概念随机事件随机事件,简称简称事件事件.每次实验中每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本当且仅当这一子集中的一个样本点出现时点出现时, 称这一称这一随机事件发生随机事件发生.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集, 称为称为基本事件基本事件.常用大写字母常用大写字母A, B，C表示表示.件件.包包含含所所有有的的样样本本点点，样样本本空空间间 S自自身身的的它它是是S在每次实验中它总是发生的在每次实验中它总是发生的,称为必然事称为必然事S子集子集,不不包包含含任任何何点点，空空集集它也作为样本空间的它也作为样本空间的子集子集,它在每次实验中都

14、不发生它在每次实验中都不发生,.称为不可能事件称为不可能事件 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件, , 不可能事不可能事件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件, 它们互为它们互为对立事件对立事件.举例举例随机事件举例随机事件举例实例实例抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数.“出现出现1点点”, “出现出现2点点”， , “出现出现6点点”,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为等都为随机事件随机事件.“出现出现1点点”，“出现出现2点点”，“出现出现6点点”等等都是都是基本事件基本事件.“点数不大于点数不大于6” 就是就是必

15、然事件必然事件. “点数大于点数大于6” 就是就是不可能事件不可能事件.可分别记为事件可分别记为事件A，事件，事件B.“出现出现1点点”，则事件，则事件A A发生了；发生了；“出现出现2点点”，则事件，则事件A发生了，则事件发生了，则事件B也发生也发生了了“出现出现6点点”，则事件，则事件B发生了，则事件发生了，则事件A没发生没发生了了三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算，的的样样本本空空间间为为设设实实验验SE), 1(, kABAk而而.的子集的子集是是S,. 1BA 若若,AB包含事件包含事件则称事件则称事件实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合

16、格产品不合格”所以所以“产品不合格产品不合格”包含包含“长度不合格长度不合格”,ABBA 且且若若.相等相等与事件与事件则称事件则称事件BAA发生发生B发生发生S SB BA A,BA. 2BxAxxBA或事件 .AB称称为为事事件件 与与事事件件和和事事件件的的,A B当当且且仅仅当当中中至至少少有有一一个个发发生生某种产品的合格与否是由该产品的长度与直某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定径是否合格所决定, 因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长长度不合格度不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并或和事件的并或和事件.推广推广的和事的和事个事件个事件为为称称kknkAA

17、AnA,2, 11 .,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称kkkAAAA 件件,A B发发生生 A AB BS S,AB. 3BxAxxBA且事件 A称为事件称为事件.的积事件的积事件与事件与事件B某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定是否合格所决定, 因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.类似地类似地,的积事的积事个事件个事件为为称称kknkAAAnA,2, 11 .,211的积事件的积事件为可列个事件为可列个事件称称kkkAAAA 件件,AB 发发生生A和

18、和B同时发生同时发生A AB BS S和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A ,. 4BxAxxBA 且且事件事件与与称为事件称为事件A.的差事件的差事件事件事件B“长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” 是是 “长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格” 的差的差.B BS SA AA B 发发生生A发生而发生而B不发生不发生图示图示 A 与与 B 的差：的差：SABSABAB AB BA BA ,. 5 BA若若是互不相容是互不相容与与则称事件则称事件BA或互斥的或互斥的.,不不能能同同时时发发生生与与事事件件这这指指的的

19、是是事事件件BA基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的.图示图示 A 与与 B 互斥互斥.SAB“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”互斥互斥抛掷一枚骰子：抛掷一枚骰子：抛掷一枚硬币：抛掷一枚硬币：“出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面”是是互不相容互不相容的两个事件的两个事件.,. 6 BASBA且且若若与事件与事件则称事件则称事件A.互为逆事件互为逆事件B.互互为为对对立立事事件件与与事事件件又又称称事事件件BA,AA的的对对立立事事件件记记为为.ASA “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”对立对立图示图示 A 与与 B 的对立的对立

20、.SBA A若若 A 与与 B 互逆互逆,. ABSBA且且则有则有对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABABA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 ABSBA且且 AB互互 斥斥对对 立立事件间的运算规律事件间的运算规律 ,为事件为事件设设CBA(1)交换律交换律BABA;AB .AB (2)结合律结合律)(CBA)(CBA;)(CBA .)(CBA (3)分配律分配律)(CBA)(CBA);()(CABA ).()(CABA (4)德德. .摩根律摩根律BABA;BA .BA 则有则有德德.摩根律可推广至摩根律可推广至n个也成立。个也成立。概率论与集合论之间的对应关系概率论

21、与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论S样本空间，必然事件样本空间，必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集e基本事件基本事件元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件的对立事件A的补集的补集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集BA 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B B的和的和 集合集合A与集合与集合B B的并集的并集AB

22、 事件事件A与事件与事件B B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B B的交集的交集例：例：设设A A、B B、C C为三个事件，试用事件间的关系与运算表示为三个事件，试用事件间的关系与运算表示下列各事件：（）事件下列各事件：（）事件A A不发生；（）事件不发生；（）事件A A、B B不发生而不发生而事件事件C C发生；（）事件发生；（）事件A A、B B、C C中至多有一个发生；（中至多有一个发生；（4 4）A A，B B，C C中至少有一个发生中至少有一个发生 （5 5）A A，B B，C C都不发生，都不发生， （6 6）A A，B B，C C中不多于一个发生中不多于一个发生 （7 7

23、）A A，B B，C C中不多于二个发生。（中不多于二个发生。（8 8）A A，B B，C C中至少有二个发生。中至少有二个发生。A)1(2 )()A B CCAB 或或(3)ABBCAC 答案答案（4）A+B+CCBA）（5CBA或或 CACBBA）（ 6ABCCBA或）（7（8）AB+BC+AC例例2 2：(1)(1)无次品：无次品：（2 2）第一个为此品）第一个为此品（3 3）恰好有一个次品）恰好有一个次品（4 4）至少有一个次品）至少有一个次品答案答案321)1(AAA1)2(A213312321)3(AAAAAAAAA321)4(AAA设设Ai=生产的第生产的第i个零件为次品个零件为

24、次品,则如何表示以下则如何表示以下事件事件, ,i=1,2,3=1,2,3例例3 如图所示的电路如图所示的电路,“信号灯亮”“信号灯亮”表示表示以以A这一事件这一事件,分分别别表表示示事事件件：以以DCB,将电器接点将电器接点,闭合闭合, ,ABDBCABDABC 则则，而而 AB.互不相容互不相容与事件与事件即事件即事件AB又可得又可得.CBCB IIIIII 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4

25、) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;课堂练习课堂练习试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.课堂练习课堂练习(7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现; 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.四、小结四、小结随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机

26、试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系随机事件之间的关系和运算随机事件之间的关系和运算,. 1BA 若若,AB包含事件包含事件则称事件则称事件A发生发生B发生发生 ,. 2BxAxxBA 或或事件事件.AB称称为为事事件件 与与事事件件和和事事件件的的,A B当当且且仅仅当当中中至至少少有有一一个个发发生生A B发发生生 ,. 3BxAxxBA 且且事件事件AB称称为为事事件件 与与事事件件 的的积积事事件件AB 发发生生A和和B同时发生同时发生 ,. 4BxAxxBA 且且事件事件AB称称为为事事件件 与与事事件件 的的差差事事件件A B 发发生生A发生而发生而B不

27、发生不发生5.,AB 6.,ABSAB 且且事件间的运算规律事件间的运算规律 ,为事件为事件设设CBA(1)交换律交换律BABA;AB .AB (2)结合律结合律)(CBA)(CBA;)(CBA .)(CBA (3)分配律分配律)(CBA)(CBA);()(CABA ).()(CABA (4)德德. .摩根律摩根律BABA;BA .BA 则有则有一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质重点：概率的性质重点：概率的性质第三节第三节 频率与概率频率与概率1.频率的定义频率的定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 定义定义 在相同条件下，在相同条件下，

28、,次试验次试验进行了进行了nn在在这这次试验中次试验中,发发生生称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件AnAA的频数的频数.,/发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值AnnA记作记作).(Afn2.频率的性质频率的性质 设设A是随机试验是随机试验E的任一事件的任一事件, , 则则; 1)(2 Sfn; 1)(01 Afn,321是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若kAAA 则则)(21knAAAf)()()(21knnnAfAfAf 事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度事件发生的频率大小表示其发生的频繁程度.频率大频率大, 事件发生就越频繁事件发生就越频繁, 这表示事件在

29、一次试这表示事件在一次试验中发生的可能性就越大验中发生的可能性就越大. 反之亦然反之亦然.试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处波动较大处波动较大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处波动较小处波动较小在在21例例1 考虑考虑“抛硬币抛硬币

30、”这个试验这个试验,将一枚硬币抛将一枚硬币抛掷掷5次次、50次次、500次次, 各做各做7遍遍, 得到数据如下得到数据如下:从上述数据可得从上述数据可得( (1) )频率有频率有随机波动性随机波动性, ,所得的所得的f即对于同样的即对于同样的n,不一定相同不一定相同;,较较小小时时抛抛硬硬币币次次数数 n(2)之之间间与与在在频频率率10)(Hfn随机波动随机波动, 其幅度较大其幅度较大,增大增大但随着但随着n)(Hfn频率频率呈现出稳定性呈现出稳定性.n即当即当总总是是在在逐逐渐渐增增大大时时)(Hfn,5 . 0 附近摆动附近摆动而逐渐稳定于而逐渐稳定于0.5 .)(Hf的增大的增大n.2

31、1实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005这种试验历史上有人做过这种试验历史上有人做过, 得到下图数据得到下图数据:抛掷抛掷硬币演示硬币演示例例2 考察英语中特定字母出现的频率考察英语中特定字母出现的频率, 当观当观,)(较较小小时时试试验验次次数数察察字字母母的的个个数数 n频率有较大幅频率有较大幅度的随机波动度的随机波动.,增大时增大时但当但当n频率呈现出稳定性频率呈现出稳定性.字母字母 频率频率字母字母 频率频率字母字母 频率频率HR

32、SNIOATE0573. 00594. 00634. 00706. 00707. 00776. 00788. 00978. 01268. 0GYWMFCUDL0187. 00202. 00214. 00244. 00256. 00268. 00280. 0398. 00394. 0ZQJXKVBP0006. 00009. 00010. 00016. 00060. 00102. 00156. 00186. 0验证频率稳定性的著名实验验证频率稳定性的著名实验试验模型如下所示试验模型如下所示: :自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自由下落任其自由下落,在下落过程中当小球碰到钉子时在下落过程中当小

33、球碰到钉子时,从左边落下与从右边落下的机会从左边落下与从右边落下的机会相等相等. 碰到下一排钉子时又是如此碰到下一排钉子时又是如此.最后落入底板中的某一格子最后落入底板中的某一格子. 因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个则此球落入哪一个格子格子, 预先难以确定预先难以确定. 但是如果放入大量小球但是如果放入大量小球, 则其则其最后所呈现的曲线最后所呈现的曲线, 几乎总是一样的几乎总是一样的.高尔顿高尔顿(Galton)(Galton)板试验板试验大量试验证实大量试验证实,逐逐渐渐增增当当重重复复试试验验的的次次数数 n大时大时,)(呈呈现现出出稳稳定定性性频频率率Afn逐渐稳定

34、于某个逐渐稳定于某个常数常数.这种这种“频率稳定性频率稳定性”即通常所说的统计规律性即通常所说的统计规律性.让试验重复大量次数让试验重复大量次数,),(Afn计算频率计算频率以它来表征以它来表征.的的发发生生可可能能性性大大小小是是合合适适事事件件A然而在实际中然而在实际中, 不可能对每一事件都做大量的不可能对每一事件都做大量的试验试验, 而且为了理论研究需要而且为了理论研究需要, 我们从频率的稳定我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发性和频率的性质得到启发, 给出如下表征事件发生给出如下表征事件发生大小的概率的定义大小的概率的定义.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质 1933年，年，

35、苏联数学家苏联数学家柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫提出了概提出了概率概率论的公理化结构，率概率论的公理化结构， 给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展.柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov返回返回1.概率的定义概率的定义 ,是随机试验是随机试验设设E定义定义.是是它它的的样样本本空空间间S,赋赋予予一一个个实实

36、数数的的每每一一事事件件 AE.的概率的概率件件A:)( 满满足足条条件件如如果果集集合合函函数数 P),(AP记为记为; 0)(,:1 AP有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性; 1)(,:2 SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性是是两两两两互互不不相相容容的的设设可可列列可可加加性性,:321AA事件事件, 2 , 1, jijiAAji即对于即对于有有对于对于称为事称为事)(21 AAP)1 . 3()()(21 APAP 2.概率的性质概率的性质 0)(i P性质性质证证), 2 , 1( nAn令令nnA 1., 2 , 1, jijiAAji由概率可列可加性由概

37、率可列可加性,)(P由概率的非负性知由概率的非负性知, 0)( P. 0)( P因此因此则则, 1)(nP )(1nnAP 1)(nnAP 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0，概率为概率为0的事件不一定是不可能时间。的事件不一定是不可能时间。)(ii 有限可加性有限可加性性质性质是是两两两两若若nAAA,21互不相容事件互不相容事件, 则有则有)(21nAAAP证证1 nA令令, jiAA即有即有., 2 , 1, ji由由(3.1)式得式得)(1kkAP )()()(21nAPAPAP 2 nA , , ji 1)(kkAP )(21nAAAP 0)(1 nkkAP)()()(21nAP

38、APAP 证毕证毕.iii性质性质,是两个事件是两个事件设设BA,BA 若若则有则有)(ABP )(BP)3 . 3();()(APBP )4 . 3().(AP BA证证知知由由BA ,)( ABA且且再由概率的有限可加性再由概率的有限可加性(3.2), 得得)(BP又由概率的非负性又由概率的非负性,知知0)( ABP)(BP),(ABAB )()(ABPAP ).(AP 证毕证毕.)(ABP )5 . 3();()(ABBPP ABB且ABABSAABBBABAB-BA-B且)(ABP )()(ABBPP 证：证：因为因为所以所以iv性质性质,A对对于于任任一一事事件件)(AP证证,SA 因因由性质由性质iii得得)(AP. 1 )(SP . 1 )(v 逆逆事事件件的的概概率率性性质质,A对对于于任任一一事事件件有有)(AP).(1AP 证证,SAA 因因, AA且且由由(3.2)式式, 得得1)()(APAP )(SP )(AAP )(vi 加法公式加法公式性质性质有有对对于于任任意意两两事事件件BA,)(BAP)5 . 3()()()(ABPBPAP 证证BA因因)(ABBA 且且),(