圆锥曲线大题集锦

1、圆锥曲线大题集锦2 21 在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆：冷爲1(a b 0)的右焦点，已知a b点A(0,- 2)与椭圆左顶点关于直线y x对称，且直线AF的斜率为 芬.3(1) 求椭圆的方程；(2) 过点Q (- 1, 0)的直线I交椭圆 于M N两点，交直线x二一4于点E,uurLULT uuruuirMQQN,MEEN，证明：为定值.【解析C 1由題意猖2率（箱. c 0丙为点八与椭同左顶点关于应线yx对称儿左顶点为（一2）即“2,所以6匸1从而樋圆的标准方程为y+y-=l.（U）易知直线/的斜率存在令直线/的方程为+1）财5心）.（竝5）忙（一4小）捷+ 2 联立亍得（1+4/）

2、F + 8Xt+4P 40.A48F + 160. y = &（r + l ） 8P _茫一4小卫十1+4济由 XTn 入 QN （ 1 X1 ）】=入（才2 + 1 心）由就=“FU.入+厂一 5士5曲）土（卫十l）（r十4）（口 十 1）（Jj十4）8段一 8 4CP皿_8护将n+n一冃卩工山2厂耐1+4P 1+4厂*8P 8-4CF+8 + 32F：卩为定值0女一4代入心+严一 5十1心十4）1-4X（xs十I）（卫十4）2分4分6分8分10分=0.2已知定圆M : (x , 3)2 y216，动圆N过点F(、_3,0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E。(1) 求轨迹E的方程；(2) 设

3、点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且 AC CB，当 ABC的面 积最小时，求直线 AB的方程。解：（I因为点0）在圆（x+JJ）2+y2=16内，所以圆N内切于圆H，因为|NM|4-|NF|=4 |FM|，所以点N的轨迹E为椭便，且2q=4, G = j3,所以b=l，所以轨迹E的方程为L-i-y = 1.C4分（II ） （当为长紬（或短轴）肘，依题意知，点C就是的圆的上下顶点（或左右顶直）， 此时5AJ5C=|x|OC|x|ab| = 2. - （5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不対0时，设其斜率为k，盲线AB的方程为y=kx.匡十,2=142联立方程4 -得#二,代=土二

4、，.1=冷Z萨1+4P所以|0A|jf=出芒1. .（7分）A 1亠4卫由|AC| = |CB|知，血C为等腰三角形，0为血的中点，0匚丄AB，所以直线0C的方程为y=-*X，+2=1,r由斗解得兀：=半二，|0C|2 = 4（1*）, .（9分）.= 1C 宀4 C 丁*4丁+4尸 =SAabc=2SAoac=|0A| x |0C|= li（2i）x ”（1+於）=4（1；*）=,1+4沁 J F亠4 -j（l+4Jr）（+4）由于（1+4上2）仏所以SZUBC痔（11 分） 当且仅当l+4k2=k2+4,即k=L时等号成立，此时AABC面枳的最小值是#,因为2|.所以AABC面积的最小值为

5、即 此时lAB的方程为yn或y=-x .（12分）22HZ3.已知Fi, Fz分别是椭圆C :冷爲 1(a b 0)的两个焦点，P(1，-)是椭圆上一a b2点，且VZ|PFi , F1F2 , V2|PF2成等差数列.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知动直线l过点Fz ,且与椭圆C交于A B两点，试问x轴上是否存在定点 Q ,uuu uur 7使得 QA QB恒成立？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.16【解析】 因为血|尸砧|巧骂| 运|昭|成等差数列，斛2|祸冃迈（尸骂|十|尸岛|） 将|P乌PF2=2FF2 =2c3代入化简，得盘=屁a =儿 由*厶十丄 =】1谱得

6、口二QtuliXi 1a1 lb1a2 =iP +（?L所以椭圆的标准方程为手+b =1 ”uuu uuu 7（2）假设在x轴上存在点Q（ m,0）,使得 QA QB恒成立.16当直线l的斜率不存在时,，解得m 5或m 3 ；1644为直线/的斜率対0时gAo）显则应-呱OX”-旳0）=-上，解得岀=汉164由可得朋=-457 _ ,下面讦明m-时QA OB -恒成立.416当直线/的糾率対o时结论成立J当直线f的斜率不为o时，设鏗即的方程为工二十1円（西丿1）,丑（兀如, 由工二刖+1及一十於=1,得（ + 2）?+ 20-1 = 0,2xj所加g二1 +片二L尹迈出二-旷巨3 - 土片）

7、-扌孔）=（0厂f）依厂占）+W广（只+ D巧乃一扌心 + + =741）亠+丄英丑* F A17斗一=+ =严十2 4 *十2 162（”十2）1616综上所述，在甬吐存在点使得QA QB = 恒成立.4lo2 24.已知定点q 1, 0)及椭圆x + 3y = 5,过点C的动直线与椭圆相交于 A, B两点.1(1) 若线段AB中点的横坐标是一，求直线AB的方程；M的坐标；若不存在,(2) 在x轴上是否存在点 M使MA MB为常数？若存在，求出点 请说明理由.解：(1)依题意，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为y = k(x + 1),将 y= k(x+ 1)代入 x2 + 3y2

8、= 5,消去 y 整理得(3 k2+ 1)x2+ 6k2x + 3k2 5 = 0.设 A(X1，屮),B(X2, y2),36k44(3k21)(3k25)0,则X1X26k22 3k 1由线段AB中点的横坐标是1得 X1 X211，解得k都满足2，223所以直线AB的方程为X,3y10或x.3y 10uuir umr6k23k2 53k2+ 1，x1x2 = 3k2+ 1.(2)假设在x轴上存在点M(m 0),使MA MB为常数.(i)当直线 AB与x轴不垂直时，由(1 )知xi + X2=uur 所以MAuuur2MB =(X1 m( X2 n) + y1y2=(X1 n)( X2 n)

9、 + k(X1+ 1)( X2+1)2222=(k + 1)X1X2+ (k n)( X1 + X2) + k + m.将代入，整理得uuur umr MA MB(6rr 1)k2 5 3k2 + 1 1214(2m -)(3k21) 2m -3323k2 1m+ 2 m-136m 1423(3 k + 1)uuur uuur注意到MA MB是与k无关的常数，从而有 6m+14=0，此时m7uuur，此时MA3(ii)当直线 AB与x轴垂直时，此时点 A、B的坐标分别为(1,当m数.7uuur uuur时，也有MA MB34.综上，在 x轴上存在定点9M(i，0)使uuuruuur 4MB -

10、.92d，uuurMB为常F1, F2分1 ( ab0)的一个顶点与抛物线 C： x2 = 4. 3y的焦点重合,M, N两点.1别是椭圆的左、右焦点，且离心率e= 2，过椭圆右焦点F2的直线I与椭圆C交于(1)求椭圆C的方程;(2) 若6皿On- 2，求直线I的方程；2(3) 若AB是椭圆C经过原点0的弦，MNT AB求证：为定值c 1(1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为 (0,.3)，即b= .3, e= a =-，二a= 2,2 2椭圆的标准方程为x + y = 1.43(2)解 由题意可知，直线I与椭圆必相交.当直线斜率不存在时，经检验不合题意.当斜率存在时，设直线 I的方程为y= k

11、(x 1)( k丰0)，且Mxi, yi), N(x2, y2).2 X2 y1得(3 + 4k2) x2 8k2x+ 4k2 12= 0,由 431yk(x1)8 k224k 12Xi + X2=2 , X1X2=2 ,3+ 4k 3+ 4k ($M- Sn= X1X2 + yiy2 = X1X2+ k2 X1X2 (Xi + X2)+ 124k 122=3T4F + k(24k 123 + 4k28k23+ 4k2+ 1)=5k2 12 _3 + 4k2 = 2，解得k=、：2 故直线I的方程为y= ,.2( x 1)或y = .2( x 1), 即；2x y :2 = 0 或.2x+ y 2= 0.(3)证明 设 Mxi, yi) ,N(X2,y2),A(xs,ys),B(x4,y0，由(2)可得| MN =;1 + k2| XiX2|= 1 + k2 xi