线性代数01行列式定义

1、线性代数线性代数（第五版）（第五版）2 线性代数的线性代数的研究对象是研究对象是向量、向量空间，向量、向量空间，线性变换和线性方程组线性变换和线性方程组。 科学研究科学研究中的中的非线性模型可以被非线性模型可以被近似为线近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中学和社会科学中。尤其是在计算机日益普及的尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题。题。 1 1、为什么要学习线性代数？、为什么要学习

2、线性代数？ 1 1、为什么要学习线性代数？、为什么要学习线性代数？n因此学习和掌握线性代数的理论和方法是因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时是实现工科专业培养要基础和手段，同时是实现工科专业培养目标的必备前提。目标的必备前提。42 2、 课程特点课程特点一一个中心个中心 求解线性方程组求解线性方程组一种工具一种工具 矩阵矩阵( (向量、行列式向量、行列式) )3 3、代数发展的三个阶段：、代数发展的三个阶段：初等数学时期初等数学时期1717世纪中叶前世纪中叶前研究对象：数；研究对象：数；计算法则：加、减、

3、乘、除。计算法则：加、减、乘、除。变量数学时期变量数学时期1717世纪世纪1919世纪初期世纪初期研究对象：向量、矩阵、线性变化；计算法则：研究对象：向量、矩阵、线性变化；计算法则：类似于加减乘除。类似于加减乘除。抽象代数时期抽象代数时期1919世纪初世纪初研究对象：集合；研究对象：集合；计算法则：映射。计算法则：映射。第一章第一章 行列式行列式n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开6 6 克拉默法则克拉默法则行列式

4、的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性质及计算性质及计算. . 线性方程组的求解线性方程组的求解. . 行列式是线性代行列式是线性代数的一种工具！数的一种工具！要能掌握行列式要能掌握行列式的计算方法，快速的计算方法，快速计算计算行列式的值行列式的值. .1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发我们从最简单的二元线性方程组出发，从，从二元一次方程的求解公式，引出行列式的二元一次方程的求解公式，引出行列式的定义定义. .一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb

5、由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四

6、个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为

7、由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算 11122122aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 1111221211222

8、2a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx解解 因为因为 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 二、三阶行列式二

9、、三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 四四阶以上的行列式，不再阶以上的行列式，不再有对角线法则！有对角线法则！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213212223313233aaaD

10、aaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号实线上的三个元素的乘积冠正号，顺时针方向顺时针方向 虚线上的三个元素的乘积冠虚线上的三个元素的乘积冠负号，负号，逆时针方向逆时针方向12-4-221-34-2D 例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .1

11、4 方程左端方程左端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数上节给出了二阶、三阶行列式的定义，那上节给出了二阶、三阶行列式的定义，那么一般的行列式如何定义？在定义之前需么一般的行列式如何定义？在定义之前需先引进排列、逆序数的概念。先引进排列、逆序数的概念。引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法

12、种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有6123 问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素个元素的的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然

13、）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”，而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，

14、就就称这两个元素组成一个称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列 的逆序数通常记的逆序数通常记为为 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标

15、准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12ntttt设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在

16、前面，记为前面，记为 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)010315t 练习：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.9t 解：解：3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义本节从三阶行列式的规律来给出任意本节从三阶行列式的规律来给出任意n n阶行阶行列式的定义。并介绍了对角型、上（下）列式的定义。并介绍了对角型、上（下）三角型等特殊行列式三角型等特殊行列式一、概念的引入一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa 1122331223311321321322311221

17、33112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律规律：不同行不同列的三个元素乘积的代数和不同行不同列的三个元素乘积的代数和1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写每一项可以写成成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 123123pppaaa123p p p

18、123p p p123p p p所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列式共有阶行列式

19、共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写每一项可以写成成 （正负号除外），其（正负号除外），其中中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号. . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记简记作作 ，其，其中中 为行

20、列式为行列式D的第的第( (i, j) )元素元素det()ijaija思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，若理解成绝对值，则则 ；若理解成一阶行列式，若理解成一阶行列式，则则 . .11 1 11 11 注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 依题意求解依题意求解111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：写出四阶行列式中含有写出四阶行列式中含有因子因子

21、 的项的项. . 2311aa例：例：计算行列式计算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 1