各类不等式的解法

1、各类不等式的解法一、不等式的基本性质不等式的基本性质有：对称性或反身性：ab bb，bc,则 ac；(3)可加性：aba+cb+c,此法则又称为移项法则；可乘性：ab,当c0时，acbc; 当 c0 时，acb, cd,贝U a+cb+d;正数同向相乘：若 ab0， cd0，贝U acbd。特例：(3)乘方法则：若ab0, n N+，贝y an bn ；i i开方法则：若 ab0, n N+，则an bn1 1倒数法则：若 ab0, ab，则一a b例1：1)、8、.6与、.7.5的大小关系为2)、设 n1,且n1,则n3 1与n2 n的大小关系是1 13)已知，满足，试求3的取值范围12 0

2、(2) (-x-1)(x-1)(x-2) 1X 32（1）乔 V 0（2） 3 + X V 0例2解下列不等式：(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2) w 0(4) ( x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)0(5)322x x15x 0(6)(x4)(x5)2(2 x)303 d22 x4x1(7)1(8)1x 2x 23x27x2四、无理不等式的解法1 2x解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换题型川：.f (x) g(x)型f(x) 0g(x) 0f(x) 【g(x)例3解不等式,2x2 3x1 2x题型I:f (x),g(x)型(f(

3、x) g(x) f(x)0)0g(x)定义域例1解不等式,1 X.3X 20.52x . x 1题型n:. f (x)g(x)型f(x) g(x) f(x)00或2g(x)f(x) g(x)00例2解不等式.、2x2 3x 1不等式x a(a 0)的解集是xx a,或xa例4解不等式.2x 1,x 1 1例5解不等式9 x2 、. 6x x2 3五、绝对值不等式的解法般来说含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值，而去掉绝对值，则需要对绝对值中的零点进行讨论一个零点分两个范围，两个零点分三个零点，依次类推(1)含有一个绝对值：不等式x a(a 0)的解集是x a x a ;ax bc(c

4、0)的解集为x | c ax b c (c 0);不等式ax bc(c0)的解集为x | axb c,或 ax bc (c0)(2)含有多个绝对值：零点分段法例1解不等式(1)x 5005.(2)2x 57(3)2 x:3(4) 1| 2x-1 | 2x+1不等式例 2 解不等式：(1) X-3|-|x+1| 1.例 3已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|.(I)证明：-3詣(x) X8x+15的解集.六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式例1解不等式0.22 x25x62x2 x 61.比较法之一(作差法)步骤：作差变形一一判断与o的关系一一结论例2.

5、解不等式例3.解不等式:JOga x 13 log a X(0 a 1)2x x xx 1例4. a 1时解关于x的不等式logaa 2 (a 2)10七、基本不等式(也叫均值不等式)1.基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0, b0a= b2.常用的几个重要不等式(1)a2+ b2丝ab(a, b R)(2)ab0,则下列不等式中，恒成立的是()A . a2+ b22abB . a b2abC：+ -寸話D.； + 2 若x 2y= 4,贝U 2x + 4y的最小值是()A. 4B. 8C. 2 .2D . 4 21 当x1时，求函数f(x) = x + 的最小值.x 1 已

6、知x, y0，且满足|+ = 1，则xy的最大值为 . 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=. 已知a、b、c为正实数，且 a b + c= 1,111求证：(-1)( - 1)( -1) 8.a b c八、不等式的证明(一) 比较法： a bba(3)-M-y)2(a, b R)(4)-+ (a, b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a= b.3 算术平均数与几何平均数a b设a0, b0，贝U a, b的算术平均数为 一計，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的

7、算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 比较法之二（作商法）步骤：作商 变形判断与1的关系结论例1 求证：x2 + 3 3xa b例 2 a ,b R+,且 a b，求证：aabb （ab） 2abba（二）综合法1. 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法2. 用综合法证明不等式的逻辑关系是：A B! B2 L Bn B3. 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。例3已知a，b，c是不全相等的正数，求证：例 4 已知 a，b R，

8、证明：log2 （2a+ 2b） a b 2 .2（三）分析法1分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件 是否具备的问题。2 .用分析法证明不等式的逻辑关系是：B B1 B2 LBn A3 .分析法的思维特点是： 执果索因。4 .分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题 B1为真，从而有 这只需要证明命题 B2为真，从而又有 这只需要证明命题 A为真而已知A为真，故命题B必为真。例5 求证- 3.72 5 例6若a,b,c是不全等的正数，求证lg _b Iglg _- Iga Igb Igc.2 2 2（四）反证法1. 定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推 理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2. 反证法证题的基本步骤：1 假